Nonlinear Higher-Mode Effects in Torsionally Coupled Low-Rise Buildings

Yi-Seop Shin; Hyung-Joon Kim

doi:10.7734/COSEIK.2026.39.4.255

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 31 August 2026. 255-263
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2026.39.4.255

Nonlinear Higher-Mode Effects in Torsionally Coupled Low-Rise Buildings

횡-비틀림 저층 구조물의 비선형 거동에 따른 고차모드 효과 변화

Yi-Seop Shin¹

Hyung-Joon Kim²^*

신 이섭¹

김 형준²^*

¹Graduate Student (Ph.D Course), Department of Architectural Engineering, University of Seoul, Seoul, 02504, Korea

²Professor, Department of Architecture, University of Seoul, Seoul, 02504, Korea

¹서울시립대학교 건축공학과 박사과정

²서울시립대학교 건축학부 교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

Higher-mode effects in low-rise buildings exhibiting coupled lateral-torsional behavior can significantly influence seismic response and should be properly reflected in the seismic design procedure. Conventional criteria for identifying higher-mode-dominated response are generally based on elastic response spectrum analysis, which limits their direct application to inelastic structures. This study investigated the influence of structural nonlinearity on higher-mode effects in torsionally coupled low-rise buildings through nonlinear static and nonlinear time-history analyses. Existing elastic-analysis-based higher-mode indicators were evaluated through a comparison with the higher-mode effects observed in nonlinear response. Higher-mode-effects generally decreased with an increase in structural nonlinearity, whereas some structures considered in this study exhibited nonlinear higher-mode effects greater than those estimated in the elastic state. These findings provide insights into the limitations of directly applying elastic higher-mode indicators to nonlinear torsionally coupled structures and can serve as bases for developing assessment approaches that account for nonlinear response characteristics.

Keywords

low-rise buildings

lateral-torsional effect

higher-mode effect

nonlinear time-history analysis

횡-비틀림 거동하는 저층 구조물에서 발생할 수 있는 고차모드는 구조응답에 유의미한 영향을 미칠 수 있으며, 내진 성능평가 및 보강 계획 수립을 위해 이를 적절하게 평가할 필요가 있다. 기존의 고차모드 지배 여부 판별 방법은 주로 탄성응답스펙트럼해석에 기반하고 있어, 비선형 거동하는 구조물에 그대로 적용하기에는 한계가 있을 수 있다. 본 연구에서는 횡-비틀림 거동하는 저층 구조물을 대상으로 비선형 해석을 수행하여 구조물의 비선형 거동이 고차모드 효과에 미치는 영향을 분석하였다. 또한, 기존 탄성해석 기반 고차모드 판별지표와 비선형 응답에서 나타나는 고차모드 효과를 비교함으로써, 비선형 구조물에 대한 기존 판별지표의 적용성을 검토하였다. 해석 결과, 비선형성이 증가할수록 고차모드 효과는 전반적으로 감소하는 경향을 보였으나, 일부 구조물에서는 탄성상태에서 평가된 고차모드 효과보다 비선형 응답에서의 고차모드 효과가 증가하는 경우도 확인되었다. 본 연구의 결과는 비선형 횡-비틀림 구조물에 대한 기존 고차모드 판별지표의 적용 한계를 이해하고, 비선형 응답 특성을 고려한 평가 방법을 정립하기 위한 기초자료로 활용될 수 있을 것으로 판단된다.

키워드

저층 구조물

횡-비틀림 효과

고차모드 효과

비선형시간이력해석

MAIN

1. 서 론
2. 저층 횡-비틀림 구조물의 탄성 고차모드 효과
2.1 기존 기준의 고차모드 판별 방법
2.2 저층 횡-비틀림 구조물의 고차모드 영향인자
3. 비선형 거동에 따른 고차모드 효과 변화
3.1 수치해석 모델
3.2 해석 변수
3.3 비선형 시간이력 해석
4. 결 론

1. 서 론

건축 구조물의 내진성능 평가에서 비선형정적해석(Nonlinear Static Analysis, NSA)은 횡하중을 점진적으로 증가시켜 구조물의 하중-변위 관계와 비선형 거동 특성을 평가하는 방법이다. NSA는 다수의 입력지진파에 대한 반복 해석이 요구되는 비선형시간이력해석(Nonlinear Time-History Analysis, NTHA)에 비해 절차가 단순하고 계산 효율성이 높다. 그러나 NSA는 구조물의 동적 응답을 직접 산정하지 않으며, 일반적으로 지배모드 또는 사전에 정의된 횡하중 분포에 기반하므로 고차모드 효과와 비틀림 응답 증폭을 충분히 반영하기 어렵다(Chopra and Goel, 2002; Gupta and Kunnath, 2000; Paret et al., 1996).

이에 따라 국내･외의 내진설계 및 성능평가 관련 기준(ASCE 41-22, 2022; Eurocode, 2001; Ministry of Land, 2021; NZSEE, 2017)에서는 구조물의 고차모드 지배 여부를 검토하도록 요구하고 있으며, 고차모드 효과가 지배적인 구조물에 대해서는 NSA의 단독 적용을 제한하고 선형동적해석과의 병행 또는 NTHA을 요구하고 있다. 그러나 선형동적해석은 구조물의 비선형 거동을 직접 반영하지 못하므로 보수적인 평가로 이어질 수 있으며, NTHA는 상당한 해석 비용과 시간이 요구된다. 따라서 구조물이 실제로 고차모드 효과에 지배되는지를 합리적으로 판별하는 것은 적절한 성능평가 절차의 선택과 보강계획 수립에 있어 중요하다.

