Nonlinear Structure of Co-rotational and Intrinsic Beam Theories from a Variational Projection Perspective

Jun-Sik Kim

doi:10.7734/COSEIK.2026.39.4.219

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 31 August 2026. 219-228
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2026.39.4.219

Nonlinear Structure of Co-rotational and Intrinsic Beam Theories from a Variational Projection Perspective

변분 사영 관점에서 본 공회전 및 내재적 보 이론의 비선형 구조

Jun-Sik Kim¹^*

김 준식¹^*

¹Professor, School of Mechanical Engineering, Kumoh National Institute of Technology, Gumi, 39177, Korea

¹금오공과대학교 기계공학부 항공기계전자융합전공 교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

ABSTRACT

This paper reinterprets the nonlinear geometric structure of beam theory from a variational projection perspective and establishes the structural relationship between the co-rotational (CR) formulation and intrinsic (strain-based) beam theory. Although these two approaches have traditionally been developed independently, they are unified here within a common geometric framework based on the same underlying continuum. The analysis distinguishes between intrinsic nonlinear components shared by both formulations and differences resulting from coordinate representation. In particular, the coupling between torsion and axial force is identified as a fundamental geometric structure. Using this unified interpretation, a co-rotational frame-based local nonlinear beam model is developed using a variational perturbation approach, and a systematic procedure for computing cross-sectional perturbations is presented. The proposed framework combines the computational efficiency of the co-rotational formulation with the geometric consistency of the intrinsic approach, providing a unified basis for nonlinear beam analysis.

Keywords

variational projection

co-rotational formulation

intrinsic beam theory

nonlinear mechanics

본 논문은 보 이론의 비선형 기하학적 구조를 변분 사영 관점에서 재해석하고, 공회전(CR) 정식화와 내재적(intrinsic) 보 이론 간의 구조적 관계를 규명한다. 두 접근법은 기존에 독립적으로 발전해 왔으나, 본 연구는 이를 동일한 연속체 기반의 공통 기하학 구조로 통합한다. 분석 결과, 곡률 벡터와 단면 위치의 결합으로부터 유도되는 비틀림-축력 결합 항은 좌표계 선택과 무관한 내재적 구조임을 확인하였으며, 이를 두 정식화를 관통하는 핵심 기하학 성분으로 규명한다. 한편 일부 비선형 항은 변수 선택과 사영 방식에 따라 표현 형태가 달라질 뿐으로, 두 이론의 차이는 본질이 아닌 표현의 차이에 기인함을 밝힌다. 이러한 통합적 해석을 바탕으로, 변분 섭동법을 적용한 공회전 좌표계 기반의 국소 비선형 보 모델을 구성하고, 단면 섭동 변위를 체계적으로 계산하는 방법을 제시한다. 제안된 정식화는 와그너 효과와 블라소프 비틀림을 별도의 가정이나 보정없이 자연스럽게 포함하며, 이를 통해 공회전 정식화의 계산 효율성과 내재적 정식화의 기하학적 일관성을 결합한 통합적 해석 틀을 제공한다.

키워드

변분 사영

공회전 정식화

내재적 보 이론

비선형 역학

MAIN

1. 서 론
2. 보 이론의 비선형 구조
2.1 공회전 좌표계 기반 보 이론
2.2 내재적 보 이론
2.3 공회전 정식화와 내재적 보 이론의 통합 구조
2.4 공회전 좌표계와 내재적 좌표계
2.5 Wagner 항의 기원과 역할
3. 공회전 국소 모델 정식화
3.1 국소 선형 변위장
3.2 국소 비선형 변형률
3.3 변분 섭동법
3.4 선형 및 비선형 섭동
4. 결 론

1. 서 론

비선형 보 이론은 항공우주, 기계, 토목 구조물의 해석에서 핵심적인 역할을 수행하며, 특히 대변형 및 대회전 문제를 다루기 위한 다양한 이론적·수치적 정식화가 지난 수십 년간 활발히 발전해 왔다. 이러한 발전은 크게 두 가지 흐름으로 구분될 수 있다.

