Static and Free Vibration Analysis of FGM Plates on Pasternak Elastic Foundation

Won-Hong Lee; Sung-Cheon Han; Weon-Tae Park

doi:10.7734/COSEIK.2016.29.6.529

Preview

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 2016. 529-538
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2016.29.6.529

Static and Free Vibration Analysis of FGM Plates on Pasternak Elastic Foundation

Pasternak 탄성지반위에 놓인 점진기능재료 판의 정적 및 자유진동 해석

Won-Hong Lee¹^†

Sung-Cheon Han²

Weon-Tae Park³

이 원 홍¹^†

한 성 천²

박 원 태³

¹Department of Civil Engineering, Gyeongnam National University of Science and Technology, Jinju, 52725, Korea

²Department of Civil & Railroad Engineering, Daewon University College, Jecheon, 27135, Korea

³Division of Construction and Environmental Engineering, Kongju National University, Cheonan, 31080, Korea

¹경남과학기술대학교 토목공학과,

²대원대학교 철도건설과,

³공주대학교 건설환경공학부

^†Corresponding author: +82-41-521-9305 (pwtae@kongju.ac.kr

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/):

This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

ABSTRACT

The simplified plate theory is presented for static and free vibration analysis of power-law(P) and sigmoid(S) Functionally Graded Materials(FGM) plates. This theory considers the parabolic distribution of the transverse shear stress, and satisfies the condition that requires the transverse shear stress to be zero on the upper and lower surfaces of the plate, without the shear correction factor. The simplified plate theory uses only four unknown variables and shares strong similarities with classical plate theory(CPT) in many aspects such as stress-resultant expressions, equation of motion and boundary conditions. The material properties of the plate are assumed to vary according to the power-law and sigmoid distributions of the volume fractions of the constituents. The Hamilton’s principle is used to derive the equations of motion and Winkler-Pasternak elastic foundation model is employed. The results of static and dynamic responses for a simply supported FGM plate are calculated and a comparative analysis is carried out. The results of the comparative analysis with the solutions of references show relevant and accurate results for static and free vibration problems of FGM plates. Analytical solutions for the static and free vibration problems are presented so as to reveal the effects of the power law index, elastic foundation parameter, and side-to-thickness ratio.

멱 법칙 및 S 형상 함수를 이용한 점진기능재료(FGM) 판의 정적 및 동적해석을 위해 단순화된 전단변형이 고려된 이론 을 정식화 하여 동적 평형방정식을 유도하였다. 단순화된 전단변형 이론은 전단보정계수가 필요없으며 수직 전단변형률과 전단응력의 곡선분포를 고려하였고 판의 상부와 하부에서 0이 된다는 조건을 만족한다. 또한 4개의 변수만으로 평형방정식 이 유도되고 합응력, 평형방정식 그리고 경계조건이 고전적 이론과 유사한 형태를 가지게 된다. 점진기능재료의 형태는 멱 법칙 및 S 형상 함수로 두께방향으로 변화가 고려된다. Hamilton 원리를 이용하여 동적 평형방정식을 유도하였고 Winkler-Pasternak 탄성지반 모델을 적용하였다. 단순지지된 점진기능재료 판의 정적 및 자유진동 응답을 계산하였고 비교 하였다. 본 연구에서 제시한 결과는 참고문헌과 비교하여 정확하고 관련성을 가진다. 거듭제곱 지수, 탄성지반 계수 그리고 폭-두께비의 변화에 따른 정적 및 자유진동 해석결과를 제시하였다.

키워드

단순화된 판 이론

멱 법칙 및 S 형상 점진기능재료

거듭제곱 지수

Pasternak 탄성지반

MAIN

1. 서 론

전단보정계수의 사용없이 해석결과의 정확성을 확보하기 위해 고차 전단변형 이론(hihger-order shear deformation theories, HSDTs)(Reddy, 2000; Zenkour, 2006; Xiang et al., 2011; Mechab et al., 2013; Tran et al., 2013; Mantari et al., 2014; Lee et al., 2015)이 널리 사용 되었다. 고차 전단변형 이론을 적용하면 두께 방향으로의 전단변형률과 전단응력의 곡선 변화를 고려할 수 있으나 평형 방정식을 유도하는 과정이 고전적 이론과 일차 전단변형 이론에 비해 상대적으로 복잡하다. 이러한 고차 전단변형 이론은 두께 방향으로 고려하는 형상함수에 따라 다양한 이론이 개발되어 왔다(Touratier, 1991; Karama et al., 2003; Mantari et al., 2012).

Senthilnathan 등(1987)은 평형방정식, 경계조건 그리고 합응력이 고전적 이론과 유사한 형태를 가질 수 있도록 5-변수 고차 전단변형 이론을 단순화한 4-변수 고차 전단변형 이론을 개발하였다. 이러한 4-변수 고차 전단변형 이론은 5-변수 고차 전단변형 이론에 비해 적은 미지수를 가지게 되고 따라서 평형방정식도 5개에서 4개로 줄어들게 된다. 전단변형률에 고차의 항이 고려되기 때문에 수직방향 전단변형률과 전단 응력의 곡선변화는 5-변수 전단변형 이론과 동일하게 고려할 수 있다. 또한 평형방정식의 형태가 고전적 이론과 유사하게 표현되므로 두꺼운 판이나 쉘의 유한요소 모델링에서 전단 잠김 현상이 발생하지 않는다. Han 등(1997)은 4-변수 전단 변형 이론을 적용하여 역대칭 앵글플라이 적층복합판의 휨 및 진동해석을 수행하였다. 그 후 21세기에 들어서면서 Shimpi등(2006a,b)은 등방성판과 직교이방성판의 해석에 4-변수 이론을 적용하였으며 최근들어 적층복합판(Thai et al., 2010), 점진기능재료 판(Benachour et al., 2011), 점진 기능재료 샌드위치 판(Bourada et al., 2012), 나노 판 (Malekzadeh et al., 2013)의 해석에 4-변수 이론이 널리 이용되고 있다.