일반적으로 고차모드 효과는 고층 구조물에서 주로 발생하는 것으로 인식되어 왔다(Guan et al., 2019; Hwang et al., 2000; Maniatakis et al., 2013). 그러나 최근에는 저층 구조물에서도 횡-비틀림 효과로 인해 고차모드 효과가 구조응답에 유의미한 영향을 미치거나, 기존 기준에 의해 고차모드 지배 구조물로 판별되는 사례가 보고되고 있다. Shin과 Kim(2024)은 횡-비틀림 거동을 보이는 저층 구조물을 대상으로 고차모드 효과의 발생 가능성을 검토하였으며, 고차모드 효과를 구조물의 높이나 지배주기만으로 판단하는 기존 인식에 한계가 있음을 보고하였다.

한편, 기존의 고차모드 판별 방법은 주로 탄성응답스펙트럼해석을 기반으로 한다. 이러한 방법은 구조물의 탄성거동을 전제로 하므로, 항복 이후 발생하는 강성저하와 이로 인한 비틀림 특성 및 모드별 응답 기여도 변화 등 비선형 거동에 따른 응답 특성을 충분히 고려하기 어렵다. 특히 횡-비틀림 거동을 보이는 구조물에서는 비선형화가 진행됨에 따라 탄성상태에서 평가된 고차모드 영향과 실제 비선형 응답에서 나타나는 고차모드 영향 사이에 차이가 발생할 수 있다.

본 연구에서는 횡-비틀림 거동을 보이는 저층 구조물을 대상으로 비선형해석을 수행하여 구조 비선형성이 고차모드 효과에 미치는 영향을 분석하고, 기존 탄성해석 기반 고차모드 판별 방법의 적용성을 검토한다.

2. 저층 횡-비틀림 구조물의 탄성 고차모드 효과

2.1 기존 기준의 고차모드 판별 방법

국내･외 내진성능평가 기준에서는 탄성해석 결과를 바탕으로 구조물의 고차모드 지배 여부를 판별하도록 제시하고 있다. 대표적으로 ASCE 41-22(2022)은 응답스펙트럼해석을 통해 지배모드만을 고려한 층전단력과, 질량참여율의 합이 90% 이상이 되도록 하는 충분한 수의 모드를 고려한 층전단력을 비교하도록 한다. 이때 $j$ 층에서 충분한 수의 모드를 고려하여 산정한 층전단력을 $V_{j T}$ , 지배모드만을 고려하여 산정한 층전단력을 $V_{j F}$ 라 하면, 고차모드 효과의 수준은 다음 식 (1)의 층전단력비의 최댓값( $I N D_{L}$ )으로 평가된다.

(1)

\in D_{L} = \max (V_{j T} / V_{j F})

ASCE 41-22(2022)에서는 $I N D_{L} > 1.3$ 이면 고차모드 효과가 지배적인 구조물로 판별한다. 국내의 기존 건축물 내진성능 평가요령 및 학교시설 내진성능평가 및 보강 매뉴얼(2021)에서도 동일하게 층전단력비를 기준으로 고차모드 지배 여부를 판단한다. 한편, Eurocode(2001)과 NZSEE(2017)는 층전단력비와 함께 구조물의 지배주기도 고차모드 판별 기준으로 사용한다. 즉, 기존 기준에서는 주로 층전단력 응답의 증폭 정도와 구조물의 주기 특성을 바탕으로 고차모드 지배 여부를 평가한다.

그러나 이러한 판별 방법은 탄성해석 결과에 기반하므로, 구조물의 비선형화에 따른 강성 변화와 횡-비틀림 응답 특성의 변화를 직접 반영하지는 못한다. 따라서 기존의 탄성 기반 고차모드 판별 지표가 비선형 거동을 보이는 횡-비틀림 저층 구조물에서도 유의미한 결과를 도출할 수 있는지 검토할 필요가 있다.

2.2 저층 횡-비틀림 구조물의 고차모드 영향인자

본 연구의 대상인 저층 구조물은 일반적으로 짧은 지배주기를 가지므로, 고층 구조물에서와 같이 장주기 영역에서 고차모드의 스펙트럼가속도가 상대적으로 증가하는 효과는 제한적이다. 저층 구조물의 $I N D_{L}$ 는 지배주기와 함께 모드별 질량참여율, 층전단력 분포, 그리고 횡방향 응답과 비틀림 응답의 조합에 의해 결정된다.

응답스펙트럼해석에서 층전단력은 각 모드의 기여도를 조합하여 산정된다. 모드별 기여도는 해당 모드의 스펙트럼가속도와 모드정적응답에 의해 결정되며, 층전단력과 같은 하중응답에서는 모드별 질량참여율이 고차모드 효과의 정도를 설명하는 주요 지표가 된다. 특히 지배모드의 질량참여율이 작을수록 지배모드를 제외한 모드의 상대적 기여도가 증가하므로, 탄성 기반 고차모드 영향지표 $I N D_{L}$ 이 증가한다.

저층 구조물에서는 고유주기가 비교적 짧아 모드별 스펙트럼가속도의 차이가 크지 않다. 따라서 저층 구조물에서는 나타나는 고차모드에 의한 응답 증폭은 고차모드의 주기 감소에 따른 스펙트럼가속도 증가보다 지배모드의 질량참여율 감소에 따른 고차모드의 기여도 증가가 주요 원인이 된다. 횡-비틀림 거동을 보이는 저층 구조물에서의 횡-비틀림 모드 결합이 이에 대한 대표적인 예이며, 이는 고층 구조물에서 높이에 따른 횡방향 변형모드가 지배모드의 질량참여율을 감소시키는 효과와는 구분된다. 횡-비틀림 구조물의 지배모드 질량참여율은 주로 횡-비틀림 진동수비(𝛺)와 정적편심율( $e / r$ )에 의존한다.

