2.1. 강한 불연속 접근법

강한 불연속 접근법(SDA, strong discontinuity approach) 은 강한 불연속(strong discontinuity, 또는 변위장에서의 불 연속)을 유한요소 내부에 내장 시키는 발전된 형태의 유한 요 소법이다(Simo et al., 1993). 이 접근법은 재료 파괴 현상의 다중 규모적 처리(multi-scale treatment)에 기반하며(Armero, 2000), 강한 불연속으로 모델링할 수 있는 물리 현상(예: 균열, 전단 밴드)을 포함한 공학적 문제의 수치 해석방법으로 널리 쓰이고 있다(Dvorkin et al., 1990; Jirasek, 2000). 이러한 강한 불연속을 요소 내부에 직접 포함시키는 방식은 체적 요소 사이의 경계면에서 소위 응집 요소(cohesive element)라 불리는 면 요소를 이용하여 강한 불연속을 표현하는 기존의 접근법(Needleman, 1987; Jin et al., 2003, Turon et al., 2007)에 비하여 불연속 면의 기하학적 표현과 전파가 자유롭 다는 장점이 있다. 또한, 강한 불연속을 요소 내부에 직접 포함 시킬 수 있는 방법으로 널리 쓰이고 있는 기존의 확장 유한 요소법(XFEM, extended FEM) 또는 일반 유한요소법 (GFEM, generalized FEM)(Fries and Belytschko, 2010)과 달리 불연속을 표현하기 위하여 추가적인 자유도를 필요치 않는다.

Armero와 Kim(2012)은 강한 불연속을 포함하는 삼차원 경계값 문제를 매끈한 해(smooth solution)를 가지는 대규모 문제(large-scale problem)와 강한 불연속 주변에서 정의되는 소규모 문제(small-scale problem)로의 분리를 통하여 정식화 하였다. 전체 영역에서 정의되는 대규모 문제의 이산적 지배 방적식은 다음과 같다.

여기서, F_E 는 절점에 작용하는 외부 힘(nodal external force), Ω_E는 각각의 유한요소 내부에 대응하는 영역, σ는 응력 텐서, B 는 이산 변형도 연산자(discrete strain operator), ∧는 N_E개의 유한요소에 대해 수행하는 조립 연산자(assembly operator)이다. 식 (1)은 기존의 유한 요소법에서 사용되는 지배방정식과 그 전체적인 형태는 같지만, 응력 σ가 강한 불연속을 포함하는 변위 벡터 및 상응하는 변형도 텐서의 함수라는 점이 다르다.

각각의 요소 내부 Ω_E에서 독립적으로 정의되는 소규모 문제의 이산적 지배방적식은 다음과 같다.

여기서, H_E 는 평형 연산자로서 영역 Ω_E에서 정의되는 응력 σ를 불연속 면 Γ_E으로 투영(projection)하는 역할을 한다. 평형 연산자에 대한 표현을 유도하기 위해서는 불연속 면 Γ_E에서 변위 점프(displacement jump) ∥u∥를 먼저 정의해야 한다.

변위 점프는 식 (2)에서 사용된 연산자 D 를 이용하여 다음과 같이 근사화한다.

여기서, θ_E는 강한 불연속을 표현하기 위해 필요한 자유도이며, 각각의 요소에서 독립적으로 정의된다. 식 (2)에서 τ_Γ는 불연속 면 Γ_E에서 정의되는 트랙션 벡터로서 식 (3)에 의해 정의되는 변위 점프에 의존적이다. 식 (3)에 상응하는 불연속을 포함하는 변형도는 전체 시스템에서의 자유도 δ_E와 국부 시스템에서의 자유도 θ_E를 이용하여 다음과 같이 정의한다.(4)

여기서, H_C 는 강한 불연속의 운동학(kinematics)과 비 모순적 이어야 하며, 이를 위하여 유한요소의 분열 시 쪼개어진 두 부분 들의 상대적 운동을 명시적으로 고려하여야 한다. 이와 관련하여, Armero와 Kim(2012), Kim과 Armero(2017)는 기존의 세 개의 고정 분열 유형(constant separation modes)에 여섯 개의 선형 분열 유형(linear separation modes)을 추가함 으로써 유한요소의 과강성 반응(over-stiff response)으로 특징지어 지는 응력 잠김 현상을 해소할 수 있음을 보였다.

식 (1)과 식 (2)는 주어진 경계값 문제를 지배하며 서로 연결된 비선형 방정식(coupled non-linear equations)이다. 식 (1)은 전체 시스템에서 정의되는 반면 식 (2)는 각각의 유한요소 내부 에서 독립적으로 유효한 식이다. 뉴턴-랩슨 방법을 이용하여 풀 수 있으며, 이를 위해 선형화(consistent linearization)를 수행하면 다음과 같은 선형 시스템을 얻는다.(5a)

여기서, 강성 행렬은 다음과 같다.(6a)(6b)(6c)(6d)

여기서, Ξ, Ξ_θ 는 각각 공간 Ω와 불연속 면 Γ에서 재료의 접선 강성(tangent stiffness)이다.