적층복합구조의 단점인 층간에서의 응력집중문제를해결하기 위해 한 면에서 다른 면 까지 재료의 성질이 연속적으로 변하는 특성을 가진 점진기능재료가 적용되고 있다. 세라믹과 금속을 적절하게 혼합하여 만드는 점진기능재료는 항공, 조선, 기계 및 건설 분야의 다양한 구조물들에 적용하기 위해 활발한 연구가 진행되고 있다. 점진기능재료 구조물의 변화하는 재료 특성을 고려하기 위한 함수로는 멱 법칙 함수(Bao et al., 1995)와 S형상 함수(Jung et al., 2014)가 널리 사용되고 있다.

본 연구에서는 멱 법칙 및 S형상 함수를 고려한 점진기능 재료 판의 정적 및 진동 응답을 정확하게 예측하기 위하여 단순화된 4-변수 고차 전단변형 이론을 적용하여 새로운 변수해석을 수행하였다. 본 연구의 목적은 고전적인 판 이론과 유사한 형태의 단순화된 판 이론을 이용하여 점진기능재료 판의 수직 처짐 및 고유진동수에 관한 연구를 수행하는 것이다. 대부분의 판 구조는 지반위에서 구조물을 직접 지지하는 구조재 이므로 수직방향 압력과 전단층 효과가 적용된 탄성 지반 효과를 고려하기 위하여 Winkler- Pasterank 탄성 지반 모델을 사용하였다. 동적평형방정식은 Hamilton의 원리를 이용하여 유도하였다. 단순 지지된 직사각형 점진기능재료 판의 휨 및 자유진동 문제에 대한 결과를 제시하였으며 정확도를 검증하기 위하여 여러 참고문헌들의 결과들과 비교/분석 하였다.

2. 단순화된 판 이론

2.1. 전단변형이 고려된 4-변수 변위장

전단변형이 고려된 일반적인 5-변수 변위장은 식 (1)로 표현할 수 있다.

(1)

u_{x} = u_{x}^{0} - z \frac{\partial w}{\partial x} + Ψ (z) φ_{x}

u_{y} = u_{y}^{0} - z \frac{\partial w}{\partial y} + Ψ (z) φ_{y}

u_{z} = w

여기서, $u_{x}^{0}, u_{y}^{0}$ 는 중립면(z = 0)의 한 점에서의 면내 변위들을 나타내고, u_z는 판의 두께방향으로의 수직방향 변위이고 ϕ_x, ϕ_y는 전단변형에 의한 전단변형 각이다. 그리고 Ψ(z)는 형상 함수로서 두께방향으로 전단변형률과 전단응력 분포의 변화를 결정하는 함수이다. 고전적 판 이론의 3-변수 변위장은 Ψ(z)=0인 경우이고 일차 전단변형이 고려된 판 이론의 5-변수 변위장은 Ψ(z)=z인 경우로 대체하여 구할 수 있다.

식 (1)은 전단변형 각의 새로운 가정을 도입하면 식 (2)로 표현할 수 있다.

(2)

u_{x} = u_{x}^{0} - z \frac{\partial w}{\partial x} + Ψ (z) (θ_{x} + \frac{\partial w}{\partial x})

u_{y} = u_{y}^{0} - z \frac{\partial w}{\partial y} + Ψ (z) (θ_{y} + \frac{\partial w}{\partial y})

u_{z} = w

여기서,

(3)

θ_{x} = φ_{x} - \frac{\partial w}{\partial x}, θ_{y} = φ_{y} - \frac{\partial w}{\partial y}

식 (2)는 식 (4)로 변환하여 표현할 수 있다.

(4)

u_{x} = u_{x}^{0} + z θ_{x} - f (z) (θ_{x} + \frac{\partial w}{\partial x})

u_{y} = u_{y}^{0} + z θ_{y} - f (z) (θ_{y} + \frac{\partial w}{\partial y})

u_{z} = w

여기서, f(z)=z–Ψ(z), 형상함수 Ψ(z)=z(1-4z²/3h²) 이라고 가정하면 식 (4)는 다항식으로 고차 전단변형이 고려된 5개의 변수를 가지는 변위장이다.

단순화된4개의변수를가지는변위장으로식(4)를개선하기 위해 아래의 3가지 가정을 적용한다.

모든 변위는 판의 두께에 비해 작고 미소변형 이론이 적용되며 수직방향 응력 σ_z는 무시한다.
수직방향 변위 u_z는 식 (5)와 같이 휨 성분과 전단 성분으로 분해한다.
(5)
$u_{z} = w_{b} + w_{s}$
변위 u_x와 u_y는 신장, 휨 그리고 전단 성분으로 식 (6a)로 구성된다.