횡-비틀림 거동을 하는 구조물의 𝛺값은 횡방향 회전주파수에 대한 비틀림 회전주파수의 상대적 크기를 나타내는 지표로, 다음 식 (2)와 같이 정의된다.

(2)

Ω = ω_{r} / ω

여기서, $ω_{r}$ 과 𝜔는 각각 비틀림 및 횡방향 회전주파수를 의미한다. 정적편심율은 질량중심과 강성중심 사이의 편심거리( $e$ )를 단면2차반경( $r$ )로 정규화한 값으로 정의된다. Hejal and Chopra(1987)는 1축 비대칭 평면을 갖는 횡-비틀림 단층 시스템에서 횡방향 질량참여율이 𝛺와 $e / r$ 에 의해 결정됨을 보였으며, 특정 𝛺값에서 횡방향 응답이 비틀림응답으로 전환되며, 이 부근에서 지배모드 질량참여율이 감소하고 $I D N_{L}$ 이 증가할 수 있다. Fig. 1은 모든 고유주기가 응답스펙트럼의 가속도일정구간에 포함되는 단층 횡-비틀림 시스템의 $I D N_{L}$ 을 𝛺과 $e / r$ 에 따라 나타낸 것이다. 특정 𝛺 부근에서 $I N D_{L}$ 이 최대가 되며, $e / r$ 이 증가할수록 높은 $I D N_{L}$ 를 가지는 𝛺범위가 확대된다. 또한 𝛺가 일정 수준이상이면 비틀림강성이 커져 $e / r$ 에 상관없이 고차모드 효과가 미미함을 알 수 있다.

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Fig. 1.

HMEL according to lateral-torsional parameters

앞서 언급한 𝛺, $e / r$ 와 $I D N_{L}$ 은 모두 탄성 구조물의 동특성과 강성분포에 기반한 지표이다. 구조물이 비선형 거동을 하면 부재 항복, 강성저하, 비틀림 강성 변화 등에 의해 횡방향 강성과 비틀림 강성의 상대적 관계가 달라질 수 있으며, 비선형화의 진행 정도와 위치에 따라 모드별 응답 기여도 역시 탄성상태와 달라질 수 있다. 따라서 탄성해석에서 산정된 $I D N_{L}$ 이 비선형 응답에서도 동일한 수준의 고차모드 효과를 나타낸다고 단정하기 어렵다. 이에 본 연구에서는 비선형해석을 통해 구조 비선형성에 따른 고차모드 효과의 변화를 분석하고, 기존 탄성 기반 고차모드 판별지표의 적용성을 검토할 필요가 있다.

3. 비선형 거동에 따른 고차모드 효과 변화

3.1 수치해석 모델

본 연구에서는 횡-비틀림 거동하는 저층 구조물의 비선형 고차모드 효과를 분석하기 위해 단층 3자유도 편심 시스템을 수치해석 모델로 사용하였다. 해석모델은 OpenSees를 이용하여 강체격막의 질량중심(CM)에 단위 질량이 집중된 구조로 구성하였으며, X방향 횡변위, Y방향 횡변위, 수직축 기준 비틀림 회전의 3개 자유도를 갖도록 하였다. 본 연구의 분석 대상은 X방향 지반운동에 의해 발생하는 횡-비틀림 응답으로 한정하였다.

구조물은 Fig. 2와 같이 질량중심을 기준으로 배치된 6개의 비선형 거동하는 구조요소(해석모델에서는 전단 스프링으로 모델링됨)에 의해 지지된다. X방향으로 북측 외부(NO), 북측 내부(NI), 남측 외부(SO), 남측 내부(SI) 등 4개의 구조요소를 질량중심에서 Y방향으로 각각 $\pm 0.5 D_{y}$ 및 $\pm 0.25 D_{y}$ 떨어진 위치에 배치하였다. Y방향으로는 동측(E)과 서측(W)편에 질량중심으로부터 X방향으로 $\pm 0.5 D_{x}$ 만큼 이격시켜 구조요소를 배치시켰다. 각 구조요소의 방향별 강성( $k_{x N O}$ , $k_{x S I}$ 등)과 전단내력( $V_{x N O}$ , $V_{x S I}$ 등)을 그림에 표시하였으며, 강성 및 강도 분포 변수의 변화에 따라 다양한 편심 특성을 가지도록 하였다. 각 스프링은 운동학적 경화를 포함한 단축 이선형 모델(Steel01)로 모델링하였으며, 항복 후 강성비는 탄성강성의 1%로 설정하였다.

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Fig. 2.

Geometric and structural properties of plan

구조물의 평면은 질량이 균일하게 분포한 직사각형 슬래브로 가정하였으며, 단면2차반경 $r$ 은 다음 식 (3)으로 구할 수 있다.

(3)

r = \sqrt{(D_{x}^{2} + D_{y}^{2}) / 12} \sum

X방향 독립주기 $T_{x}$ 는 단층 횡-비틀림 시스템의 모든 고유주기가 응답스펙트럼의 가속도일정구간에 포함되도록 하여 모드별 스펙트럼가속도 차이에 의한 영향을 배제하고, 탄성 고차모드 효과가 지배모드 질량참여율의 변화에 의해 결정되도록 하였다. 3.3절에서 사용하는 설계응답스펙트럼의 가속도일정구간 시작 주기 $T_{0}$ (= 0.115초)을 $T_{x}$ 로 설정하였으며, X방향 총강성 $K_{x}$ 는 $T_{x}$ 와 단위 질량 $m$ 으로부터 다음 식 (4)와 같이 산정하였다.

