1. 서 론

진동 및 소음 제어는 항공우주, 에너지 플랜트, 정밀기계 등 다양한 산업 분야에서 구조적 안정성과 신뢰성을 확보하기 위한 핵심 기술이다. 특히 Hz-kHz 대역의 저주파 구조 전달 진동은 파장이 길어 구조물의 전역 모드와 쉽게 결합하여 장기적으로 피로 파손과 동적 성능 저하를 유발할 수 있기 때문에 진동 감쇠 설계는 필수적이다(Cremer and Heckl, 2013). 현재까지 널리 사용되어 온 스프링-댐퍼 기반의 수동형 진동 저감 장치는 주파수 의존적 특성과 크기 및 중량 제약으로 인해 저주파 대역에서의 감쇠 성능에 한계가 존재한다(Bert et al., 1973). 이러한 한계를 극복하기 위한 대안으로 주기적 구조를 기반으로 파동 전파를 제어하는 음향 메타물질이 주목받고 있다(Sigalas, 1992). 음향 메타물질은 브래그 산란 또는 국소 공진 메커니즘을 통해 밴드갭을 형성하여 특정 주파수 영역에서 탄성파 전파를 차단할 수 있다(Kushwaha et al., 1993; Liu et al., 2000).

실제 구조물에서 발생하는 진동은 넓은 주파수 대역에 걸쳐 분포하므로 실용적인 진동 차단을 위해서는 광대역 밴드갭의 구현이 필수적이다. 최근에는 적층 제조 기술의 발전으로 복잡한 3차원 격자 메타물질 구현이 가능해지면서 경량성과 기계적 강성을 유지하면서도 저주파 광대역 진동 차단 성능을 확보할 수 있는 구조 설계에 대한 관심이 증가하고 있다(An et al., 2019, 2020). 이러한 다기능 격자 구조 설계를 위해 계층 구조, 국부 공진기 삽입, 파형 및 테이퍼형 빔과 같은 다양한 기하학적 설계 전략이 제안되어 왔다(Mei et al., 2021; Meng et al., 2020; Trainiti et al., 2016). 그러나 이러한 접근법은 급격한 단면 변화나 불연속적인 형상으로 인해 빔 접합부에서 강한 응력 집중을 유발하며, 이는 구조물의 하중 지지 능력을 저하시킬 수 있다(Sheng et al., 2023). 뿐만 아니라 단순한 빔 형상은 설계 자유도가 제한적이기 때문에 저주파 영역에서 광대역 밴드갭을 효과적으로 확보하는 데에 어려움이 따른다. 빔 형상을 고차 곡선으로 모델링하면 빔 연결부의 형상 연속성을 유지하면서 응력을 효과적으로 제어할 수 있지만(Lee et al., 2022), 설계 자유도가 증가하는 만큼 늘어나는 방대한 설계 공간을 효율적으로 탐색할 수 있는 전략이 필요하다.

이에 따라 데이터 기반 설계 기법이 유망한 대안으로 부상하고 있다. 최근 연구에서는 유전 알고리즘이나 심층 신경망 기반 최적화 방법이 복잡한 설계 문제에 적용 가능함을 보여주었으나, 대규모 데이터셋을 요구하거나 많은 반복 계산이 필요하여 고비용 해석이 수반되는 문제에서는 계산 효율성 측면에서 한계가 있다(Choi et al., 2019; Lee et al., 2022). 반면, 가우시안 프로세스 회귀(Gaussian process regression, GPR)를 기반으로 하는 베이지안 최적화(Bayesian optimization, BO)는 예측값과 함께 예측 불확실성을 정량적으로 평가할 수 있어 제한된 수의 해석으로도 효율적인 최적 설계를 수행할 수 있다는 장점을 가진다(Jones et al., 1998; Jung et al., 2023).