(6a)

(u_{x}, u_{y}) = \{u_{x}^{0}, u_{y}^{0}\} + \{u_{xb}, u_{yb}\} + \{u_{xs}, u_{ys}\}

휨 성분은 고전적 이론과 유사하게 식 (6b)로 가정한다.

(6b)

(u_{xb}, u_{yb}) = - z \{θ_{x}, θ_{y}\} = - z \{\frac{\partial w_{b}}{\partial x}, \frac{\partial w_{b}}{\partial y}\}

전단성분은 전단응력이 판의 상면과 하면에서 0이 된다는 조건을 만족하는 포물선 형태의 식 (6c)로 가정한다.

(6c)

(u_{xs}, u_{ys}) = - f (z) \{\frac{\partial w_{s}}{\partial x}, \frac{\partial w_{s}}{\partial y}\}

식 (6b)와 식 (6c)를 식 (4)에 대입하면 식 (7)과 같은 새로운 4-변수 변위장을 얻을 수 있다.

(7)

u_{x} = u_{x}^{0} - z \frac{\partial w_{b}}{\partial x} - f (z) \frac{\partial w_{s}}{\partial x}

u_{y} = u_{y}^{0} - z \frac{\partial w_{b}}{\partial y} - f (z) \frac{\partial w_{s}}{\partial y}

u_{z} = w_{b} + w_{s}

Hamilton 원리를이용하여식(8)과같이동적평형방정식을 구할 수 있다(Reddy, 2007).

(8)

\partial \prod = (\partial K - \partial U) = 0

가상 변형 에너지는 식 (9)와 같다.

(9)

\partial U = \int_{A} \int_{- h / 2}^{h / 2} (σ_{ij} δ ϵ_{ij}) dzdA

여기서, σ_ij는 응력 텐서 성분, ε_ij는 변형률 텐서 성분이고 i, j = x, y, z이다.

가상 운동 에너지는 식 (10)과 같다.

(10)

\partial K = \int_{A} \int_{- h / 2}^{h / 2} ρ ({\dot{u}}_{i} δ {\dot{u}}_{i}) dzdA

여기서, ρ는 밀도이고 u_i는 u_i를 시간 t에 대해서 한번 미분한 것을 나타낸다.

3. 점진기능재료 판의 구성방정식

3.1. 멱 법칙 및 S형상 함수 점진기능재료 판의 재료특성

점진기능재료는 재료 성질의 변화에 의해 정의할 수 있고 구성성분이 연속적으로 변화하는 비 균질 미세구조라는 특징을 가지고 있다. 점진기능재료의 재료 성질 변화는 지수 법칙, 멱 법칙 및 S형상 함수로 나타난다.

본 연구에서는 점진기능재료 분야에서 현재 가장 일반적으로 연구가 진행되고 있는 멱 법칙 및 S형상 함수를 적용하였다.

3.1.1. 멱 법칙 함수

점진기능재료의 재료 특성 변화를 멱 법칙 함수를 이용하여 식 (11)로 정의할 수 있다.

(11)

F (z) = D_{f} (z) F_{1} + (1 - D_{f} (z)) F_{2}

여기서, D_f(z)는 체적요소로 식 (12)와 같다.

(12)

D_{f} (z) = {(\frac{z + h / 2}{h})}^{p}

여기서, h는 판의 두께, F(z)은 재료 성질의 변화를 나타내는 함수이고 F₁과 F₂는 각각 판의 상/하면의 재료성질 이다. 그리고 p는 두께를 따라 변하는 재료 성질을 나타내며 거듭제곱 지수로 표현되는 재료 매개변수이다.

3.1.2.S형상 함수

점진기능재료의 완만한 응력 분포를 확보하기 위해 2개의 거듭제곱 함수를 적용한 S형상 함수는 체적요소를 식 (13) 으로 정의할 수 있다.

(13a)

D_{f}^{1} (z) = 1 - \frac{1}{2} {(\frac{h - 2 z}{h})}^{p} for 0 \leq z \leq h / 2

(13b)

D_{f}^{2} (z) = \frac{1}{2} {(\frac{h + 2 z}{h})}^{p} for - h / 20 \leq z \leq 0

Voigt의 혼합법칙을 적용하면, S형상 점진기능재료의 재료 성질은 식 (14)로 표현할 수 있다.

(14a)

F (z) = D_{f}^{1} (z) F_{1} + (1 - D_{f}^{1} (z)) F_{2} for 0 \leq z \leq h / 2

(14b)

F (z) = D_{f}^{2} (z) F_{1} + (1 - D_{f}^{2} (z)) F_{2} for - h / 2 \leq z \leq 0

포아송 비의 변화는 다른 재료 성질의 변화에 비해 무시할 수 있을 정도로 작으므로 상수로 가정하여 해석에 적용한다 (Hosseini-Hashemi et al., 2011).

3.2. 탄성지반 모델

수직방향 압력과 전단층 효과가 동시에 고려된 Winkler- Pasternak 탄성지반 모델을 적용하였다. 수직방향 압력은 등가 스프링으로 가정하여 수직방향 변형에 저항하고 비압축성 전단층이 전단변형에 저항하는 것으로 탄성지반 효과를 고려 하였다. 이러한 하중은 식 (15)로 표현할 수 있다.

