Blast Analysis of Single Degree of Freedom Plant Structures Considering Static Displacement

Jae-Kyoon Lee; Seung-Hoon Lee; Han-Soo Kim

doi:10.7734/COSEIK.2022.35.5.317

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Research Paper

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 31 October 2022. 317-324
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2022.35.5.317

Blast Analysis of Single Degree of Freedom Plant Structures Considering Static Displacement

정적변위를 고려한 플랜트 구조물의 단자유도 폭발 해석

Jae-Kyoon Lee¹

Seung-Hoon Lee²

Han-Soo Kim³^*

이 재균¹

이 승훈²

김 한수³^*

¹Graduate Student, Department of Architecture, KonKuk University, Seoul 05029, Korea

²Graduate Student, Department of Architecture, KonKuk University, Seoul 05029, Korea

³Professor, Department of Architecture, KonKuk University, Seoul 05029 Korea

¹건국대학교 건축학과 석사과정

²건국대학교 건축학과 박사과정

³건국대학교 건축학부 교수

^{*Corresponding Author}

ABSTRACT

In this paper, an analysis method that considers the initial static displacement of structural members using an equivalent single-degree- of-freedom system is presented. Newmark's dynamic analysis algorithm was improved to consider the effect of the initial static displacements of structural members. The effect of the initial static displacement on the maximum response according to the assumed duration of the blast load and natural period of the member was investigated. The effects of positive and negative static displacements on the maximum dynamic responses of structural members subjected to a positively applied blast load were also studied. Modified response charts for the shock-type and pressure-type waves are presented so that static displacements can easily be considered. Using a design example, we demonstrate the significance of the modified response chart that considers the static displacement. Based on the results of this study, the maximum response of a the structural member can be easily obtained whilst considering its initial static displacement. The modified response chart presented in this study can be used for the structural design of plants and military facilities.

Keywords

plant

static displacement

ductility

single degree of freedom (SDOF)

response chart

본 논문에서는 등가 단자유도를 이용하여 구조부재의 정적변위를 고려하는 해석기법을 제시하였다. 기존의 단자유도 비선형 동적해석 알고리듬을 구조부재의 초기정적변위의 영향을 고려할 수 있도록 개선하였다. 가정된 폭발하중 지속시간과 부재의 고유주기 비에 따라 정적변위가 최대응답에 미치는 영향의 차이와 폭발하중의 방향과 초기변위의 방향에 따른 차이를 확인하였다. 이에 따라 기존의 응답 차트를 정적변위를 고려할 수 있도록 폭발하중의 형태에 따라 각각 제시하였다. 설계 예제를 정적변위가 고려된 응답 차트에 적용하여 부재의 최대 변위를 비교 및 분석하였다. 본 연구의 결과를 통해 초기 정적변위를 고려한 구조부재의 최대응답을 쉽게 산정할 수 있으며 본 연구에서 제시한 응답 차트는 플랜트 또는 군사시설물의 내폭 설계에 활용될 수 있다.

키워드

플랜트

정적변위

연성도

단자유도시스템

응답차트

MAIN

1. 서 론
2. 내폭 설계를 위한 등가 단자유도 시스템 해석
2.1 일반적인 등가 단자유도 시스템
2.2 초기 정적 변위가 고려된 등가 단자유도 해석 절차
3. 초기 정적 변위가 고려된 등가 단자유도 해석 결과
3.1 Positive 정적변위가 고려된 등가 단자유도 해석 결과
3.2 Negative 정적변위가 고려된 등가 단자유도 해석
3.3 초기 정적 변위가 고려된 응답 차트
4. 플랜트 구조물 부재 설계를 위한 응답 차트의 적용
5. 결 론

1. 서 론

세계적으로 극한 재난 중 지진은 사고 사례의 증가로 인해 폭발에 비해 많은 연구와 실험이 진행됨에 따라 모델링 방법과 해석법이 축적되어 왔다(ATC-72-1, 2010; FEMA 356, 2000). 하지만, 세계 위험 보고서 MARSH(2016)에 의하면 플랜트 내의 폭발 사고는 상당한 인명피해와 재산 피해를 초래한다.