(4)

K_{x} = m {(2 π / T_{x})}^{2}

Y방향 총강성 $K_{y}$ 는 Y방향 응답이 X방향 및 비틀림 응답과 분리되도록 $K_{x}$ 의 5배로 충분히 크게 설정하였다.

3.2 해석 변수

본 연구의 해석 변수는 구조물의 탄성 동특성을 결정하는 탄성변수와 비선형 응답특성을 결정하는 비선형변수로 구분할 수 있다. 탄성변수는 2장에서 탄성 고차모드 효과 지표 $I N D_{L}$ 에 영향을 미치는 것으로 확인된 횡-비틀림 특성을 중심으로 선정하였으며, 비선형변수는 항복강도 수준과 강도 분포의 영향을 고려할 수 있도록 설정하였다. 각 변수의 정의와 범위는 Table 1에 제시하고 있다.

Table 1.

Elastic and inelastic parameters

Type	Parameters	Values
Elastic	Frequency ratio, 𝛺	0.8, 0.9, 0.95, 1.0, 1.05, 1.1, 1.2
	Stiffness ecc. ratio, $E_{k}$	0.05, 0.1, 0.2, 0.3
	Stiffness ratio, $λ_{O I}$	0.35, 0.5, 0.7, 0.9
	Stiffness ratio, $λ_{N S}$	$λ_{l}$ +[0.2, 0.5, 0.8]×( $λ_{u} - λ_{l}$ )
Inelastic	Nonlinearity factor, 𝜇	0, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5
	Strength ecc. ratio, $E_{v}$	0, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3
	Strength ratio, $ρ_{O I}$	0.35, 0.5, 0.7, 0.9
	Strength ratio, $ρ_{N S}$	$ρ_{l}$ +[0.2, 0.5, 0.8]×( $ρ_{u} - ρ_{l}$ )

탄성변수로는 횡-비틀림 진동수비 𝛺, 강성편심율 $E_{k}$ , 외측 강성분율 $λ_{O I}$ , 그리고 북측 강성분율 $λ_{N S}$ 을 설정하였다. 횡-비틀림 진동수비 𝛺는 탄성 고차모드 효과에 가장 큰 영향을 미치는 변수로, 낮은 강성편심율에서 𝛺=1 부근의 지배모드 질량참여율이 감소하고 $I N D_{L}$ 이 크게 증가한다. 이에 따라 𝛺는 비틀림 유연형(torsionally-flexible, 𝛺<1) 구조와 비틀림 강성형(torsionally-stiff, 𝛺>1) 구조를 모두 포함하고, 𝛺=1.0 부근의 변화를 보다 세밀하게 파악하기 위해 0.8~1.2의 범위에서 7개 값으로 설정하였다.

강성편심율 $E_{k}$ 은 질량중심과 강성중심 사이의 Y방향 편심거리 $e_{k}$ 를 단면2차반경 $r$ 로 정규화한 값이다. $E_{k}$ 은 높은 $I N D_{L}$ 이 발생하는 𝛺의 범위를 결정하는 변수이므로, 평면 비대칭 구조물에서 일반적으로 나타날 수 있는 편심 수준을 고려하여 0.05~0.30의 4개 값으로 설정하였다.

외측 강성분율 $λ_{O I}$ 는 전체 X방향 강성 $K_{x}$ 중 외측 구조요소(NO, SO)가 부담하는 비율로 정의된다. $λ_{O I} = 0.5$ 는 외측과 내측 구조요소가 동등한 강성을 갖는 경우이며, $λ_{O I} > 0.5$ 는 외측 구조요소의 강성이 크다는 의미이다.

Y의 (+)방향에 배치된 구조요소의 강성분율 $λ_{N S}$ 는 전체 X방향 강성 $K_{x}$ 중 NO, NI 구조요소의 강성이 부담하는 비율이다. $λ_{N S} = 0.5$ 는 Y의 (+)와 (-)방향에 배치된 구조요소의 강성이 서로 대칭인 경우이다. 본 연구에서는 주어진 𝛺, $E_{k}$ , $λ_{O I}$ 조합에서 4개 X방향 구조요소의 강성이 모두 양의 값을 갖도록 $λ_{N S}$ 의 상한( $λ_{u}$ )과 하한( $λ_{l}$ )을 산정하고, 해당 범위의 20%, 50%, 80% 위치에 해당하는 3개의 값을 사용하였다. 각 X방향 구조요소의 강성은 다음 식 (5)를 정하였다.

(5a)

K_{x, N O} = 0.5 K_{x} (λ_{O I} + 1 - 2 λ_{N S} + 4 E_{k} r / D_{y})

(5b)

K_{x, S O} = 0.5 K_{x} (λ_{O I} - 1 + 2 λ_{N S} - 4 E_{k} r / D_{y})

(5c)

K_{x, N I} = 0.5 K_{x} (- λ_{O I} - 1 + 2 λ_{N S} - 4 E_{k} r / D_{y})

(5d)

K_{x, S I} = 0.5 K_{x} (- λ_{O I} + 3 - 4 λ_{N S} + 4 E_{k} r / D_{y})

비선형변수로는 비선형지수 𝜇, 강도편심율 $E_{v}$ , 외측 강도분율 $ρ_{O I}$ , 그리고 강도분율 $ρ_{N S}$ 를 고려하였다. 비선형지수 𝜇는 ASCE 41의 $μ_{s t r e n g t h}$ 와 같이 시스템의 X방향 항복강도에 대한 탄성 지진 요구강도의 비로 정의하였으며, 구조물에 부여되는 비선형성의 수준을 나타낸다. 𝜇는 식의 형태상 반응수정계수와 유사하나, 특정 구조시스템의 연성능력 및 에너지소산능력을 전제로 설계강도를 저감하는 계수가 아니라, 동일한 탄성특성을 갖는 해석모델에서 항복강도 수준을 조절하기 위한 강도비 변수이다. 𝜇=0은 항복이 발생하지 않는 탄성 시스템을 의미하며, 𝜇>0인 경우 시스템의 총 항복 밑면전단력 $V_{y}$ 는 다음 식 (6)과 같이 산정하였다.