(15)

\begin{matrix} q_{P} = {\bar{k}}_{W} u_{z} - {\bar{k}}_{P} \nabla^{2} u_{z} \\ = {\bar{k}}_{W} (w_{b} + w_{s}) - {\bar{k}}_{P} \nabla^{2} (w_{b} + w_{s}) \end{matrix}

여기서, ∇ ² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y², k_W 그리고 k_P는 Winkler 지반 계수 그리고 Pasternak 전단 지반계수를 의미한다. Pasternak 탄성지반 효과로 인해 추가되는 가상 변형 에너지는 식 (16)과 같다.

(16)

\partial U_{EF} = \int_{A} [{\bar{k}}_{W} u_{3} δ u_{z} + {\bar{k}}_{P} (\frac{\partial u_{z}}{\partial x} \frac{\partial δ u_{z}}{\partial x} + \frac{\partial u_{z}}{\partial y} \frac{\partial δ u_{z}}{\partial y})] dxdy

3.3. 점진기능재료 판의 구성방정식

식 (17)은 점진기능재료 판의 구성방정식이다.

(17)

\begin{matrix} \{\begin{matrix} σ_{xx} \\ σ_{yy} \end{matrix}\} = \frac{E (z)}{1 - ν^{2}} [\begin{matrix} 1 & ν \\ ν & 1 \end{matrix}] \{\begin{matrix} ϵ_{xx} \\ ϵ_{yy} \end{matrix}\} \\ \{\begin{matrix} σ_{xy} \\ σ_{xz} \\ σ_{yz} \end{matrix}\} = \frac{E (z)}{2 (1 + ν)} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \{\begin{matrix} γ_{xy} \\ γ_{xz} \\ γ_{yz} \end{matrix}\} \end{matrix}

점진기능재료 판의 합응력은 식 (18)과 같다.

(18)

\begin{matrix} \{\begin{matrix} Q_{xx}^{(0)}, & Q_{xx}^{(1)}, & Q_{xx}^{(2)} \\ Q_{yy}^{(0)}, & Q_{yy}^{(1)}, & Q_{yy}^{(2)} \\ Q_{xy}^{(0)}, & Q_{xy}^{(1)}, & Q_{xy}^{(2)}, \end{matrix}\} = \int_{- h / 2}^{h / 2} \{\begin{matrix} σ_{xx} (1, z, f (z) \\ σ_{yy} (1, z, f (z) \\ σ_{xy} (1, z, f (z) \end{matrix}\} dz \\ \{\begin{matrix} Q_{yz} \\ Q_{xz} \end{matrix}\} = \int_{- h / 2}^{h / 2} \{\begin{matrix} σ_{yz} \\ σ_{xz} \end{matrix}\} g (z) dz \end{matrix}

여기서, $g (z) = \frac{d Ψ (z)}{dz}$ 이다.

4. 동적 평형방정식

식 (9)와 식 (10)을 식 (8)에 대입하고 부분 적분하여 정리 하면 식 (19)와 같은 동적 평형방정식을 구할 수 있다.

(19)

\begin{matrix} δ u_{x} : Q_{xx, x}^{(0)} + Q_{xy, y}^{(0)} = d_{0} {\overset{..}{u}}_{x} - d_{1} {\overset{..}{w}}_{b, x} - d_{2} {\overset{..}{w}}_{s, x} \\ δ u_{y} : Q_{xy, x}^{(0)} + Q_{yy, y}^{(0)} = d_{0} {\overset{..}{u}}_{y} - d_{1} {\overset{..}{w}}_{b, y} - d_{2} {\overset{..}{w}}_{s, y} \\ δ w_{b} : (Q_{xx, x}^{(1)} + Q_{xy, y}^{(1)}) + (Q_{xy, y}^{(1)} + Q_{yy, y}^{(1)}) + q \\ - {\bar{k}}_{W} (w_{b} + w_{s}) + {\bar{k}}_{P} \nabla^{2} (w_{b} + w_{s}) \\ = d_{0} ({\overset{..}{w}}_{b} + {\overset{..}{w}}_{s}) + d_{1} (\frac{\partial {\overset{..}{u}}_{x}}{\partial x} + \frac{\partial {\overset{..}{u}}_{y}}{\partial y}) - d_{3} \nabla^{2} {\overset{..}{w}}_{b} - d_{4} \nabla^{2} {\overset{..}{w}}_{s} \\ δ w_{s} : {(Q_{xx, x}^{(2)} + Q_{xy, y}^{(2)})}_{, x} + {(Q_{xy, y}^{(2)} + Q_{yy, y}^{(2)})}_{, y} + Q_{xz, x} + Q_{yz, y} \\ + q - {\bar{k}}_{W} (w_{b} + w_{s}) + {\bar{k}}_{P} \nabla^{2} (w_{b} + w_{s}) \\ = d_{0} ({\overset{..}{w}}_{b} + {\overset{..}{w}}_{s}) + d_{2} (\frac{\partial {\overset{..}{u}}_{x}}{\partial x} + \frac{\partial {\overset{..}{u}}_{y}}{\partial y}) - d_{4} \nabla^{2} {\overset{..}{w}}_{b} - d_{5} \nabla^{2} {\overset{..}{w}}_{s} \end{matrix}

여기서,

(20)

d_{i} = \int_{- h / 2}^{h / 2} ρ (1, z, f (z), z^{2}, zf (z), f^{2} (z)) dz

5. Navier 방법

Navier 방법을 이용하여 멱 법칙 및 S형상 함수 점진기능 재료 판의 정적 및 자유진동 해석을 수행하였다. 기존의 5- 변수 전단변형이론을 단순화하여 단순지지 판의 휨 및 자유 진동 해석 방법을 제시하였다. 본 연구에서 판의 중립면에서의 변위는 식 (21)과 같이 이중 푸리에 급수로 나타낼 수 있다.