이에 따라 선진 국가 기관은 한정적인 실험 결과를 토대로 폭발하중에 따른 구조부재의 거동 분석 및 연구를 진행하였다(DoD, 1999; PDC-TR-06-08, 2008). ASCE(2010)는 플랜트 구조물을 초점으로 내폭설계법과 간략한 해석법을 제시한다. 폭발하중을 받는 구조 부재의 거동을 분석하기 위해 대표적으로 사용되는 폭발 해석법으로 비선형 동적 유한요소 해석법과 단자유도 시스템(SDOF)이 사용된다. 단자유도 시스템은 내폭설계에 사용되는 실용적인 목적을 위해 빠르게 동적거동의 근사치를 얻기 위한 목적으로 사용된다.

Oswald와 Bazan(2014) 연구진은 다양한 부재 유형의 폭발 실험 결과와 단자유도 해석의 최대변위를 비교하였으며, 단자유도시스템 해석의 변위가 실험 결과에 비해 평균 10~30% 높은 보수적인 결과가 나타났다. Temash 등(2017)은 폭발하중을 받는 보의 실험값과 유한요소 해석 프로그램인 ABAQUS와 단자유도시스템 해석결과를 비교하였으며, 최대 변위는 약 10% 내외의 차이로 단자유도시스템 해석의 합리적인 결과를 보였다. 내폭 설계를 위한 SDOF의 다양한 연구가 진행되었으며, Dragos와 Wu(2015)는 축력과 폭발하중을 받는 기둥에 대하여 이차효과(P-Δ)와 소성 거동을 정확히 예측하기 위해 저항-변형 함수의 개념에 의존하여 확장된 단자유도 시스템을 제안하였다. NORSOK(2013)은 소성영역의 강성 비율에 따른 응답 차트를 다양하게 제시하였다.

하지만 동적 효과가 존재하는 부재를 설계할 경우 초기 변위에 대한 점을 고려하지 않고 있다. 지진하중에 있어서 초기변위를 고려하지 않는 이유는 하중의 방향이 계속 바뀌며 영향이 구조 시스템 전체에 작용하기 때문으로 분석된다. 폭발하중의 경우 폭발원으로부터 퍼져나가는 하나의 방향으로만 하중이 작용한다는 특징이 있고 폭발하중에 대하여 전체 골조시스템이 분담하는 것이 아닌 국부적인 구조부재만 영향을 받는 경우가 많다. 따라서 폭발하중에 저항하는 구조부재 설계를 위한 초기정적변위의 영향을 고려하는 것이 필요하다.

본 연구에서는 단자유도 해석과 응답차트 작성을 위하여 자체 개발 프로그램을 사용하였다. 중력하중 등으로 인한 초기정적변위가 존재하는 부재에 폭발하중이 추가적으로 작용할 경우에 대하여 단자유도 완전 탄소성 해석 방법을 적용하여 초기 정적변위가 최대변위와 연성도 등 동적 구조 거동에 미치는 영향에 대하여 분석하였다. 본 연구의 결과는 내폭 설계에 있어서 초기변위 고려의 필요성을 보여줄 수 있으며, 응답 차트의 제시를 통하여 향후 내폭 구조 설계 실무에 활용될 수 있다.

2. 내폭 설계를 위한 등가 단자유도 시스템 해석

2.1 일반적인 등가 단자유도 시스템

2.1.1 운동방정식과 저항함수 관계

ASCE(2010), UFC 3-340-02(2008) 등과 같이 동적 하중을 받는 보, 기둥, 벽체 등 1차 구조 부재는 집중 질량과 강성으로 구성된 단자유도 시스템(SDOF)으로 이상화할 수 있다. 자유도는 구조물에서 최대 변위 발생이 예상되는 지점의 변위를 취한다. 예를 들어, 폭발하중을 받는 단순보의 경우 SDOF 시스템 형태는 Fig. 1과 같다. 이상화된 SDOF 시스템은 식 (1)과 같은 운동방정식으로 나타낼 수 있다.

(1)

m_{e} a + c v + k_{e} u = F_{e} (t)

여기서 $m_{e}, c, k_{e}$ 는 각각 등가질량, 감쇠 상수, 스프링 강성을 의미하고 $a, v, u$ 는 각각 가속도, 속도, 변위를 의미하며, $F_{e} (t)$ 는 시간에 따른 등가하중을 의미한다.

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Fig. 1.

Simple supported beam’s SDOF system

SDOF 시스템의 질량과 강성은 하중 분포 및 지점조건에 해당하는 정적 변형 형상에 기초하여 UFC 3-340-02(2008)의 변환계수를 적용하여 구할 수 있다. $K_{L}, K_{M}$ 은 각각 하중 계수와 질량 계수를 의미하고 단순보의 경우 계수 값은 Table 1과 같다. 식 (2)는 변환 계수를 사용하여 변환한 등가질량, 강성, 하중을 나타낸다.