본 연구에서는 저주파 광대역 밴드갭 구현을 위해 대칭 베지어 곡선으로 정의된 빔 형상을 갖는 3차원 격자 구조를 제안한다. 각 빔은 베지어 곡선으로 매개변수화하여 기존 원통형 또는 이산형 빔에서 발생하는 응력 집중을 완화함과 동시에 설계 자유도를 크게 확장한다. 또한 고차원 설계 공간을 효율적으로 탐색하기 위해 탐색과 활용 간 균형을 동적으로 조절하는 적응형 가중 기대향상(weighted expected improvement, wEI) 획득 함수를 적용한 GPR 기반 BO 프레임워크를 구축하였다. 이를 통해 상대적으로 적은 해석 횟수로 광대역 밴드갭을 갖는 최적의 빔 형상을 도출한다. 최적화된 격자 구조의 밴드갭 특성과 기계적 강성은 선행 연구에서 제안된 구조와의 비교를 통해 정량적으로 평가된다. 이러한 결과를 바탕으로, 본 연구는 기존 구조에서 나타나는 강성-밴드갭 간 상충 관계를 완화하고 저주파 영역에서의 광대역 밴드갭 형성을 효과적으로 유도할 수 있는 설계 전략을 제시한다.

2. 초기 데이터 생성

기계 학습 기반 최적화 방법을 통해 격자 구조의 빔 요소를 베지어 곡선으로 모델링한 후, 밴드갭을 계산하기 위해 분산 해석을 진행하여 라틴 하이퍼큐브 샘플링(Latin hypercube sampling, LHS)으로 초기 데이터 100개를 생성하였다(McKay et al., 2000).

2.1 단위 격자 모델링

본 연구에서는 베지어(Bézier) 곡선을 사용하여 격자 구조 빔의 형상을 모델링한다. 베지어 곡선은 주어진 제어점을 통해 매끄러운 곡선을 생성하는 수학적 모델로, 컴퓨터 그래픽스 및 캐드 분야에서 복잡한 형상을 표현하는 데 널리 활용된다(Kang and Lee, 2024). n차 베지어 곡선 B(u)는 n + 1개의 제어점 P0, P1, …, Pn에 의해 정의되며, 다음 식 (1)과 같이 표현된다.

빔의 단면 형상을 정밀하게 제어하기 위해 총 13개의 제어점을 사용하였으며, 이를 중심점을 기준으로 대칭 조건에 따라 전체 제어점 중 절반에 해당하는 7개의 y좌표만을 독립 설계변수로 설정함으로써 7차원 설계 공간을 정의하였다. 이를 통해 형상 설계의 자유도를 확보하면서도 최적화 과정에서 요구되는 계산 효율성을 함께 고려하였다(Fig. 1).

Fig. 1.

Beam parameterization and construction of the unit cell

정의된 대칭 베지어 곡선은 빔의 길이 방향을 따라 반지름 변화를 나타내는 빔 외곽 형상으로 사용되며, 해당 곡선을 회전시켜 3차원 빔 형상을 생성하였다. 생성된 빔을 단위 격자의 빔 요소로 배치함으로써, 최종적으로 베지어 곡선 기반 격자 구조의 단위 셀을 모델링하였다. 본 연구에서는 다양한 격자 위상 중에서 비교적 단순한 연결성을 가지며 적층 제조를 통한 안정적인 제작이 용이한 단순 입방 격자를 최적화 대상으로 선정하였다.

2.2 분산 해석

최적화 과정에서 각 형상의 진동 저감 성능을 정량적으로 평가하기 위해 분산 해석을 수행하였다. 분산 해석을 통해 전파 가능한 탄성파 모드와 밴드갭 형성 주파수 구간을 도출하고, 이를 최적화 과정에서 설계안의 성능을 판단하는 기준으로 사용하였다.

탄성파 전달 특성은 COMSOL Multiphysics의 Solid mechanics 모듈을 이용한 고유진동수 해석을 통해 계산하였다(C. Multiphysics, 1998). 단위 셀에는 Bloch-Floquet 주기 경계조건을 적용하여 무한 주기 구조를 모사하였으며, 브릴루앙 영역 경로를 따라 파수 벡터 k를 변화시키면서 각 파수 조건에서의 고유진동수를 산출하였다(Setyawan and Curtarolo, 2010). 이를 통해 파수 벡터와 고유진동수의 관계를 나타내는 분산 선도를 도출하였다. 시뮬레이션 조건과 단위 격자의 브릴루앙 영역은 Fig. 2(a), Fig. 2(b)에 나타나 있다. Bloch-Floquet 조건은 주기 구조에서 인접한 단위 셀 사이의 변위장 관계를 정의하며, 다음 식 (2)와 같이 표현된다.