(21)

\begin{matrix} \{\begin{matrix} u_{x}^{0} (x, y, t) \\ u_{y}^{0} (x, y, t) \end{matrix}\} = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \{\begin{matrix} U_{mn} Λ_{1} \\ V_{mn} Λ_{1} \end{matrix}\} \\ \{\begin{matrix} w_{b} (x, y, t) \\ w_{s} (x, y, t) \end{matrix}\} = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \{\begin{matrix} W_{bmn} \\ W_{smn} \end{matrix}\} Λ_{3} \end{matrix}

여기서, Λ₁ = cosξx sinηy · e^iω_mnt,

Λ₂ = sinξx cosy· e^iω_mnt, Λ₃ = sinξx sinηy· e^iω_mnt 그리고 ξ = mπ/a, η = nπ/b, ω_mn은 고유진동수이다. 수직하중 q는 식 (22)로 주어진다.

(22)

q (x, y) = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} Q_{mn} sin ξ xsin η y

식 (21)을식(19)에대입하면 식(23)과같은평형방정식을 얻을 수 있다.

(23)

[[K] - ω_{mn}^{2} [M]] \{Δ\} = \{Q\}

여기서, {Δ}^T = {U_mn, V_mn, W_bmn, W_smn} 그리고 [K]는강성 행렬, [M]은 질량행렬이고 {Q}는 하중벡터이다. {Q}=0으로 가정하면자유진동해석을수행할수있고, [M]=0으로가정하면 휨 해석을 수행할 수 있다.

6. 결과 분석

멱 법칙 및 S형상 함수 점진기능재료 판의 정적 및 자유 진동해석 결과를 참고문헌의 결과들과 비교, 분석하기 위하여 Table 1과 Fig. 1에 점진기능재료 판의 재료 및 기하학적 성질을 제시하였다.

Table 1.

Material properties of FGM plate

Material Properties	Metal	Ceramic
Material Properties	Aluminum	Alumina
Elastic Modulus:E₂, E₁(GPa)	70	380
Poisson’s ratio: v	0.3	0.3
Density: p₁, p₂(kg/m³)	2702	3800

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F1.jpg

Fig. 1.

Geometry of FGM plate

점진기능재료의 축방향 변위, 수직처짐과 고유진동수는 식 (24)를 이용하여 무차원화 하였다.

(24)

\begin{matrix} \hat{w} = w \frac{E_{1} h^{3}}{q_{0} a^{4}} \times 10, ({\bar{u}}_{x}, \bar{w}) = (u_{x}, w) \frac{E_{2} h^{3}}{q_{0} a^{4}} \times 10^{3} \\ \hat{ω} = ω h \sqrt{\frac{ρ_{1}}{E_{1}}}, \bar{ω} = ω \frac{a^{2}}{h} \sqrt{\frac{ρ_{2}}{E_{2}}} \end{matrix}

폭-두께 비가 4, 10 그리고 100인 경우의 P-FGM 판의 중앙점 수직처짐을 참고문헌들의 결과와 비교하기 위하여 Table 2에 나타내었다. 전단변형의 효과가 무시될 수 있는 폭-두께비가 100인 경우에는 3가지 결과의 오차가 거의 발생 하지 않았지만 폭-두께비가 4인 경우에는 유사 3차원 해석 결과인 Neves 등(2013)의 결과와 3.8%의 오차가 발생하였다. 본 연구의 결과는 Thai 등(2013)의 결과들 보다 Neves 등(2013)의 결과에 조금 더 가까운 결과를 나타내었다. 이러한 이유는 Thai 등(2013)는 일차 전단변형 이론을 적용하였기 때문으로 판단된다. 전체적으로 거듭제곱 지수가 증가하면 수직처짐이 증가하였고 폭-두께 비가 증가할 때는 수직처짐이 감소하였다.

Table 2.

Comparison of nondimensional deflection $(\hat{ω}) of$ P-FGM plate under sinusoidal loads

a/h	Method	P-FGM Power-law index(p)
a/h	Method	1	4	10
4	Neves et al. 2013	0.7020	1.1108	1.3334
	Thai et al. 2013	0.7291	1.1125	1.3178
	Present	0.7284	1.1599	1.3909
10	Neves et al. 2013	0.5868	0.8700	0.9888
	Thai et al. 2013	0.5890	0.8736	0.9966
	Present	0.5890	0.8815	1.0087
100	Neves et al. 2013	0.5647	0.8240	0.9227
	Thai et al. 2013	0.5625	0.8286	0.9361
	Present	0.5625	0.8287	0.9362

고유진동수를 비교하기 위하여 폭-두께 비가 2, 5 그리고 10인 경우의 P-FGM 판의 무차원 진동수를 참고문헌들의 결과와 비교하기 위하여 Table 3에 나타내었다. 본 연구의 결과는 참고문헌의 결과들과 전반적으로 정확하게 일치하였다. 거듭제곱 지수가 증가하는 경우에 진동수가 감소하였고 폭- 두께 비가 증가하는 경우에도 진동수가 감소하였다.