(2a)

m_{e} = L K_{M} m

(2b)

k_{e} = K_{L} k

(2c)

F_{e} (t) = K_{L} L p (t)

여기서, $L, m, k$ 는 SDOF 시스템 변환 전의 부재의 길이, 단위 길이당 질량, 최대변위에 대한 강성을 의미하며, $p (t)$ 는 시간에 따른 등분포 하중을 의미한다.

Table 1.

Transformation factor for simply supported Beam

Factor	Elastic	Plastic
Load factor ( $K_{L}$ )	0.64	0.50
Mass factor ( $K_{M}$ )	0.50	0.33

식 (1)의 감쇠 상수 $c$ 는 내폭설계의 경우 폭발하중에 의해 구조물이 최대 응답에 도달하는 시간이 매우 짧기 때문에 감쇠효과는 최대변위에 영향이 거의 없으므로 보수적으로 감쇠효과를 무시한다. 폭발 해석에서 저항은 일반적으로 Fig. 2와 같이 탄성-완전 소성 모델로 표현된다. 따라서 식 (1)에 변환계수의 적용, 감쇠 상수의 제외, 스프링 저항인 $k_{e}$ 를 일반적인 저항 함수 형태인 $R (u)$ 를 적용할 경우 식 (3)과 같다.

(3)

m_{e} a + R (u) = F_{e} (t)

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Fig. 2.

Resistance function

2.1.2 등가 단자유도 시스템의 응답 차트

내폭 설계에 주로 사용되는 SDOF의 응답 차트는 충격파 형상인 폭발하중을 적용한 Fig. 3과 압력파 형상인 폭발하중을 적용한 Fig. 4와 같이 여러 경우에 대한 최대변위를 연성비로 나타내고 있다. 이는 폭발하중 지속시간( $T_{d}$ ) 대 고유주기( $T_{n}$ ) 비, 저항력 대 하중크기의 비 함수로서 SDOF 시스템의 최대 응답을 제공한다. 최대 응답은 연성도(𝜇)로서 부재 단면 능력에 따른 항복변위( $u_{y}$ ) 대비 최대변위( $u_{m}$ )를 의미함에 따라 내폭 설계에 있어서 가장 중요한 지표 중 하나이다.

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Fig. 3.

Original response chart (impulse load)

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Fig. 4.

Original response chart (pressure load)

응답 차트에서 하나의 저항력과 하중 비에 대해서 폭발 하중의 지속시간과 구조물 고유주기 비에 따라 최대 응답이 다름을 확인할 수 있다. 이는 구조물의 폭발하중에 대한 응답이 고유주기와 하중 지속시간 비와 연관되어 있음을 알 수 있으며, NORSOK(2013)은 비율에 따라 Table 2와 같이 충격, 동적, 준정적 구간으로서 세 가지로 분류한다. 충격 구간의 경우 하중의 지속시간이 부재의 고유주기에 비해 매우 짧아 충격량에 의존적이다. 동적 구간은 하중 지속시간과 부재의 고유주기가 비슷한 영역으로서 준정적 영역에 비하여 하중 지속시간에 의존적이다. 준정적 영역은 상대적으로 하중 지속시간이 높음에 따른 정적 하중 상태와 유사한 경향을 보인다.

Table 2.

Various response domain (NORSOK, 2013)

Loading domain	Ratio between natural frequency and load duration
Impulsive	$T_{d} / T_{n} ≺ 0.3$
Dynamic	$0.3 ≺ T_{d} / T_{n} ≺ 3$
Quasi-static	$T_{d} / T_{n} ≻ 3$

2.2 초기 정적 변위가 고려된 등가 단자유도 해석 절차

기본적인 단자유도 해석에서 초기변위가 존재할 때의 수치 해석 절차는 Chopra(2014)에 제시된 뉴마크(Newmark) 방법을 수정한 것으로 Table 3과 같다. 초기 계산의 경우 기존의 뉴마크 방법을 사용하지만 시간 단계에 따라 강성이나 저항력을 결정할 때 초기변위에 따른 강성과 저항력을 고려하여 $j$ 단계에 저항력은 식 (4)에 의해 계산된다.