여기서, u는 변위 벡터, r은 위치 벡터, R은 격자 병진 벡터를 나타낸다. 이후 유한요소 이산화를 거쳐 다음 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 2.

Simulation setup for dispersion and load bearing analysis

K와 M은 각각 단위 셀의 강성 행렬과 질량 행렬이며, ω는 각진동수, U는 변위 진폭 벡터를 의미한다.

분산 선도에서 전체 브릴루앙 영역 경로에 걸쳐 고유 모드가 존재하지 않는 주파수 구간을 완전 밴드갭으로 정의하였다. 물리적으로 이는 해당 주파수 영역에서 전파 가능한 실수 파수의 모드가 존재하지 않음을 의미하며, 파수는 복소수 값을 갖고 파동장은 공간적으로 감쇠하는 에바네센트 해(evanescent solution)로 나타난다. 따라서 무한 주기 구조 내에서는 해당 주파수 범위에서 탄성파 전파가 억제된다. 밴드갭의 크기를 정량화하기 위해 상대 밴드갭(BGr)을 다음 식 (4)와 같이 정의하였다.

fu와 fl은 각각 밴드갭의 상한 및 하한 주파수, fc는 중심 주파수이다. 상대 밴드갭은 서로 다른 격자 형상 간의 밴드갭 효율을 직접 비교할 수 있는 무차원 지표로 사용된다. 또한 분산 특성을 격자 구조 스케일에 독립적으로 해석하기 위해 정규화 주파수 fn을 다음 식 (5)와 같이 정의하였다.

여기서, f는 고유진동수, a는 격자 상수, ct는 모재의 횡파 속도를 나타낸다. E, rs, u는 각각 재료의 탄성계수, 밀도, 포아송비를 의미한다.

분산 해석을 통해 예측된 밴드갭의 진동 감쇠 특성을 보완적으로 검증하기 위해 동일한 단위 격자를 기반으로 구성한 2 × 2× 2 유한 배열 모델에 대해 투과 손실(transmission loss) 해석을 수행하였다. 유한 배열 모델의 한쪽 면에는 조화 가진을 부여하고, 반대쪽 면에서의 응답을 측정하여 입력 진폭 대비 출력 진폭의 감소량을 계산하였다(Fig. 2(c)). 이를 통해 무한 주기 구조에서 예측된 밴드갭 주파수 구간이 유한 구조에서도 탄성파 전달 저감으로 나타나는지 검증하였다.

2.3 유효 탄성계수

저주파 광대역 밴드갭을 확보하기 위한 기하학적 설계는 격자 구조의 분산 특성을 효과적으로 제어할 수 있지만, 동시에 구조적 강성 저하를 유발할 가능성이 있다. 특히 국부 공진기 삽입이나 급격한 단면 변화에 기반한 설계는 낮은 주파수에서 밴드갭을 형성하는 데 유리할 수 있으나, 하중 지지 구조로서의 기계적 성능을 저하시킬 수 있다(An et al., 2020; Lee et al., 2022). 따라서 본 연구에서는 제안된 베지어 기반 형상 최적화가 진동 차단 성능뿐만 아니라 기계적 강성 측면에서도 유효한지를 확인하기 위해 유효 탄성계수를 산출하였다.

유한요소해석은 COMSOL Multiphysics를 사용하였다. 단위 셀의 모든 측면에 주기 경계 조건을 적용하여 무한 주기 구조의 거동을 모사하였으며, 상부 면에 z 방향으로 압축 하중 조건 ε = -0.01을 부과하고, 하부 면은 고정 경계 조건을 적용하였다. 격자 영역은 사면체 요소로 구성하였으며, 유한요소해석 결과로부터 격자 구조의 체적 평균 응력을 산출하였다. 시뮬레이션 조건은 Fig. 2(d)에 나타나 있다.