(6)

V_{y} = S_{a} W Γ / μ

여기서, 설계스펙트럼가속도 $S_{a}$ 는 0.5g로 가정하였으며, 이는 국내 건축물 내진설계기준의 지진구역 I, 위험도계수 $I = 2.0$ , 지반종류 $S_{D}$ 조건을 적용하여 산정한 값이다. NSA 및 NTHA에서도 동일한 설계응답스펙트럼을 적용하였다. $W$ 는 시스템의 유효 지진중량, 𝛤는 지배모드의 X방향 질량참여계수이다. 𝜇=1.0은 탄성 지진요구강도와 시스템 항복강도가 일치하는 경우이며, 𝜇<1.0은 항복강도가 탄성요구강도보다 커 해당 지진수준에서 탄성 또는 제한적인 비선형 응답이 예상되는 경우를 나타낸다. 본 연구의 해석모델은 항복 이후 강도저하 및 붕괴한계를 고려하지 않는 이선형 모델이므로, 과도하게 큰 𝜇 값은 손상한계가 없는 이상화 모델의 과도한 소성응답을 유도할 수 있다. 이에 본 연구에서는 탄성상태에서 비선형 상태로 전이되는 과정의 고차모드 효과 변화를 분석하기 위해 𝜇를 0, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5의 6개 값으로 설정하였다.

강도편심율 $E_{v}$ 은 질량중심과 강도중심 사이의 Y방향 편심거리 $e_{v}$ 를 단면2차반경 $r$ 로 정규화한 값이다. 실제 구조물에서는 강성편심과 강도편심이 반드시 일치하지 않으므로, 두 편심의 영향을 독립으로 고려하기 위해 $E_{v}$ 를 별도의 변수로 설정하였다. $E_{v}$ 는 0, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3의 5개 값을 사용하였다.

강도분율 $ρ_{O I}$ 는 전체 항복 밑면전단력 $V_{y}$ 중 외측 스프링 쌍이 부담하는 비율로, $λ_{O I}$ 에 대응하는 강도 분포 변수이다. $ρ_{O I}$ 는 0.35, 0.5, 0.7, 0.9의 4개 값으로 설정하였다. $ρ_{N S}$ 는 전체 항복 밑면전단력 중 Y의 (+)방향에 배치된 구조요소가 부담하는 비율이다. 주어진 $E_{v}$ , $ρ_{O I}$ 에 대해 4개 X방향 구조요소의 항복강도가 모두 양의 값을 갖도록 하는 $ρ_{N S}$ 의 상한( $ρ_{u}$ )과 하한( $ρ_{l}$ ) 사이에 3개 값을 정하여 다음 식 (7)로 각 구조요소의 항복강도를 구하였다.

(7a)

V_{y, N O} = 0.5 V_{y} (ρ_{O I} + 1 - 2 ρ_{N S} + 4 E_{v} r / D_{y})

(7b)

V_{y, S O} = 0.5 V_{y} (ρ_{O I} - 1 + 2 ρ_{N S} - 4 E_{v} r / D_{y})

(7c)

V_{y, N I} = 0.5 V_{y} (- ρ_{O I} - 1 + 4 ρ_{N S} - 4 E_{v} r / D_{y})

(7d)

V_{y, S I} = 0.5 V_{y} (- ρ_{O I} + 3 - 4 ρ_{N S} + 4 E_{v} r / D_{y})

이상의 변수 조합으로부터 총 336개의 탄성 구조 시스템이 만들어지며, 비선형변수를 조합하면 총 101,136개의 수치해석모델을 수립하였다.

3.3 비선형 시간이력 해석

3.3.1 해석 절차

본 연구에서는 비선형 구조물에서의 고차모드 효과를 정량화하기 위해 NSA와 NTHA 결과를 비교하였다. NTHA 응답은 지진하중에 대한 동적 응답으로서 고차모드를 포함한 전체 모드의 영향을 반영하는 반면, NSA는 지배모드 또는 사전에 정의된 횡하중 분포에 기반하므로 지배모드 중심의 응답으로 간주할 수 있다. 이에 따라 본 연구에서는 기존 기준의 고차모드 판별지표가 층전단력비에 기반한다는 점을 고려하여, NTHA와 NSA에서 산정된 단층 시스템의 X방향 밑면전단력 비( $H M E_{N L}$ )를 비선형 고차모드 효과로 정의하였다. 단, 이는 비선형 시간이력응답을 모드별로 분해하여 고차모드 성분만을 독립적으로 추출한 물리량은 아니며, 기존 기준의 고차모드 판별 개념을 비선형 응답으로 확장한 응답비이다. 또한, 횡-비틀림 거동하는 구조물에서는 비틀림 회전응답과 개별 수직부재의 응답에서 고차모드 효과가 크게 나타날 수 있으므로, 이에 대한 정량적 평가는 향후 연구에서 추가적으로 검토할 필요가 있다.