(4)

(f_{S})_{i}^{(j)} = (f_{S})_{i} + k (u_{i + 1}^{(j)} - u_{i}) + k u_{S 0}

여기서, $u_{S 0}$ 는 초기정적변위를 나타내며, 기존의 뉴마크 방법에 마지막 항을 추가하여 초기정적변위에서의 저항력을 고려하였다. 이에 따라 부재의 저항-변위 함수는 UFC 3-340-02 (2008)를 참조한 Fig. 5(a)에서 (b)와 같이 수정되어 양의 초기정적변위가 존재하는 경우 더 빠르게 소성 영역에 도달하여 더 큰 최대응답을 나타낸다.

Table 3.

Modified Newmark’s method algorithm

Initial calculation

Acceleration at t = 0 a_{0} = (p_{0} - R_{0}) / m Constant a_{1} = (1 / (β (Δ t)^{2})) m a_{2} = (1 / (β Δ t)) m a_{3} = (1 / (2 β) - 1) m

Calculation for each time step, i=0, 1, 2 …

Initialize j = 1 u_{i + 1}^{(j)} = u_{i}, (f_{S})_{i + 1}^{(j)} = (f_{S})_{i} Stiffness determination f_{s t} = (f_{S})_{i + 1}^{(j)} + k u_{S 0} f_{s t} \geq f_{y} and v_{i} \geq 0 (k_{T})_{i + 1}^{(j)} = 0 f_{s t} \geq f_{y} and v_{i} ≺ 0 (k_{T})_{i + 1}^{(j)} = k f_{s t} \leq - f_{y} and v_{i} \geq 0 (k_{T})_{i + 1}^{(j)} = k f_{s t} \leq - f_{y} and v_{i} ≺ 0 (k_{T})_{i + 1}^{(j)} = 0 {\hat{p}}_{i + 1} = p_{i + 1} + a_{1} u_{i} + a_{2} v_{i} + a_{3} a_{i}

For each iteration, j = 1,2,3

{\hat{R}}_{i + 1}^{(j)} = {\hat{p}}_{i + 1} - a_{1} u_{i + 1}^{(j)} Check convergence If {\hat{R}}_{i + 1}^{(j)} ≺ ε_{R} = 10^{- 3}, u_{i + 1} = u_{i + 1}^{j} If the acceptance criteria are not met, implement next step, ({\hat{k}}_{T})_{i + 1}^{j} = (k T)_{i + 1}^{(j)} + a_{1} Δ u^{j} = {\hat{R}}_{i + 1}^{(j)} u_{i + 1}^{(j + 1)} = u_{i + 1}^{(j)} + Δ u^{(j)} Resisting for cedetermination (f_{S})_{i + 1}^{(j)} = (f_{S})_{i} + k (u_{i + 1}^{(j)} - u_{i}) f_{s t} = (f_{S})_{i + 1}^{(j)} + k u_{S 0} If f_{s t} ≻ f_{y}, (f_{S})_{i + 1}^{(j)} = f_{y} - k u_{S 0} else if f_{s t} ≺ - f_{y}, (f_{S})_{i + 1}^{(j)} = - f_{y} - k u_{S 0} else if - f_{y} \leq f_{s t} \leq f_{y}, (f_{S})_{i + 1}^{(j)} = (f_{S})^{(j)} The stiffness is determined the same as the above method .

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Fig. 5.

Modified resistance function

3. 초기 정적 변위가 고려된 등가 단자유도 해석 결과

초기정적변위가 고려된 등가 단자유도 해석을 수행하여 초기변위가 최대 응답에 미치는 영향과 하중 지속시간과 구조물의 고유주기 비의 연관성을 비교 분석하기 위하여 충격, 동적, 준정적 구간에 해당하는 세 가지 모델을 해석하였다. 폭발하중의 지속시간과 구조물의 고유주기 비, 저항력과 최대하중의 비는 Table 4와 같고 폭발하중은 충격파 형태로서 이상화된 삼각형 폭발하중을 적용한다. 해석을 위한 기본적인 질량은 1로 이상화하여 수행하며, Case 1은 $T_{d} / T_{n}$ 이 0.3으로서 충격 구간이고 Case 2는 $T_{d} / T_{n}$ 이 1.0으로서 동적 구간이며, Case 3은 $T_{d} / T_{n}$ 이 3.0으로서 준정적 구간에 해당한다.

Table 4.