식 (5b)는 각각의 요소에서 독립적으로 정의되므로 정적 응축(static condensation)을 수행할 수 있다. 이를 통하여 요소 단계에서 Δθ_E를 소거할 수 있으며, 식 (5a, 5b)에 상응하는 단일 전체 선형 시스템에서의 강성 행렬은 다음과 같다

식 (7)에 상응하는 전체 시스템에서 자유도의 수와 연결성은 강한 불연속이 포함되기 전과 동일하며, 따라서 전체 시스템에서 조립 연산자가 보존되어 자유도가 큰 대규모 삼차원 문제를 풀기 위한 방법으로 적합하다.

2.2. 응집 법칙

응집 법칙(Frost and Dugdale, 1958; Barenblatt, 1962) 은 파괴 역학(fracture mechanics) 분야에서 균열 진행의 수학적 모델링을 위한 도구로써 널리 이용되어 왔다. 불연속 면에서 식 (2)에서의 트랙션 벡터 τ_Γ와 식 (3)에서의 변위 점프 ∥u∥의 관계를 정의함으로써, 상응하는 소산 에너지 (dissipated energy)를 객관적으로(objectively) 평가 할 수 있는 재료의 구성 법칙(constitutive law)이다. 특히, 응집 법칙을 이용하여 재료의 연화(softening)를 표현할 수 있으며, 불연속 끝단에서의 응력을 유한한 값으로 제한하여 해의 특이 성을 해소한다.

2.3. 수치 해석 틀

Fig. 1은 본 연구에서 고려된 모델 경계값 문제의 치수 및 경계 조건을 보여준다. 두 개의 판이 겹쳐져 있으며 양 끝단의 모든 절점에 변위 경계조건을 부여하였다. 즉, 한쪽 끝단의 절점을 고정시키고 반대쪽 끝단의 절점에 변위 U 를 부여하였다. 이 때, 영역 Ω_lap ={(x,y,z)ǀ-2≤ x≤2, -2≤ y ≤2}에 포함 되어 있는 부분은 반경 0.5인 원으로 정의되는 영역 Ω_con = {(x,y,z )ǀ x² + y² =0.5², z =0}을 제외하면 영역 Ω_idisc = {(x,y,z )ǀ-2≤ x≤2, -2≤ y≤2, z =0}에서 초기에 서로 붙어 있을 뿐 변위 불연속적이며 잠재적으로 접촉이 발생할 수 있다. Fig. 2에서는 이 문제를 기존의 접근법을 이용하여 푸는 경우에 요구되는 전형적인 적응적 유한요소망을 보여준다. 즉, 유한요소망은 국부적인 영역 Ω_lap에 내포되어 있는 변위 및 기하학적 불연속에 적응적이어야 한다.

Fig. 1

Geometry and boundary conditions of a spot welded lap joint problem

Fig. 2

Typical adaptive mesh for solving a spot welded lap joint problem

2.1 및 2.2에서 소개한 이론들의 조합을 통하여 스폿 용접의 기하학적 형상에 적응적인 유한요소망을 사용하지 않고서도 스폿 용접 접합부 문제를 풀 수 있다. 이를 위하여 먼저 영역 Ω_idisc에 불연속 면을 삽입하였다. 이는 강한 불연속 접근법에서 불연속 면이 체적 요소 사이의 경계면에 구속될 필요가 없기 때문에 유한요소망에 독립적으로 수행할 수 있다.

변위의 연속과 불연속을 구분하는 방법으로 특수한 응집 법 칙을 사용하였다. 영역 Ω_idisc에서 영역 Ω_con을 제외한 Ω_fdisc = Ω_idisc╲Ω_con으로 정의되는 영역에서 다음과 같은 응집 법칙을 적용한다.

여기서, K ≫0는 양수, n, m₁, m₂는 각각 불연속 면에서의 법선 및 접선 방향을 의미한다. 즉, 법선 방향으로 음의 변위 불연속 값에 대하여 페널티를 적용하고, 양의 변위 불연속 값에 대하여 트랙션을 전달하지 않음으로써 자유롭게 불연속이 발생할 수 있도록 하였다. 영역 Ω_con에서 적용되는 응집 법칙은 다음과 같다.

즉, 영역 Ω_con을 물리적으로 매우 스티프한 스프링으로 연결했다고 가정하여 변위 연속을 표현하였다. 식 (8), (9)의 적용은 유한요소망에 독립적이며 오직 이음 부위의 기하학적 형상에 따라 적용된다. 따라서 유한요소망의 생성 과정에서 고려하여야 할 제한 조건을 완화시킨다.