Table 3.

Comparison of nondimensional frequency $(\hat{ω}) of$ P-FGM plate

a/h	Method	P-FGM Power-law index(p)
a/h	Method	0.5	1	4	10
2	Thai et al. 2013	0.8062	0.7333	0.6116	0.5644
	Matsnnaga, 2008	0.8232	0.7476	0.5997	0.5460
	Present	0.8110	0.7356	0.5924	0.5412
5	Thai et al. 2013	0.1805	0.1631	0.1397	0.1324
	Matsnnaga, 2008	0.1819	0.1640	0.1383	0.1306
	Present	0.1807	0.1631	0.1378	0.1301
10	Thai et al. 2013	0.0490	0.442	0.0382	0.0366
	Matsnnaga, 2008	0.0492	0.443	0.0381	0.0364
	Present	0.0490	0.0442	0.0381	0.0364

특히 매우 두꺼운 FGM 판의 고유진동수를 비교하기 위하여 폭-두께 비가 2인 경우의 무차원 진동수를 비교하였다. 폭-두께 비가 2인 매우 두꺼운 FGM 판의 경우에도 본 연구의 결과는 Matsnnaga(2008)의 결과들과 1.5% 정도의 오차만 발생 하였다. 반면에 일차 전단변형 이론을 적용한 Thai 등(2013)의 결과는 2.1%의 오차가 발생하였다.

탄성지반 효과를 고려하기 위하여 식 (25)의 무차원 식을 이용하였다.

(25)

k_{W} = \frac{{\bar{k}}_{W} a^{4}}{D}, k_{P} = \frac{{\bar{k}}_{P} a^{2}}{D}, D = \frac{E_{2} h^{3}}{12 (1 - ν^{2})}

Winkler 탄성지반 효과와 Pasternak 탄성지반 효과가 동시에 고려된 S-FGM 판의 고유진동수를 표 4에서 비교 하였다. 폭-두께비와 거듭제곱 지수는 4가지 경우를 적용 하였다. Jung 등(2014)는 일차 전단변형을 고려하였기 때문에 폭-두께비가 작은 경우에 전반적으로 약간의 오차가 발생 하였다. Reddy(2000)는 5개의 변수를 가지는 3차 전단변형 이론을 적용하여 해석한 결과이다. 본 연구는 4개의 변수만을 적용하였음에도 5개의 변수가 고려된 경우와 매우 잘 일치 하는 결과를 나타내었다.

Table 4.

Comparison of nondimensional frequency(ω) of S-FGM plate on Pasternak elastic foundation (k_w=k_p=100)

a/h	Method	S-FGM Power-law index(p)
a/h	Method	1	2	5	10
5	Jung et al. 2014	14.6299	-	14.1959	14.1341
	Reddy, 2000	14.6305	14.4031	14.2029	14.1425
	Present	14.6305	14.4031	14.2029	14.1425
10	Jung et al. 2014	15.1886	-	14.7019	14.6340
	Reddy, 2000	15.1887	14.9295	14.7043	14.6368
	Present	15.1887	14.9295	14.7043	14.6368
20	Jung et al. 2014	15.3663	-	14.8575	14.7869
	Reddy, 2000	15.3663	15.0940	14.8582	14.7876
	Present	15.3663	15.0940	14.8582	14.7876
100	Jung et al. 2014	15.4276	-	14.9107	14.8390
	Reddy, 2000	15.4276	15.1504	14.9107	14.8390
	Present	15.4276	15.1504	14.9107	14.8390

Fig. 2에는 S-FGM 판과 등방성 판의 중앙선(y=b/2)을 따라서 처짐을 나타내었다. 거듭제곱 지수의 증가에 따라 S-FGM 판의 처짐이 증가하였다. 기존의 S-FGM 판에 대한 정적해석은 수직처짐을 연구하는 것이 대부분이었다. 따라서 축방향 변위와 합응력에 대한 연구는 거의 전무한 실정이다. 다음 예제는 거듭제곱 지수의 변화에 따른 S-FGM판의 축방향 변위와 합응력을 중앙선(y=b/2)을 따라서 구하고 Fig. 3과 Fig. 4에 나타내었다. 합응력을 구하기 위하여 식 (26)을 이용 하여 무차원화 하였다. 쉽게 예측할 수 있듯이 축방향 변위와 합응력 또한 거듭제곱 지수의 증가에 따라서 증가하였다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F2.jpg

Fig. 2.

Nondimensional deflection(ω) of sigmoid functionally graded material plate with various power law index

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F3.jpg

Fig. 3.

Nondimensional displacement(u_x) of sigmoid functionally graded material plate with various power law index

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F4.jpg

Fig. 4.

Nondimensional stress resultant(Q_xz) of sigmoid functionally graded material plate with various power law index

(26)

{\bar{Q}}_{xz} = \frac{Q_{xz}}{q_{0} a}

폭-두께 비의 변화와 Winkler 탄성지반 계수의 변화에 따른 점진기능재료 판의 무차원 중앙점 수직처짐과 고유 진동수를 Fig. 5와 Fig. 6에 나타내었다. Winkler 탄성지반 계수의 증가는 점진기능재료 FGM 판의 강성증대 효과를 발휘하게 되어 무차원 수직처짐은 감소시키고 고유진동수는 증가시킨다는 것을 알 수 있었다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F5.jpg

Fig. 5.