하나는 유한요소 해석의 효율성과 강건성을 확보하기 위해 고안된 공회전(co-rotational, CR) 정식화 계열로, Battini와 Pacoste(2002), Belytschko와 Hsieh(1973), Crisfield(1990), Wempner(1969) 등의 연구로 대표된다. 이 접근법은 전체 운동을 강체 운동과 국부 변형으로 분해함으로써, 대회전 문제를 선형화된 국부 좌표계에서 효과적으로 처리할 수 있도록 한다. 다른 하나는 기하학적 정합성과 이론적 완전성을 강조하는 내재적(intrinsic) 정식화 계열로 Hodges(2003, 2006), Reissner(1973), Simo(1985), Simo와 Vu-Quoc(1986) 등의 연구로 대표된다. 이 접근법은 변위장이 아닌 변형률과 곡률을 기본 변수로 채택함으로써, 기하학적으로 정확한 비선형 구조를 유지하면서도 불필요한 자유도를 제거하는 장점이 있다. 특히 Hodges(2003, 2006)에 의해 정립된 내재적 보 정식화는 6개의 일반화된 변형률 변수만으로 3차원 보의 거동을 기술할 수 있는 최소 차원 모델로 평가받는다.

기하학적 비선형성을 체계적으로 처리하기 위한 또 다른 중요한 흐름으로 Berdichevsky(1979)에 의해 제안된 변분 점근법(VAM)이 있다. 이 방법은 다차원 연속체 문제를 점근적 스케일 분리를 통해 저차원 모델로 환원하는 강력한 이론적 틀을 제공하며, Cesnik과 Hodges(1997)에 의해 발전된 VABS는 복합재 보의 단면 해석에 있어 사실상 표준 도구로 자리 잡았다. VAM은 에너지 기반의 체계적인 차원 축소를 가능하게 하며, 단면 변형과 전체 구조 거동을 일관되게 연결하는 장점이 있다. 한편, 고전적인 점근해석기법을 사용하여 복합재 보의 단면 특성 해석 및 경계조건(Kim et al., 2008; Kim and Wang, 2011), 생브낭의 원리를 이용한 후처리 기법(Jeong and Kim, 2016; Kim, 2012), 그리고 경계층 효과(Kim and Kim, 2024)에 관한 연구들이 독립적으로 수행되어 이 분야에 기여가 이루어진 바 있다.

그러나 이러한 세 가지 접근법은 동일한 연속체 역학에 기반하고 있음에도 불구하고, 서로 다른 수학적 구조와 변수 체계를 사용함으로써 마치 본질적으로 다른 이론인 것처럼 인식됐다. 특히 Green-Lagrange(GL) 변형률에 포함된 비선형 항들이 각 정식화에서 어떻게 나타나고, 어떤 항은 명시적으로 유지되며 어떤 항은 제거되거나 재구성되는지에 대한 체계적인 비교는 충분히 이루어지지 않았다. 또한 CR 좌표계에서 나타나는 비선형 항—예를 들어 중심선 기울기에 의해 생성되는 막형 비선형 항이나, 단면 반경과 비틀림 변화율의 결합으로 나타나는 와그너(Wagner, 1936) 항—이 내재적 정식화에서는 어떻게 재구성되는지에 대한 명확한 해석은 부족하다. 와그너 효과와 함께 개단면 보의 비틀림 거동에서 중요한 역할을 하는 블라소프(Vlasov, 1961) 비틀림 또한, 각 정식화에서 서로 다른 방식으로 다루어져 왔으나 이들의 통합적 기하학 기원에 대한 논의는 미흡하다. 아울러 기존 연구에서는 특정 비선형 항의 중요성을 개별적으로 논의하는 경향이 있었으나, 이들 항이 공통의 기하학적 구조로부터 유도되는지, 혹은 좌표계 선택으로 인위적으로 분리된 결과인지에 대한 근본적인 질문은 충분히 다루어지지 않았다.

이러한 배경에서 본 연구는 변분 사영(variational projection) 관점을 도입하여 CR 정식화와 내재적 보 이론의 통합적 기하학 구조를 규명하고자 한다. 구체적으로 두 정식화가 동일한 연속체 기반의 공통 기하학 구조를 공유함을 보이고, 비선형 항의 기원과 좌표계 선택에 따른 표현 차이를 체계적으로 분석한다. 나아가 변분 섭동법(VPM; Kim, 2026)을 활용하여 공회전 좌표계 기반의 국소 비선형 보 모델을 구성하고, 단면 섭동 변위를 체계적으로 결정하는 방법을 제시한다. 이를 통해 공회전 정식화의 계산 효율성과 내재적 정식화의 기하학적 일관성을 결합한 통합적 해석 틀을 제공하는 것이 본 연구의 목표이다.