336개의 탄성 구조 시스템에 대해 고유치해석을 수행하여 고유진동수, 고유벡터, 모드참여계수를 산정하였다. 3자유도 시스템에서 얻어지는 3개 고유모드 중 X방향 질량참여율이 가장 큰 모드를 지배모드로 정의하였으며, 해당 모드의 주기와 고유벡터를 NSA의 목표변위 산정 및 NTHA의 지진파 스케일링에 사용하였다.

ASCE 41-22(2022)의 변위계수법에 따라 X방향 횡하중을 질량중심에 재하하는 NSA을 하였으며 다음 식 (8)로 구한 목표변위( $δ_{t g}$ )에 도달했을 때의 X방향 밑면전단력( $V_{N S A}$ )를 산정하였다.

(8)

δ_{t g} = C_{0} C_{1} C_{2} \frac{S_{a} T_{e}^{2}}{4 π^{2}} g

여기서, $C_{0}$ 는 지배모드 형상에 기반한 변환계수이며, 지배모드의 X방향 모드참여계수와 질량중심에서의 X방향 고유벡터 성분의 곱으로 산정된다. $T_{e}$ 는 등가유효주기이며, $C_{1}$ 과 $C_{2}$ 는 각각 비탄성 변위 증폭 및 이력거동 특성을 반영하는 보정계수로, 다음 식 (9)와 같이 산정된다.

(9a)

C_{1} = 1 + (μ_{s t r e n g t h} - 1) / a T_{e}^{2} (T_{e} \leq 1 s)

(9b)

C_{2} = 1 + \frac{1}{800} {(\frac{μ_{s t r e n g t h} - 1}{T_{e}})}^{2} (T_{e} \leq 0.7 s)

여기서, $μ_{s t r e n g t h}$ 은 𝜇와 같으며, $a$ 는 지반조건에 따른 계수로 $S_{D}$ 지반 조건으로 가정하여 60을 사용하였다. ASCE 41-22(2022)에서 제시하고 있는 방법을 따라 NSA로부터 구한 밑면전단력-X방향 변위 관계곡선을 반복 수렴과정을 거쳐 이선형 곡선으로 이상화하였다.

NTHA에는 FEMA(2009)의 원거리(far-field) 지진파 20쌍, 총 40개 성분을 사용하였으며, 이를 Table 2에 정리하였다. 지진파는 설계응답스펙트럼을 목표로 스케일링하였으며, 각 구조 시스템의 지배모드 $T_{F}$ 를 기준으로 $0.2 T_{F}$ ~ $1.5 T_{F}$ 범위에서 평균 스펙트럼가속도가 설계스펙트럼의 90% 이상을 만족하도록 보정계수를 결정하였다. 시간이력 수치적분에는 Newmark 평균가속도법을 적용하였고, 감쇠는 지배모드와 최고모드에 대해 5% 감쇠비를 만족하도록 Rayleigh 감쇠로 정의하였다. 각 구조 시스템에 대해 40개 지진파에서 산정된 X방향 최대 밑면전단력의 중앙값을 $V_{N T H A}$ 로 표시하였다.

Table 2.

Properties of selected ground motion records

EQ No.	Earthquake	Station	Magnitude	Distance, km	Duration, s	PGA(X), g	PGA(Y), g
1 / 2	San Fernando, 1971	LA-Hollywood Stor. FF	6.6	39.4	28	0.21	0.17
3 / 4	Friuli, Italy, 1976	Tolmezzo	6.5	20.2	36	0.35	0.31
5 / 6	Imperial Valley, 1979	Delta	6.5	33.7	34	0.24	0.35
7 / 8	Imperial Valley, 1979	El Centro Array #11	6.5	29.4	39	0.36	0.38
9 / 10	Superstition Hills, 1987	El Centro Imp. Co.	6.5	35.8	40	0.36	0.26
11 / 12	Superstition Hills, 1987	Poe Road	6.5	11.2	22	0.45	0.30
13 / 14	Loma Pierta, 1989	Capitola	6.9	9.8	40	0.53	0.44
15 / 16	Loma Pierta, 1989	Gilroy Array #3	6.8	31.4	40	0.56	0.37
17 / 18	Landers, 1992	Coolwater	7.3	82.1	28	0.28	0.42
19 / 20	Landers, 1992	Yermo Fire Station	7.3	86.2	44	0.25	0.15
21 / 22	Northridge, 1994	Beverly Hills - Mulhol	6.7	13.6	30	0.42	0.52
23 / 24	Northridge, 1994	Canyon Country- WLC	6.7	16.1	20	0.41	0.48
25 / 26	Kobe, Japan, 1995	Nishi-Akashi	6.9	8.7	41	0.51	0.50
27 / 28	Kobe, Japan, 1995	Shin-Osaka	6.9	46.0	41	0.24	0.21
29 / 30	Kocaeli, Turkey, 1999	Arcelik	7.5	53.7	37	0.22	0.15
31 / 32	Kocaeli, Turkey, 1999	Duzce	7.5	98.2	32	0.31	0.36
33 / 34	Chi-Chi, Taiwan, 1999	CHY101	7.6	17.1	90	0.35	0.44
35 / 36	Chi-Chi, Taiwan, 1999	TCU045	7.6	77.5	28	0.47	0.51
37 / 38	Duzce, Turkey, 1999	Bolu	7.1	41.3	48	0.73	0.82
39 / 40	Hector Mine, 1999	Hector	7.1	26.5	45	0.27	0.34