격자 구조의 유효 응력은 단위 셀 내 각 상의 체적분율과 평균 응력의 합으로 다음 식 (6)과 같이 표현된다.

여기서, 상 0은 빈 공간을, 상 1은 재료를 나타내며, c0과 c1은 각 상의 체적분율을 의미한다. 빈 공간은 응력을 전달하지 않으므로, 유효 응력은 다음 식 (7)과 같이 정리된다.

여기서, ρ=ρ/ρs는 단위 격자의 상대 밀도를 나타낸다. Hill’s lemma에 따르면, 주기 경계조건이 적용된 대표 체적 요소의 평균 응력과 변형률은 다음 식 (8)과 같은 구성방정식을 만족한다.

여기서, Cijkl 은 유효 강성 텐서이며, 유효 컴플라이언스 텐서 Sijkl 은 Cijkl의 역행렬로 정의된다. 본 연구에서는 z방향 하중 지지 성능을 평가하기 위해 S3333 성분을 사용하였으며, 최종적으로 격자의 유효 탄성계수는 다음 식 (9)와 같이 산출하였다.

이를 통해 제안된 베지어 기반 격자 구조가 저주파 광대역 밴드갭을 형성하는 동시에, 하중 지지 구조로서 요구되는 유효 강성을 유지하는지 정량적으로 평가하였다.

3. 베이지안 최적화 기반 형상 설계

형상 최적화는 GPR 대리 모델과 wEI 획득 함수를 결합한 베이지안 최적화를 통해 수행하였다. 전체 최적화 과정은 Fig. 3에 도식화되어 있다. 최적화 루프는 총 100회 반복하였으며, 각 반복은 GPR 모델 갱신, 획득 함수 최적화에 의한 다음 후보 선정, 그리고 유한요소해석으로 구성된다. GPR과 BO는 MATLAB, FEA는 COMSOL Multiphysics를 이용하여 수행하였다.

Fig. 3.

Workflow chart of GPR-BO framework

본 연구에서는 저주파 영역에서 광대역의 완전 밴드갭을 최대화하기 위해 분산 해석으로부터 계산된 첫 번째 상대 밴드갭을 목적함수 f(x)로 정의하였다. 최적화 문제는 다음 식 (10)과 같이 표현된다.

초기화 단계에서는 LHS로 생성한 100개의 초기 데이터를 바탕으로 GPR 대리 모델을 학습한다. GPR은 비모수적 확률론 회귀 모델로, 미지의 목적함수 f(x)를 관측 데이터 D = {(xi, yi) | i = 1, …, n}로부터 통계적으로 보간하여 모델링한다(Williams and Rasmussen, 1995). 관측 값은 가우시안 노이즈를 포함하는 것으로 가정하며, yi = f(xi) + εi, εi ~ N (0, σε,i2)로 표현된다. GPR은 관측된 출력 y = {yi | i = 1, …, n}과 새로운 입력 점 x에 대한 예측 값 y = f(x)가 다음 식 (11)과 같은 다변량 가우시안 분포를 따른다고 가정한다.

K는 학습 입력의 공분산 행렬로, 각 원소는 커널 함수 k에 의해 Kij = k(xi, xj)로 정의된다. k는 관측 입력 데이터와 새로운 입력점 x* 사이의 공분산 벡터로, 각 원소는 k(xi, x*)로 정의된다. 본 연구에서는 입력 변수 간 상관 구조를 효과적으로 모델링하기 위해 Matérn 5/2 커널 함수를 채택하였다(Williams and Rasmussen, 1995). 해당 커널은 두 번 미분 가능한 함수 공간을 가정하여, 무한 번 미분 가능한 함수를 전제로 하는 제곱지 커널에 비해 과도한 평활화를 방지하고, 격자 구조 밴드갭의 비선형적 변화를 보다 현실적으로 반영할 수 있다. Matérn 5/2 커널 함수는 다음 식 (12), (13)과 같이 정의된다.