2. 보 이론의 비선형 구조

비선형 보 이론의 핵심은 강체 운동과 변형의 효과적인 분리에 있다. 특히 대회전 상태에서는 국부 변형이 작더라도 기하학적 비선형성이 지배적으로 나타나므로, 이를 기술하기 위한 공회전(CR) 정식화와 내재적 정식화가 독립적으로 발전해 왔다. 전자는 국소 좌표계를 통한 운동학적 분해로 계산 효율성을 극대화하며, 후자는 기하학적 불변량인 곡률과 변형률을 중심으로 이론적 완전성을 추구한다. 본 장에서는 두 정식화의 운동학적 구조를 비교 분석하고, 변분 사영 관점에서 이들을 관통하는 통합적 비선형 기하학 항의 형성 원리를 고찰한다.

2.1 공회전 좌표계 기반 보 이론

공회전(CR) 정식화의 본질은 운동학적 분해를 통해 대변형에 따른 기하학적 비선형성을 강체 운동과 상대 변형으로 구분하여, 이를 국소 수준에서 효과적으로 기술하는 데 있다.

공회전 정식화에서는 현재 배치(Configuration) R을 기준 배치 r로부터 변위를 통해 다음과 같이 분해한다(Fig. 1).

(1)

u = R - r = u_{rb} + D_{d}

여기서, $u_{rb}$ 는 요소의 강체운동 성분을, $u_{d}$ 는 공회전 좌표계에서 관측되는 국소 변형 성분을 의미한다. 이때 병진 성분은 위와 같이 가산 적으로 분해되지만, 회전 성분은 곱셈 적으로 처리됨에 주의해야 한다. 이러한 분해를 통해 대변위 및 대회전에 따른 기하학적 비선형은 강체운동 성분에 흡수되고, 국소 변형은 공회전 좌표계 내에서 단순한 선형 또는 약 비선형(weakly nonlinear) 형태로 기술될 수 있다.

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Fig. 1.

Reference and deformed configurations and their coordinate systems in the co-rotational formulation

공회전 좌표계의 국소 기저벡터 $\{b_{i}\}$ 와 전역 좌표계의 기저벡터 $\{E_{i}\}$ 사이의 관계는 회전 행렬 $R_{e}$ 에 의해 정의된다(식 (2)).

(2)

b_{i} = R_{e} E_{i}, R_{e} \in S O (3)

여기서, 회전 행렬의 각 열은 전역 좌표계로 표현된 국소 기저벡터 $b_{i}$ 에 해당한다. 회전 행렬은 현재 절점의 위치(요소 현재 코드 방향)와 방향 자유도로부터 구성되며, 비선형 변수이다. 따라서 공회전 정식화에서의 주요 기하학적 비선형성은 이 회전 행렬의 정의 및 하중 증분 단계에서의 갱신(update) 과정에 집중된다.

전체 절점 자유도 $d_{g}$ 로부터 강체 운동 성분을 제거하여 국소 변형 자유도 $d_{l}$ 을 추출하는 과정은 일반적으로 다음 식 (3)과 같이 표현된다.

(3)

d_{l} = P (d_{g}, R_{e})

이는 $R_{e}$ 에 의존하는 비선형 추출 절차로서, 단순한 선형 사영(projection)이 아니다. 국소 변형 자유도 $d_{l}$ 은 공회전 좌표계에서 정의되며, 다음 물리량을 포함한다.

1) 축 방향 연신(axial elongation): $u = L - L_{0}$ , 이는 현재 요소 길이에서 기준 요소 길이의 차이

2) 상대 회전(relative nodal rotations): 공회전 좌표계를 기준으로 측정된 휨(bending) 및 비틀림(torsion) 성분

이처럼 공회전 정식화는 전체 자유도에서 강체 운동을 체계적으로 분리하고, 변형에 직접 기여하는 유효 자유도만을 추출함으로써 기하학적 비선형 문제를 구조적으로 단순화한다.

2.2 내재적 보 이론

공회전 정식화가 전체 자유도에서 강체운동을 분리/제거하는 방식이라면, 내재적 보 이론(intrinsic beam theory)은 처음부터 강체 운동에 불변인 기하학적 양을 기본 변수로 선택하는 접근이다. 구체적으로 변위나 회전각 등의 외재적 변수 대신 보의 변형 상태를 직접 기술하는 다음 식 (4)의 내재적 변형률을 기본 미지수로 삼는다.