SDOF models to consider initial static displacement

	Case 1	Case 2	Case 3
$R_{u} / F_{0}$	1.0
Natural frequency ( $T_{n}$ )	0.1	0.03	0.01
$T_{d} / T_{n}$	0.3	1	3

3.1 Positive 정적변위가 고려된 등가 단자유도 해석 결과

Case 1~3에 대해 초기정적변위는 항복변위의 +10%, +20%, +30%에 해당하는 값을 설정하여 등가 단자유도 해석을 진행하였다. Table 5와 Fig. 6은 등가 단자유도 해석의 결과이다. 최대변위( $u_{m}$ )와 연성도(𝜇)는 정적변위가 없는 경우에 비해 정적변위가 증가함에 따라 3가지의 경우 모두 증가 하였으며 최대변위의 증가율이 초기정적변위 증가율을 초과하는 양상을 보여준다. Case 1은 각각 최대변위( $u_{m}$ )의 증가비율은 12%, 24%, 37%, Case 2는 19%, 44%, 82%, Case 3은 44%, 123%, 261% 증가하였다. 이는 폭발 하중의 지속 시간과 구조물의 고유주기 비율에 따라 초기 변형이 최대 응답에 미치는 영향이 커짐을 알 수 있다. 충격 구간에 비해 준정적 구간에서 더 큰 연성도 증가율을 보이고 부재의 영구변위( $u_{p}$ ) 또한 증가함을 나타낸다. 가장 큰 변화율을 보이는 Case 3인 준정적 구간의 영구변위( $u_{p}$ )또한 초기 변위가 증가함에 따라 각각 20%, 42%, 71% 증가하였다. 최대 변위 및 연성도의 증가는 정적변위의 증가에 따라 부재의 소성구간에 더 빠르게 도달하기 때문이다.

Table 5.

Result of SDOF considering positive displacement

Initial condition		Difference ratio		Ductility
Initial condition		$u_{p}$ (%)	$u_{m}$ (%)	Ductility
Case 1	$u_{s 0} = 0$	-	-	0.85
	$0.1 \times u_{y}$	19	12	0.95
	$0.2 \times u_{y}$	42	24	1.05
	$0.3 \times u_{y}$	70	37	1.17
Case 2	$u_{s 0} = 0$	-	-	1.89
	$0.1 \times u_{y}$	17	19	2.23
	$0.2 \times u_{y}$	38	44	2.71
	$0.3 \times u_{y}$	65	82	3.43
Case 3	$u_{s 0} = 0$	-	-	3.74
	$0.1 \times u_{y}$	20	44	5.39
	$0.2 \times u_{y}$	42	123	8.35
	$0.3 \times u_{y}$	71	261	13.52

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Fig. 6.

Time-Displacement by initial positive displacement

3.2 Negative 정적변위가 고려된 등가 단자유도 해석

Case 1~3에 대해 초기 변위를 폭발 하중이 작용하는 방향에 반대로 설정하여 항복변위의 -10%, -20%, -30%에 해당하는 값으로 등가 단자유도 해석을 진행하였다. Table 6과 Fig. 7은 음의 정적변위가 존재하는 등가 단자유도 해석 결과이다. 동적구간(Case 2) 및 준정적구간(Case 3)과 충격구간(Case 1)과 거동이 다르게 나타난다. 충격구간(Case 1)에서 최대응답의 증가가 나타나며, 항복변위 -10%, -20%, -30%에 대하여 각각 최대변위( $u_{m}$ )의 증가비율은 12%, 24%, 37%로 나타난다. 동적구간(Case2)은 -13%, -23%, -32%, 준정적구간(Case 3)은 -26%, -42%, -50% 감소하였다. 이러한 거동의 차이를 나타내는 하중 지속시간과 고유주기의 비에 영향을 미치는 요인은 Fig. 7(a)와 같이 양의 진동에서 최댓값보다 음이 진동에서 최댓값이 나타나기 때문이다. 충격구간의 특징인 부재가 최대 변위를 나타내기 전에 하중의 작용이 완료되고 부재의 관성으로 인해 최대변위가 폭발하중이 지나간 이후에 발생하므로 음의 초기정적변위로 인해 음의 최대변위가 오히려 증가한다.

Table 6.