여기서, δij은 크로네커 델타 함수이며, r은 두 입력점 사이의 유클리드 거리를 나타낸다. 커널 함수는 신호 분산(σf2), 특성 길이(l), 관측 노이즈 분산(σε2)의 세 가지 하이퍼파라미터를 포함하며, 각각 출력 진폭, 거리에 따른 상관관계 감소율, 계측 노이즈 크기를 제어한다.

다음 샘플링 지점을 선정하기 위해 BO는 학습된 GPR 모델을 기반으로 설계 공간 전체에서 획득 함수를 평가하고, 목적함수 개선 가능성이 높은 새로운 후보점을 선택한다. 본 연구에서는 기본 획득함수로 기대향상(Expected Improvement, EI)을 고려하였다. EI는 현재까지 관측된 최적값 대비 후보점에서 기대되는 개선량을 정량화하는 지표로, 폐형식으로 계산될 수 있어 계산 효율이 높고 단일 목적 BO에서 널리 활용된다(Jones et al., 1998; Park et al., 2025). 최대화 문제에서 EI는 다음 식 (14)와 같이 정의된다.

x+는 현재까지 관측된 샘플 중 목적함수 값이 가장 큰 설계점이며, f(x+)는 해당 설계점에서의 최적 관측값을 의미한다. 표준 EI는 예측 평균과 불확실성을 동시에 고려함으로써 탐색과 활용을 모두 반영하지만, 최적화 단계에 따라 두 성분의 상대적 기여도를 명시적으로 조절하기 어렵다는 한계가 있다(Lee et al., 2023). 따라서 본 연구에서는 이를 보완하기 위해 wEI 획득함수를 사용하였다. wEI는 다음 식 (15), (16)과 같이 기존 EI를 활용 항과 탐색 항으로 분해하고, 가중치 w를 통해 최적화 단계에 따라 두 성분의 기여도를 조절한다. 본 연구에서는 w = 0.5로 고정하여 최적화하였다.

여기서, µ(x)와 σ(x)는 각각 GPR 대리 모델의 예측 평균과 표준편차를 나타내며, Φ와 𝜙는 각각 표준 정규분포의 누적분포함수와 확률밀도함수를 나타낸다. µ(x)와 관련된 첫 번째 항은 현재 최적해를 개선하는 데 중점을 두는 활용 성분이며, σ(x)와 관련된 두 번째 항은 예측 불확실성이 높은 영역을 우선적으로 탐색하는 탐색 성분이다. 따라서 최적화 초기에는 탐색 성분의 기여도를 높여 설계 공간 전반을 폭넓게 탐색하고, 반복이 진행됨에 따라 점진적으로 활용 성분의 기여도를 높여 유망 영역에 대한 집중 탐색으로 전환한다. 이를 통해 제한된 수의 수치해석 평가만으로도 효율적인 설계 공간 탐색과 빠른 수렴을 유도할 수 있다.

4. 수치해석 결과 및 논의

4.1 형상 최적화 결과

제안한 GPR-BO 기반 형상 최적화의 수렴 특성과 wEI 획득함수의 탐색 효율성을 평가하기 위해 반복 횟수에 따른 목적함수 변화와 EI 및 wEI 기반 샘플링 결과를 비교하였다. Fig. 4는 BO 반복 과정에서 새롭게 평가된 설계점의 목적함수 값과 현재까지의 최대 목적함수 값을 함께 나타낸다. 초기 LHS 데이터에서 설정된 기준값을 초과하는 후보 설계점이 BO 초기 단계에서 빠르게 탐색되었으며, 이후 반복 과정에서는 새롭게 평가된 설계점의 목적함수 값이 넓은 범위에 분포하였다. 이는 wEI 기반 BO가 제한된 해석 횟수 내에서 우수한 후보 설계 영역을 조기에 탐색하면서도, 이후 반복에서 설계 공간 내의 다양한 영역을 지속적으로 평가하였음을 의미한다.

Fig. 4.