Nondimensional deflection(ω) of sigmoid functionally graded material plate(k_P=0, p=10.0)

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F6.jpg

Fig. 6.

Nondimensional frequency(ω) of sigmoid functionally graded material plate(k_P=0, p=10.0)

Fig. 7과 Fig. 8은 Pasternak 탄성지반 계수의 영향을 분석하였다. Pasternak 탄성지반 계수는 Winkler 탄성지반 계수에 비하여 상대적으로 강성증대 효과가 커서 무차원 수직처짐과 고유진동수의 변화에 더 큰 역할을 한다는 것을 알 수 있었다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F7.jpg

Fig. 7.

Nondimensional deflection(ω) of sigmoid functionally graded material plate(k_W=0, p=10.0)

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F8.jpg

Fig. 8.

Nondimensional frequency(ω) of sigmoid functionally graded material plate(k_W=0, p=10.0)

Fig. 9와 10에서는 거듭제곱 지수와 점진기능재료 판의 수직처짐과 고유진동수의 관계를 나타내었다. 거듭제곱 지수 (p)가 0.1에서 10까지 증가할 때는 무차원 수직처짐은 증가하였고 진동수는 감소하였다. 따라서 탄성지반위에 놓인 점진기능재료 판의 엄밀한 정적 및 진동해석을 수행하는 경우 탄성지반 계수는 물론 거듭제곱 지수의 변화에 따른 수직처짐과 진동수의 변화를 정확히 분석할 필요가 있다고 판단된다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F9.jpg

Fig. 9.

Nondimensional deflection(ω) of sigmoid functionally graded material plate(k_W=1000, k_P=100)

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2016-029-06/05COSEIK-29-6-529/images/COSEIK-29-6-529_F10.jpg

Fig. 10.

Nondimensional frequency(ω) of sigmoid functionally graded material plate(k_W=1000, k_P=100)

7. 결 론

본 연구에서는 단순화된 전단변형이론을 이용하여 멱 법칙 및 S형상 함수 점진기능재료 판의 정적 및 자유진동해석을 수행하였다. Hamilton 정리를 이용하여 단순화된 전단변형이 고려된 동적 평형방정식을 유도하였고 Winkler- Pasternak 탄성지반 모델을 사용하여 엄밀한 탄성지반 효과를 적용하였다. 탄성지반 계수와 거듭제곱 지수 및 폭-두께 비의 변화에 따른 점진기능재료 판의 정적 및 동적 해석 결과들을 분석한 결과 다음과 같은 4 가지 결론을 얻을 수 있었다.

탄성지반 위에 놓인 점진기능재료 판은 탄성지반 효과로 인해 강성증대 효과를 발휘하여 무차원 수직 처짐의 감소와 진동수의 증가를 유발하였다.
Pasternak 탄성지반 계수는 Winkler 탄성지반 계수에 비해 강성증대 효과가 커서 무차원 수직 처짐과 진동수의 변화에 미치는 영향이 상대적으로 더 컸다.
거듭제곱 지수의 증가는 무차원 수직 처짐을 증가 시키고 진동수를 감소시켰다. 거듭제곱 지수, 탄성지반 효과 및 폭-두께 비의 변화가 동시에 고려되는 경우에 무차원 수직 처짐과 진동수의 변화는 보다 엄밀한 해석이 필요함을 알 수 있었다.
점진기능재료 판의 폭-두께 비의 증가는 무차원 수직 처짐을 감소시켰고 진동수는 증가시켰다. 폭-두께 비가 20 이상인 경우에는 일정한 값으로 수렴하였다.

멱 법칙 및 S 형상 함수 점진기능재료 판의 해석을 위하여 미지수의 개수를 감소시켜 단순화된 전단변형 효과를 고려한 본 연구는 해석의 효율을 증가시킬 수 있을 것으로 판단되며 계산된 결과들은 향후 수치해석(FEM, FDM, FSM 등) 연구자들을 위한 참고자료가 될 것으로 판단된다.

감사의 글

이 논문은 2016년도 경남과학기술대학교 대학회계 연구비 지원에 의하여 연구되었음.

REFERENCES

G Bao and L Wang, Int. J. Solids & Struct, Multiple Cracking in Functionally Graded Ceramic/Metal Coatings, 32; 2853-2871 (1995)

10.1016/0020-7683(94)00267-z

A Benachour, TH Daouadji, H Ait Atmanea, A Tounsi and MS Ahmed, Part B: Eng, A Four Variable Refined Plate Theory for Free Vibrations of Functionally Graded Plates with Arbitrary Gradient, Compos, 42; 1386-1394 (2011)

10.1016/j.compositesb.2011.05.032

M Bourada, A Tounsi and MSA Houari, J. Sandwich Struct. & Mater, A New Four-variable Refined Plate Theory for Thermal Buckling Analysis of Functionally Graded Sandwich Plates, 14; 5-33 (2012)

10.1177/1099636211426386

SC Han, SH Yoon and SY Chang, J. KSSC, Bending and Dynamic Characteristics of Antisymmetric Laminated Composite Plates Considering a Simplified Higher-order Shear Deformation, 9(4); 601-609 (1997)

S Hosseini-Hashemi, M Fadaee and SR Atashipour, Compos. Struct, Study on the Free Vibration of Thick Functionally Graded Rectangular Plates according to a New Exact Closed-form Procedure, 93; 722-735 (2011)