3.3.2 해석 결과

Fig. 3는 NSA와 NTHA로부터 산정된 밑면전단력-변위 응답을 𝛺와 $E_{k}$ 에 따라 비교한 것이다. 각 축은 질량중심의 X방향 변위 $u_{c m}$ 와 밑면전단력 $V_{b x}$ 을 각각 항복변위 $D_{y i e l d}$ ( $V_{y} / K_{y}$ )와 $V_{y}$ 로 정규화하여 나타냈다. NTHA 결과에서는 𝛺가 1에 가까울수록 변위 응답이 증가하였으며, $E_{k}$ 가 클수록 응답 증폭이 발생하는 𝛺의 범위가 확대되었다. 이는 탄성 고차모드 효과에서 확인된 경향과 유사하며, 횡-비틀림 진동수비와 정적편심율 등의 탄성변수가 비선형 응답에도 일정한 영향을 미침을 의미한다. 반면, NSA 응답에서는 탄성변수에 따른 뚜렷한 응답 차이가 나타나지 않았다. 이는 지배모드 기반의 횡하중 분포를 사용하는 NSA가 횡-비틀림 구조물에서 고차모드 효과에 의해 발생하는 동적 응답 증폭을 충분히 반영하지 못함을 보여준다.

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Fig. 3.

Comparison of nonlinear response from NTHA and NSA according to lateral-torsional parameters

Fig. 4는 𝜇의 변화에 따른 $H M E_{L}$ 과 $H M E_{N L}$ 의 중앙값( $H M E_{L}$ 과 $H M E_{N L}$ ) 변화를 나타낸 것이다. 여기서, $H M E_{L}$ 은 탄성 구조물에 대해 $H M E_{N L}$ 과 동일한 방법으로 산정한 밑면전단력비로, 응답스펙트럼해석을 통한 지표인 $I N D_{L}$ 과는 구분된다. $H M E$ ( $H M E_{L}$ 및 $H M E_{N L}$ )은 𝛺와 $E_{k}$ 에 따라 $I N D_{L}$ 과 유사한 분포 경향을 보였으나, 𝜇가 증가할수록 전반적으로 감소하였다. 이는 일부 구조 요소의 항복 이후 횡방향 거동과 비틀림 거동의 결합 정도가 변화하면서, 탄성상태에서 나타나던 고차모드 응답 증폭이 완화되기 때문이다. 특히 𝜇≥1인 경우에는 해석에서 고려한 대부분의 변수 범위에서 $H M E_{N L}$ 이 기존 기준의 한계값인 1.3을 초과하지 않았다. 따라서 기존 탄성 기반 고차모드 판별지표를 비선형 구조물에 그대로 적용할 경우, 실제 비선형 응답에 비해 과도하게 보수적으로 평가할 수 있다.

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Fig. 4.

HME according to lateral-torsional parameters and nonlinearity

한편, 저층 구조물의 비선형 거동에 따라 고차모드 효과가 전반적으로 감소하였음에도 불구하고, Fig. 3, Fig. 4에서 확인한 바와 같이 𝛺와 $E_{k}$ 과 같이 탄성상태의 동특성은 비선형 응답에서도 일정한 영향을 미쳤다. 이는 본 연구의 해석모델이 이선형 소성 거동을 따르며, 소성변형이 발생한 이후에도 제하 과정에서는 탄성강성에 가까운 기울기를 보이기 때문이다. 또한 하중 방향이 반전된 이후에도 반대방향 항복조건에 도달하기 전까지는 동일한 탄성 기울기로 재재하된다. 따라서 구조물이 비선형 거동을 경험한 이후에도 제하 및 재재하 구간에서는 탄성상태의 횡-비틀림 동특성이 부분적으로 유지될 수 있으며, 이로 인해 탄성 기반 변수들이 비선형 고차모드 효과의 변화에 영향을 미치는 것으로 판단된다.

Fig. 5는 이러한 제하 및 재재하 거동과 NTHA에서의 응답 증폭 개념을 나타낸 것이다. 회색 실선은 NTHA에서의 밑면전단력-변위 응답을, 검은색 실선은 NSA에서의 단조증가 응답을 의미한다. 그림에서 빨간색 음영으로 표시한 구간은 NTHA에서 고차모드 효과에 의한 응답 증폭을 유발하는 사이클을 나타낸다. 이 구간에서 구조물은 이전 사이클에서 이미 비선형 거동을 경험하여 잔류변위가 발생하였으나, 제하 및 재재하 과정에서 탄성강성에 가까운 응답을 보이며 이후 고차모드 효과에 의한 응답 증폭이 발생한다. 이는 비선형 응답 중에도 탄성상태의 동특성이 완전히 소멸되는 것이 아니라, 특정 사이클의 제하 및 재재하 과정에서 부분적으로 유지될 수 있음을 보여준다.

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Fig. 5.

Response amplification mechanism in NTHA

Fig. 6은 탄성 고차모드 효과 $H M E_{L} (= I N D_{L})$ 에 대한 비선형 고차모드 효과 $H M E_{N L}$ 의 비를 𝜇에 따라 나타낸 것이다. 중앙값 기준으로 $H M E_{N L} / H M E_{L}$ 은 모든 비선형 수준에서 0.9 이하로 나타났으며, 이는 비선형 거동에 따라 고차모드 효과가 평균적으로 감소함을 의미한다. 그러나 𝜇=1.5인 구조물에서는 $H M E_{N L} / H M E_{L}$ 의 최댓값이 약 1.2에 도달하였으며, 지진파의 변동성이 구조물의 고차모드에 미치는 영향으로 큰 것으로 나타났다. 이는 비선형 응답에서의 고차모드 효과가 탄성상태에서 평가된 고차모드 효과에 비해 항상 감소한다고 단정할 수 없음을 의미한다. Fig. 5에서 보인 바와 같이, NTHA 응답에서 고차모드 효과에 의한 응답 증폭은 구조물이 이미 비선형 거동을 경험한 이후의 제하 및 재재하 과정에서 발생할 수 있다. 이때 응답 증폭의 크기는 고차모드에 의해 유발된 응답 증분이 해당 이력상태에서 어떠한 방향으로 작용하는지에 따라 달라진다.