Convergence history of the objective function during optimization

Fig. 5는 EI와 wEI를 적용하여 탐색된 설계점들을 주성분 분석을 통해 3차원 공간에 투영한 결과이다. 각 점의 색상은 해당 설계점에서 계산된 목적함수 값을 의미한다. EI 기반 탐색에서는 고성능 설계점이 특정 영역 주변에 집중되는 경향을 보인 반면, wEI 기반 탐색에서는 높은 목적함수 값을 갖는 설계점들이 보다 넓은 설계 공간에 걸쳐 분포하였다. 이러한 차이는 wEI가 예측 평균에 기반한 활용 성분과 예측 불확실성에 기반한 탐색 성분의 상대적 기여도를 조절함으로써, 국소적인 유망 영역에만 집중되는 현상을 완화하고 다양한 후보 설계 영역을 효과적으로 평가할 수 있음을 보여준다. 따라서 제안한 wEI 기반 GPR-BO 프레임워크는 고비용 유한요소 분산 해석이 요구되는 격자 메타물질 형상 최적화 문제에서 빠른 수렴성과 설계 공간 탐색 효율성을 동시에 확보할 수 있는 최적화 전략으로 판단된다.

Fig. 5.

Comparison of sampling distributions produced by the EI and wEI

Fig. 6는 GPR-BO 기반 형상 최적화를 통해 도출된 최적 구조(Opt)와 원통형 구조(Cyl), 이산 공진 구조(Cyl-Sph)의 형상 및 각 빔의 반지름 분포를 나타낸다. 세 구조는 동일한 상대 밀도 ρ = 0.41에서 비교하였으며, 이를 통해 밴드갭 특성 및 구조 응답의 차이가 재료 사용량의 차이가 아니라 형상 변화와 질량 분포 방식에서 기인하도록 설정하였다. 최적화 결과, Opt 구조는 빔 길이 방향을 따라 반지름이 연속적으로 변하는 곡선형 분포를 갖는다. 반면 Cyl 구조는 전 구간에서 일정한 반지름을, Cyl-Sph 구조는 원통형 빔에 국소적으로 구형 질량이 부가된 이산적 형상을 갖는다. 이러한 형상 차이는 이후 분산 특성 및 응력 분포 차이를 유도하는 핵심 요인으로 작용한다.

Fig. 6.

Geometries and radius profiles of the three structures

4.2 밴드 구조 및 밴드갭 형성 메커니즘

앞서 정의한 정규화 주파수 fn을 기준으로 Opt, Cyl, Cyl-Sph 구조의 분산 곡선과 밴드 경계에서의 모드 형상을 비교하였다(Fig. 7). 첫 번째 밴드갭 이후에도 추가적인 밴드갭이 분리되어 나타날 수 있으나, 분리된 밴드갭 사이의 패스밴드에서는 탄성파 전파가 가능하므로 본 연구에서는 첫 번째 완전 밴드갭을 기준으로 성능을 비교하였다. Opt 구조는 fn = 0.1767에서 시작하여, fn = 1.1463에서 종료되는 첫 번째 완전 밴드갭을 형성하였으며, 이에 해당하는 상대 밴드갭은 143.17%이다. 반면 Cyl 구조에서는 상대 밴드갭이 형성되지 않았으며, Cyl-Sph 구조는 134.73%의 상대 밴드갭을 가진다.

Fig. 7.

Dispersion curves and band-edge mode shapes of the three structures

세 구조의 분산 곡선을 비교하면, 밴드갭 형성에 관여하는 국소 굽힘 및 관성 효과가 구조 형상에 따라 서로 다른 방식으로 나타남을 확인할 수 있다. Cyl 구조는 균일한 원통형 빔으로 구성되어 밴드 간 주파수 분리가 충분히 유도되지 않으며, 그 결과 전체 브릴루앙 영역 경로에 걸친 완전 밴드갭이 형성되지 않는다. Cyl-Sph 구조와 최적 구조는 모두 국소 공진에 기반한 질량-스프링 유사 메커니즘을 통해 Cyl 구조에서는 나타나지 않았던 완전 밴드갭을 형성한다. Cyl-Sph 구조에서는 구형 질량이 공진기 역할을 하고 원통형 빔이 이를 연결하는 스프링 역할을 하는 반면, Opt 구조는 두꺼운 빔 구간이 상대적으로 큰 관성을 갖는 공진기와 유사한 역할을, 얇은 구간이 낮은 굽힘 강성을 갖는 스프링과 유사한 역할을 한다. 따라서 두 구조의 밴드갭 형성 원리는 유사하지만, Cyl-Sph 구조는 공진기와 스프링이 기하학적으로 분리된 이산 공진형 구조인 반면 Opt 구조는 동일한 역할이 하나의 연속적인 베지어 형상 안에서 구현된다는 점에서 차이를 가진다.