10.1016/j.compstruct.2010.08.007

WY Jung, WT Park and SC Han, Int. J. Mech. Sci, Bending and Vibration Analysis of S-FGM Microplates Embedded in Pasternak Elastic Medium using the Modified Couple Stress Theory, 87; 150-162 (2014)

10.1016/j.ijmecsci.2014.05.025

M Karama, KS Afaq and S Mistou, Int. J. Solids & Struct, Mechanical behavior of Laminated Composite Beam the New Multilayered Laminated Composite Structures Model with Transverse Shear Stress Continuity, 40(6); 1525-1546 (2003)

10.1016/s0020-7683(02)00647-9

WH Lee, SC Han and WT Park, J. Coumput. Struct. Eng. Inst. Korea, A Study of Dynamic Instability for Sigmoid Functionally Graded Material Plates on Pasternak Elastic Foundation, 28(1); 85-92 (2015)

10.7734/coseik.2015.28.1.85

P Malekzadeh and M Shojaee, Compos. Struct, Free Vibration of Nanoplates based on a Nonlocal Two-variable Refined Plate Theory, 95; 443-452 (2013)

10.1016/j.compstruct.2012.07.006

JL Mantari and C Guedes Soares, Compos Part B: Eng, Optimized Sinusoidal Higher Order Shear Deformation Theory for the Analysis of Functionally Graded Plates and Shells, 56; 126-136 (2014)

10.1016/j.compositesb.2013.07.027

JL Mantari, AS Oktem and C Guedes Soares, Int. J. Solids & Struct, A New Trigonometric Shear Deformation Theory for Isotropic, Laminated Composite and Sandwich Plates, 49; 42-53 (2012)

10.1016/j.ijsolstr.2011.09.008

H Matsunaga, Compos. Struct, Free Vibration and Stability of Functionally Graded Plates according to a 2-D Higher-order Deformation Theory, 82; 499-512 (2008)

10.1016/j.compstruct.2007.01.030

I Mechab, B Mechab and S Benaissa, Compos Part B: Eng, Static and Dynamic Analysis of Functionally Graded Plates using Four-variable Refined Plate Theory by the New Function, 45; 748-757 (2013)

10.1016/j.compositesb.2012.07.015

AMA Neves, AJM Ferreira, E Carrera, M Cinefra, CMC Roque, RMN Jorge and CMM Soares, Compos Part B: Eng, Static, Free Vibration and Buckling Analysis of Isotropic and Sandwich Functionally Graded Plates using a Quasi-3D Higher-order shear Deformation Theory and a Meshless Technique, 44(1); 657-674 (2013)

JN Reddy, Int. J. Numer. Methods Eng, Analysis of Functionally Graded Plates, 47; 663-684 (2000)

https://doi.org/10.1002/(sici)1097-0207(20000110/30)47:1/3<663::aid-nme787>3.0.co;2-8

JN Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells, London. CRC Press. (2007)

10.2514/3.48742

NR Senthilnathan, ST Chow, KH Lee and SP Lim, AIAA J, Buckling of Shear-deformable Plates, 25; 1268-1271 (1987)

10.1016/j.jsv.2006.03.030

RP Shimpi and HG Patel, J. Sound & Vib, Free Vibrations of Plate using Two Variable Refined Plate Theory, 296; 979-999 (2006a)

10.1016/j.ijsolstr.2006.02.007

RP Shimpi and HG Patel, Int. J. Solids & Struct, A Two Variable Refined Plate Theory for Orthotropic Plate Analysis, 43; 6783-6799 (2006b)

10.1016/j.compstruct.2013.02.019

HT Thai and DH Choi, Compos. Struct, A Simple First-order Shear Deformation Theory for the Bending and Free Vibration Analysis of Functionally Graded Plates, 101; 332-340 (2013)

10.1016/j.ijmecsci.2010.01.002

HT Thai and SE Kim, Int. J. Mech. Sci, Free Vibration of Laminated Composite Plates using Two Variable Refined Plate Theory, 52; 626-633 (2010)

10.1016/j.ijmecsci.2010.01.002

M Touratier, Int. J. Eng. Sci, An Efficient Standard Plate Theory, 29(8); 901-916 (1991)

10.1016/0020-7225(91)90165-y

LV Tran, AJM Ferreira and H Nguyen-Xuan, Compos. Part B: Eng, Isogeometric Analysis of Functionally Graded Plates using Higher-order Shear Deformation Theory, 51; 368-383 (2013)

10.1016/j.compositesb.2013.02.045

S Xiang, YX Jin, ZY Bi, SX Jiang and MS Yang, Compos. Struct, An order Shear Deformation Theory for Free Vibration of Functionally Graded and Composite Sandwich Plates, 93(11); 2826-2832 (2011)

10.1016/j.compstruct.2011.05.022

AM Zenkour, Appl. Math. Model, Generalized Shear Deformation Theory for Bending Analysis of Functionally Graded Plates, 30; 67-84 (2006)

10.1016/j.apm.2005.03.009

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

Preview

Static and Free Vibration Analysis of FGM Plates on Pasternak Elastic Foundation

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6a)

(6b)

(6c)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13a)

(13b)

(14a)

(14b)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Table 1.

Fig. 1.

(24)

Table 2.

Table 3.

(25)

Table 4.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

(26)

Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7.

Fig. 8.

Fig. 9.

Fig. 10.

감사의 글

REFERENCES