Result of SDOF considering negative displacement

Initial condition		Difference ratio		Ductility
Initial condition		$u_{p}$ (%)	$u_{\max} (%)$	Ductility
Case 1	$u_{s 0} = 0$	-	-	0.85
	$- 0.1 \times u_{y}$	24	12	0.95
	$- 0.2 \times u_{y}$	49	24	1.05
	$- 0.3 \times u_{y}$	74	37	1.17
Case 2	$u_{s 0} = 0$	-	-	1.89
	$- 0.1 \times u_{y}$	14	-13	1.64
	$- 0.2 \times u_{y}$	27	-23	1.44
	$- 0.3 \times u_{y}$	38	-32	1.29
Case 3	$u_{s 0} = 0$	-	-	3.74
	$- 0.1 \times u_{y}$	15	-15	2.78
	$- 0.2 \times u_{y}$	27	-27	2.18
	$- 0.3 \times u_{y}$	38	-38	1.88

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Fig. 7.

Time-Displacement by initial negative displacement

3.3 초기 정적 변위가 고려된 응답 차트

기존 응답 차트인 Figs. 3, 4는 초기정적변위를 고려한 최대응답을 계산할 수 없기 때문에 초기정적변위를 고려하여 극한 저항과 하중 비, 하중 지속 시간과 부재의 고유주기 비에 대한 해석을 수행하였다. 충격파 형상인 폭발하중을 적용하여 대표적으로 항복 변위 대비 ±10%의 초기 정적변위를 고려하여 각각 Fig. 8과 Fig. 9로 제시하였다. 또한 압력파 형상인 폭발하중을 적용하여 대표적으로 항복변위 대비 ±10%의 초기 정적변위를 고려하여 각각 Fig. 10과 Fig. 11로 제시하였다.

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Fig. 8.

Considering initial positive displacement ( $0.1 u_{y}$ ) for response chart (impulse load)

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Fig. 9.

Considering initial negative displacement ( $- 0.1 u_{y}$ ) for response chart (impulse load)

항복변위 대비 +10%의 초기정적변위가 존재할 경우 폭발하중 형상과는 무관하게 Fig. 8, Fig. 10 같이 최대응답은 전반적으로 상승하는 것으로 나타난다. 또한 준정적 구간이면서 연성도가 1 이상인 영역에서 초기 정적변위가 없는 상황에 비하여 최대응답 증가율이 급증하는 것으로 분석된다. 플랜트 구조물은 동적영역 또는 준정적 영역에 해당하는 경우가 많으므로 초기정적변위가 연성도 등의 구조물 성능 지표에 큰 영향을 줄 수 있다.

항복변위 대비 -10%로서 초기 정적변위가 존재할 경우 충격파 형상과 압력파 형상을 적용한 Fig. 9, Fig. 10과 같이 하중 지속시간과 부재의 고유주기 비에 따라서 거동의 차이가 발생한다. $T_{d} / T_{n}$ 이 1.0 이상에서 최대응답은 감소하는 것으로 나타나지만 $T_{d} / T_{n}$ 이 1.0 이하에서 초기 정적변위가 존재하지 않는 것에 비하여 최대응답이 증가하는 양상이 나타난다. 양의 진동에서만의 최대변위를 도출할 경우 전반적으로 최대응답은 감소하지만 실제적으로 양의 진동에서만 최대변위가 도출되는 것이 아닌 음의 진동에서 최대변위 절댓값을 고려함에 따라 차이가 발생하는 것이다.

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Fig. 10.

Considering initial positive displacement ( $0.1 u_{y}$ ) for response chart (pressure load)

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Fig. 11.

Considering initial negative displacement ( $- 0.1 u_{y}$ ) for response chart (pressure load)

4. 플랜트 구조물 부재 설계를 위한 응답 차트의 적용

ASCE(2010), UFC 3-340-02(2008) 등에서 폭발하중을 받는 구조부재에 대한 예제를 제시하며 그중 ASCE(2010)의 예제로서 구조물의 전면 벽체에 대해서 응답차트를 활용하여 최대 응답을 예측하였다. 부재의 특성은 Table 7과 같고 폭발하중은 Fig. 12과 같은 두 가지의 이상화 된 폭발하중을 적용한다.

Table 7.

Properties of SDOF system

Properties	Value
Equivalent mass	0.00049 ( $k N - s^{2} / m m$ )
Effective stiffness	10.1 ( $k N / m m$ )
Natural frequency	0.043 ( $s$ )
Resistance	95.37 ( $k N$ )

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2022-035-05/N0040350508/images/Figure_jcoseik_35_05_08_F12.jpg

Fig. 12.

Blast Load

하중의 지속시간과 구조물의 고유주기 비는 0.98, 극한 저항력과 최대 하중 비는 0.90이다.