밴드 경계에서의 모드 형상은 이러한 해석을 뒷받침한다(Fig. 7). Cyl 구조에서는 고유 모드에 따른 변형 영역이 충분히 분리되지 않아 완전 밴드갭이 형성되지 않는 반면, Cyl-Sph 구조에서는 밴드갭 경계에서 구형 질량부 주변의 국소 변형이 뚜렷하게 나타난다. 최적 구조에서도 밴드갭 경계에서 빔 내부의 국소 변형 모드가 관찰되며, 이는 연속적인 반지름 분포가 구조 내부의 동적 질량 및 굽힘 거동을 조절하고 있음을 보여준다. 따라서 최적 구조의 광대역 밴드갭은 Cyl-Sph 구조와 유사한 국소 공진 기반 메커니즘에 의해 형성되지만, 그 구현 방식은 이산 질량 부가가 아니라 연속적인 형상 최적화에 기반한다고 해석할 수 있다.

추가적으로 분산 해석에서 예측된 Opt 구조의 첫 번째 완전 밴드갭이 유한 구조에서도 진동 감쇠로 이어지는지 확인하기 위해 투과 손실 해석을 수행하였다(Fig. 8). 그 결과, Opt 구조의 첫 번째 완전 밴드갭 구간인 fn = 0.1767-1.1463에서 투과 손실이 뚜렷하게 증가하였으며, 높은 투과 손실이 나타나는 주파수 영역이 분산 해석에서 예측된 밴드갭과 잘 대응하였다. 이는 해당 주파수 범위에서 탄성파 전달이 유한 배열 구조에서도 효과적으로 억제됨을 보여준다.

Fig. 8.

Transmission loss response of the Opt structure

4.3 유효 탄성계수 및 응력 분포 분석

제안된 설계의 구조적 적용 가능성을 평가하기 위해, 단축 압축 변형 조건에서의 유효 탄성계수 및 국소 응력 분포에 대한 유한요소해석을 수행하였다. 각 구조의 상대 밴드갭과 정규화 유효 탄성계수, 정규화 최대 폰 미세스 응력은 Table 1에 정리하였다. 정규화 최대 폰 미세스 응력은 구조 내 최대 폰 미세스 응력을 동일 압축 변형률 조건 ε 에서의 모재 기준 응력 E0으로 나눈 값으로 정의하였다.

GPR-BO를 통해 도출된 최적 구조의 정규화 유효 탄성계수는 0.0141로 산출되었다. 동일한 상대밀도 조건의 Cyl 구조는 0.2280으로 Opt 구조 대비 약 16.2배 높은 강성을 나타내며, 균일한 단면을 갖는 원통형 빔 구조가 하중 지지 측면에서는 유리함을 보여준다. 그러나 앞서 확인한 바와 같이 Cyl 구조는 완전 밴드갭을 형성하지 못하므로, 높은 강성이 진동 차단 성능으로 이어지지는 않는다. 이는 광대역 밴드갭 구현 과정에서 강성과 밴드갭 성능 사이에 상충 관계가 존재함을 의미한다. 광대역 저주파 밴드갭을 형성하기 위해서는 단위 셀 내에 국소 굽힘 변형 및 관성 효과를 유도할 수 있는 유연한 영역이 필요하며, 이로 인해 유효 굽힘 강성의 감소가 수반된다. 이산 공진 구조인 Cyl-Sph의 정규화 유효 탄성계수는 0.0134로 나타났으며, Opt 구조는 이보다 약 5.2% 높은 0.0141의 정규화 유효 탄성계수를 보였다. 이는 두 구조가 유사한 국소 공진 기반 밴드갭 형성 메커니즘을 가지더라도, Opt 구조에서는 공진기와 스프링 역할을 하는 구간이 하나의 연속적인 베지어 형상 안에서 구현되어 하중 전달 경로의 급격한 단절이 완화되기 때문으로 해석된다. 이러한 관점에서 Opt 구조는 Cyl-Sph 구조와 유사한 밴드갭 형성 원리를 유지하면서도, 전체적인 하중 지지 성능을 소폭 향상시킨다는 점에서 구조적 이점을 가진다.