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Fig. 6.

Maximum and median values of $H M E_{N L}$ / $H M E_{L}$ according to nonlinearity

구조물이 소성변형을 경험한 이후 형성된 이력 사이클에서, 고차모드에 의한 응답 증분이 탄성평형점으로부터 멀어지는 방향으로 작용하면 누적된 비탄성 변형이 추가적으로 증가할 수 있다. 이 경우 비선형 응답에서의 밑면전단력 또는 변위가 탄성상태에서 예상된 고차모드 효과보다 크게 나타날 수 있다. 반대로 고차모드에 의한 응답 증분이 제하 또는 재재하 과정에서 탄성평형점으로 회복되는 방향으로 작용하는 경우에는, $H M E_{N L}$ 이 $H M E_{L}$ 에 비해 줄어들 수 있다. 예를 들어, Fig. 5의 응답은 음의 소성변형이 누적된 상태에서 고차모드에 의한 응답 증분이 양의 방향으로 작용하여 밑면전단력의 증폭이 비교적 적게 발생한 경우에 해당한다. 따라서 비선형 고차모드 효과는 비선형성 증가에 따른 단순한 감소 경향만으로 설명되기 어렵다. 구조물의 비선형화는 전반적으로 고차모드 효과를 완화시키는 경향을 보이나, 강성 및 강도 분포, 비선형화 위치, 그리고 응답 증폭이 발생하는 시점의 이력상태와 응답 증분의 방향에 따라 일부 구조물에서는 $H M E_{N L}$ 이 $H M E_{L}$ 보다 크게 나타날 수 있다.

4. 결 론

본 연구에서는 횡-비틀림 거동하는 저층 구조물을 대상으로 비선형 거동이 고차모드 효과에 미치는 영향을 분석하고, 기존 탄성해석 기반 고차모드 판별지표의 적용성을 검토하였다. 이를 위해 단층 3자유도 편심 시스템을 수립하고, 횡-비틀림 진동수비, 강성 및 강도 분포, 비선형성 수준을 변수로 하는 해석모델을 구성하였다. 각 해석모델에 대해 비선형정적해석과 비선형시간이력해석을 수행하였으며, 두 해석에서 산정된 밑면전단력 응답을 비교하여 비선형 응답에서의 고차모드 효과를 평가하였다. 본 연구의 주요 결론은 다음과 같다.

1) 횡-비틀림 진동수비와 강성편심율과 같은 탄성상태의 동특성은 비선형 응답에서의 고차모드 효과에도 일정 수준 영향을 미치는 것으로 나타났다. 비선형 시간이력응답에서는 구조물이 소성변형을 경험한 이후에도 제하 및 재재하 과정에서 탄성강성을 발휘하는 응답을 보이며, 이로 인해 탄성상태의 횡-비틀림 특성이 비선형 응답 증폭 과정에 부분적으로 반영되는 것으로 판단된다.

2) 비선형성이 증가할수록 고차모드 효과는 전반적으로 감소하는 경향을 보였다. 이는 구조물의 일부 요소가 항복한 이후 횡방향 거동과 비틀림 거동의 결합 정도가 변화하면서, 탄성상태에서 나타나던 고차모드 응답 증폭이 완화되기 때문으로 판단된다. 특히 비선형성이 큰 경우에는 대부분의 해석 케이스에서 비선형 고차모드 효과가 기존 기준의 한계값인 1.3을 초과하지 않았다. 다만, 일부 해석에서는 비선형 응답에서의 고차모드 효과가 탄성상태에서 평가된 고차모드 효과보다 크게 나타났다.

3) 기존 탄성 기반 고차모드 판별지표는 비선형 고차모드 효과의 평균적 경향을 일부 설명할 수 있었으나, 동일한 지표 수준에서도 비선형 고차모드 효과의 산포가 크게 나타났다. 이는 탄성상태의 모드별 응답 기여도에 기반한 기존 지표가 비선형 시간이력응답 중 응답 증폭을 유발하는 사이클의 형성 시점과 이력상태를 반영하지 못하기 때문이다.

4) 본 논문의 해석은 횡-비틀림 거동의 주요 영향인자를 분리하여 검토하기 위한 단층 3자유도 이상화 시스템으로, 층별 평면 형상이 상이한 구조물, 유연한 격막을 갖는 구조물, 수직방향 고차모드 효과가 지배적인 중고층 구조물, 강도저하 및 손상누적이 지배적인 구조물에 직접 적용하는 데에는 한계가 있으며, 이에 대해서는 추가적인 후속연구가 필요하다.

Acknowledgements

이 논문은 2024년도 서울시립대학교 교내 학술연구비에 의하여 지원되었음.

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

Preview

Nonlinear Higher-Mode Effects in Torsionally Coupled Low-Rise Buildings

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

Fig. 1.

HMEL according to lateral-torsional parameters

Fig. 2.

Geometric and structural properties of plan

(3)

(4)

Table 1.

Elastic and inelastic parameters

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

(6)

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

(8)

(9a)

(9b)

Table 2.

Properties of selected ground motion records

Fig. 3.

Comparison of nonlinear response from NTHA and NSA according to lateral-torsional parameters

Fig. 4.

HME according to lateral-torsional parameters and nonlinearity

Fig. 5.

Response amplification mechanism in NTHA

Fig. 6.

Maximum and median values of HMENL/HMEL according to nonlinearity

Acknowledgements

References

Maximum and median values of $H M E_{N L}$ / $H M E_{L}$ according to nonlinearity