초기변위가 존재하지 않고 Fig. 12(a)와 같은 충격파 하중을 받는 부재에 대해 기존의 응답 차트인 Fig. 3을 적용하면 부재의 연성도는 2.35이다. 따라서, 부재의 항복 변위 9.58mm를 곱하여 최대 변위 22.51mm를 쉽게 구할 수 있다. 이는 ASCE (2010)에서 제시하는 수치 적분법의 결과 20.68mm와 6%의 오차가 존재한다. 항복변위의 10%의 초기변위가 폭발하중과 동일방향으로 존재할 때 Fig. 8의 응답 차트를 적용하면 연성도는 2.86이다. 따라서 최대 변위는 27.40mm이며 22% 증가한다. 폭발하중과 역방향으로 존재하는 항복변위 -10%의 초기 변위가 존재할 경우 Fig. 9의 응답 차트를 적용하면 연성도는 1.99이며, 최대변위는 19.06mm이고 13% 감소하였다.

Fig. 12(b)와 같은 압력파 형태의 폭발하중을 받는 기존의 응답 차트인 Fig. 4를 적용하면 연성도는 2.27이며, 최대변위는 21.75mm이다. 초기변위가 폭발하중과 동일방향으로서 항복 변위의 10%의 초기변위가 폭발하중과 동일방향으로 존재할 때 Fig. 10의 응답 차트를 적용하면 연성도와 최대변위는 각각 2.81, 26.92mm로 24% 증가하였고, 폭발하중과 역방향으로 존재하는 항복 변위 -10%의 초기 변위가 존재할 경우 연성도와 최대 변위는 각각 1.91, 18.30mm로 16% 감소하였다.

초기 정적변위(positive, negative)와 $T_{d} / T_{n}$ 의 비에 따라서 거동의 차이가 나타남에 따라 초기 정적변위의 영향을 고려한 설계가 더욱 필요하다. Lee와 Kim(2021)은 실제 플랜트 증기운 폭발은 부재의 고유주기 대비 폭발하중 지속시간이 긴 것으로 분석하였다. 따라서 폭발하중과 역방향의 초기 정적변위를 고려할 경우 플랜트 구조물 부재 설계의 이점이 발생할 것이다. 반면 군사시설 및 폭약 보호 목적성을 가지는 시설물은 고성능 화약 폭발(TNT, ANFO 등)에 따른 $T_{d} / T_{n}$ 비가 낮은 영역에 있어 폭발하중과 역방향의 초기 정적변위를 고려한 설계는 반동에 의한 최대 변위 증가를 야기할 수 있다.

5. 결 론

본 연구에서는 초기정적변위가 구조부재에 미치는 영향을 분석하고자 뉴마크 방법을 확장하여 등가 단자유도 해석을 진행하였다. 또한 구조 부재의 폭발응답에 초기정적변위의 영향을 반영하기 위하여 구조부재의 저항력 대 폭발하중크기의 비, 폭발하중 지속시간 대 고유주기 비, 정적변위에 따른 영향을 도표화하여 UFC 3-340-02(2008)의 응답차트와 같이 초기 정적변위가 고려된 응답차트를 제시하였다. 초기 정적변위를 고려한 응답차트를 사용하여 ASCE(2010) 예제를 비교하였다.

초기 정적변위는 폭발하중 형상(충격파, 압력파)에 비하여 폭발 하중의 지속시간에 따라 최대 응답 및 연성도가 증가 혹은 감소하여 구조 부재에 영향을 미치기 때문에 다양한 폭발하중 형태의 시나리오가 존재하는 플랜트 구조물내 부재 설계시 초기정적변위에 대한 고려가 필요하다. 폭발하중과 동일방향의 초기 정적변위(positive displacement)가 존재할 경우 $T_{d} / T_{n}$ 은 무관하게 전반적으로 부재의 최대응답은 증가한다. 또한 $T_{d} / T_{n}$ 이 1이상인 구간에서 최대응답의 증가율은 급증한다. 반면 폭발하중과 역방향의 초기 정적변위가 존재할 경우 동일방향의 초기정적변위 보다 $T_{d} / T_{n}$ 에 민감하며, $T_{d} / T_{n}$ 이 1 이하에서는 최대응답의 증가와 감소 양상이 바뀌는 구간이 발생한다.