응력 분포 측면에서도 세 구조는 뚜렷한 차이를 보인다(Fig. 9). Cyl 구조의 정규화 최대 폰 미세스 응력은 2.76으로 가장 낮게 나타났으나, 이는 완전 밴드갭을 형성하지 않는 균일 원통형 구조의 높은 강성에서 기인한다. 반면 Cyl-Sph 구조의 정규화 최대 폰 미세스 응력은 17.8로 세 구조 중 가장 높으며, 구형 질량과 원통형 빔이 연결되는 계면에서 상당한 응력 집중이 나타난다. 이에 비해 Opt 구조의 정규화 최대 폰 미세스 응력은 11.9로, Cyl-Sph 구조 대비 약 33.1% 낮은 수준이다. 이는 베지어 곡선 기반의 빔 형상이 단면의 급격한 변화를 완화하여 하중이 빔 내부를 따라 보다 완만하게 전달되도록 유도하기 때문으로 해석된다. 결과적으로 Opt 구조는 이산 공진 구조와 유사한 밴드갭 형성 메커니즘을 유지하면서도, 정규화 유효 탄성계수를 약 5.2% 향상시키고 최대 응력을 약 33.1% 감소시킴으로써 응력 집중 완화 측면에서 구조적으로 유리한 형상을 제공한다.

Fig. 9.

Stress distributions of the three structures under compression loading

5. 결 론

본 연구에서는 단순 입방 격자 구조를 대상으로 베지어 곡선 기반의 빔 형상과 GPR-BO를 결합하여 저주파 광대역 밴드갭 형성을 위한 최적 격자 구조를 도출하였다. 최적 구조는 정규화 주파수 fn = 0.1767에서 fn = 1.1463까지 이어지는 첫 번째 완전 밴드갭을 형성하였으며, 상대 밴드갭은 143.17%로 계산되었다. 동일 상대 밀도 조건에서 Cyl 구조는 완전 밴드갭을 형성하지 못하였고, Cyl-Sph 구조의 첫 번째 완전 밴드갭 기준 상대 밴드갭은 134.73%로 나타났다. 이를 통해 제안된 형상 최적화 방식이 넓은 상대 밴드갭 형성에 효과적임을 확인하였다. 밴드갭 형성 메커니즘 측면에서 Opt 구조는 Cyl-Sph 구조와 유사한 국소 공진 기반 거동을 보이지만, 이를 이산적인 질량이 아니라 연속적인 빔 형상 안에서 구현한다는 점에서 차별성을 가진다. 이러한 형상은 구조 성능에서도 장점을 보였다. Opt 구조의 정규화 유효 탄성계수는 0.0141로 Cyl-Sph 구조보다 약 5.2% 높았으며, 정규화 최대 폰 미세스 응력은 11.9로 Cyl-Sph 구조 대비 약 33.1% 감소하였다.

종합적으로 제안된 베지어 곡선 기반 형상 최적화 프레임워크는 저주파 광대역 밴드갭 형성과 구조적 안정성 사이의 상충 관계를 완화할 수 있는 설계 전략임을 보였다. 본 연구는 이산 공진 요소를 직접 부가하지 않고도 연속적인 빔 형상 제어를 통해 국소 공진 기반 밴드갭을 구현할 수 있음을 제시하였다. 향후에는 다양한 위상 구조 및 상대 밀도 조건에 대한 추가 분석을 통해 제안된 방법의 일반화 가능성을 검증하고, 적층 제조 공정 제약, 피로 수명, 좌굴 안정성 및 동적 하중 응답을 고려한 구조 성능 평가를 수행할 필요가 있다.