본 연구를 통하여 폭발하중을 받는 부재의 해석과 설계에 있어서 초기정적변위를 고려하여야 함을 보였다. 제시된 응답차트를 이용하여 초기정적변위를 고려한 최대 동적거동을 쉽게 구할 수 있으므로 향후 구조부재의 내폭 성능 평가에 활용될 수 있다.

Acknowledgements

본 연구는 국토교통부/국토교통과학기술진흥원의 지원으로 수행되었음(No. 22RMPP-C163162-02).

References

ASCE (2010) Design of Blast-Resistant Buildings in Petrochemical Facilities, American Society of Civil Engineer, Virginia, p.300.

ATC-72-1 (2010) Modeling and Acceptance Criteria for Seismic Design and Analysis of Tall Buildings, Pacific Earthquake Engineering Research Center, California, p.242.

Chopra, A.K. (2014) Dynamics of Structures 4th edition, Prentice Hall, NJ, p.944.

DoD (1999) DoD Ammunition and Explosives Safety Standards, Depart of Defence(DoD), Wahsington, D.C, p.245.

Dragos, J., Wu, C. (2015) Single-Degree-of-Freedom Approach to Incorporate Axial Load Effects on Pressure Impulse Curves for Steel Columns, J. Eng. Mech., 141(1), 04014098. 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000818

FEMA 356 (2000) Prestandard and Commentary for Seismic Rehabilitation of Buildings, Federal Emergency Management Agency, Washington, DC, p. 518.

Lee, S.H., Kim, H.S. (2021) Study on the Calculation of the Blast Pressure of Vapor Cloud Explosions by Analyzing Plant Explosion Cases, J. Comput. Struct. Eng. Inst. Korea, 34(1), pp.1~8. 10.7734/COSEIK.2021.34.1.1

MARSH (2016) The 100 Largest Losses 1974~2015, Marsh Ltd., UK, p.44.

NORSOK (2013) Norwegian Standards: Design of Steel Structures (N-004), Standards Norway, Oslo, p.264.

Oswald, C., Bazan, M. (2014) Comparison of SDOF Analysis Results to Test Data for Different Types of Blast Loaded Components, Structure Congress, pp.117~130. 10.1061/9780784413357.012

PDC-TR06-08 (2008) Single Degree of Freedom Structural Response Limits for Antiterrorism Design, US Army Corps of Engineers, p.35.

Temash, Y., Jahami, A., Khayib, J., Firat, S. (2017) Single Degree of Freedom Approach of a Reinforced Concrete Beam Subjected to Blast Loading, Inter. Turkish World Eng. and Sci. Congress, Turkey, pp.1~8.

UFC3-340-02 (2008) Structures to Resist the Effects of Accidental Explosions, Depart of Defence (DoD), p.1943.

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

Preview

Blast Analysis of Single Degree of Freedom Plant Structures Considering Static Displacement

ABSTRACT

MAIN

(1)

Fig. 1.

Simple supported beam’s SDOF system

(2a)

(2b)

(2c)

Table 1.

Transformation factor for simply supported Beam

(3)

Fig. 2.

Resistance function

Fig. 3.

Original response chart (impulse load)

Fig. 4.

Original response chart (pressure load)

Table 2.

Various response domain (NORSOK, 2013)

(4)

Table 3.

Modified Newmark’s method algorithm

Fig. 5.

Modified resistance function

Table 4.

SDOF models to consider initial static displacement

Table 5.

Result of SDOF considering positive displacement

Fig. 6.

Time-Displacement by initial positive displacement

Table 6.

Result of SDOF considering negative displacement

Fig. 7.

Time-Displacement by initial negative displacement

Fig. 8.

Considering initial positive displacement (0.1uy) for response chart (impulse load)

Fig. 9.

Considering initial negative displacement (-0.1uy) for response chart (impulse load)

Fig. 10.

Considering initial positive displacement (0.1uy) for response chart (pressure load)

Fig. 11.

Considering initial negative displacement (-0.1uy) for response chart (pressure load)

Table 7.

Properties of SDOF system

Fig. 12.

Blast Load

Acknowledgements

References

Considering initial positive displacement ( $0.1 u_{y}$ ) for response chart (impulse load)

Considering initial negative displacement ( $- 0.1 u_{y}$ ) for response chart (impulse load)

Considering initial positive displacement ( $0.1 u_{y}$ ) for response chart (pressure load)

Considering initial negative displacement ( $- 0.1 u_{y}$ ) for response chart (pressure load)