(4)

Γ = {[γ, κ]}^{T} \in ℝ^{6}, γ \in ℝ^{3} (trans), κ \in ℝ^{3} (rot)

보의 각 단면에서는 직교 기저 $\{E_{u} (s)\}$ (director triad)가 부착되며, 이는 호 매개변수 s를 따라 이동하면서 회전한다. 현재 형상은 중심선 위치 벡터 $R_{0} (s)$ 와 직교 기저만으로 완전히 기술된다. 따라서 변형 후의 기저는 기준 상태의 기저 $\{E_{i}\}$ 를 현재 상태의 기저 $\{B_{i}\}$ 로 사상하는 회전 행렬이다(식 (5)).

(5)

B_{i} (s) = R_{p} (s) E_{i}

중심선의 공간 미분과 기저벡터의 공간 미분으로부터 내재적 변형률이 정의된다. 기저벡터의 s에 대한 미분은 다음과 같이 다르부(Darboux) 벡터, 단면에 부착된 기저와 연결된다.

(6)

\frac{d B_{i}}{d s} = κ \times B_{i} \Leftrightarrow R_{p}^{'} = \tilde{κ} R_{p}, \tilde{κ} = {R_{p}}^{'} R_{p}^{T}

여기서, 틸다(tilde)는 벡터의 반대칭 행렬 표현이다. 이로부터 축/전단 변형률 벡터와 곡률/비틀림 벡터는 각각

(7)

γ (s) = R_{p}^{T} {R_{0}}^{'} - e_{1}, κ (s) = axial (R_{p}^{T} {R_{p}}^{'})

로 정의된다(식 (7)). 여기서 $e_{1}$ 은 기준 상태에서의 접선 단위벡터이며, 기준 상태에서는 축/전단 변형률이 없으며, 초기 곡률과 비틀림만이 존재한다.

내재적 변형률의 결정적 성질은 강체운동 하에서 불변이라는 점이다. 즉, 강체운동에 해당하는 성분은 애초에 지배방정식에 나타나지 않으므로 공회전 정식화에서의 분해 후 제거 과정이 불필요하다. 따라서 변형률, 평형, 구성 관계가 모두 이동 기저 위의 내재적 양으로 일관되게 기술된다.

2.3 공회전 정식화와 내재적 보 이론의 통합 구조

두 이론은 표면적으로 다른 출발점을 가지나, 운동학적 구조를 자세히 비교하면 기하학적 기반을 공유함을 알 수 있다. 두 이론 모두 현재 형상을 현재 형상에 적응하여 국소 이동 기저(moving frame) 위에서 기술한다(Table 1). 두 경우 모두 국소 기저와 전역 기저의 관계는 회전 행렬로 표현되며, 비선형성은 이 회전의 변화로부터 발생한다.

Table 1.

Moving frame in CR and intrinsic formulation

Category	Co-rotational formulation	Intrinsic beam theory
Local Basis	$b_{i}$ (EL-wise, discrete)	$B_{i} (s)$ (CS-wise, cont.)
Relation to global basis	$b_{i} = R_{e} E_{i}$	$B_{i} (s) = R_{p} (s) E_{i}$
Source of nonlinearity	Update of $R_{e}$	Spatial variation of $R_{p}$

이러한 관점에서 보면, 공회전 정식화와 내재적 보 이론은 상호 배타적인 대안이라기보다 같은 기하학적 내용을 서로 다른 수준에서 구현한 것으로 이해하는 것이 타당하다. 공회전 정식화는 유한요소 수준에서 구현 친화적인 형태로 이 구조를 구현한 것이고, 내재적 보 이론은 연속체 및 미분 기하학적 수준에서 더 본질적인 형식으로 이를 표현한 것이다. 전자가 수치해석을 위한 실용적 분해라면, 후자는 그 분해의 기하학적 원리를 더 직접적으로 드러낸 정식화라고 할 수 있다.

변분 사영 관점에서 보면 두 정식화의 통합 구조가 더욱 분명해진다. 공회전 정식화는 회전하는 국소 프레임에 대해 상대 변형 자유도만을 남기는 사영으로, 내재적 보 이론은 기하학적 불변량이 정의되는 다양체 위에서 문제를 기술하는 사영으로 각각 이해될 수 있다. 즉, 양자는 강체 운동에 해당하는 중복 성분을 제거하고 구조 응답을 지배하는 본질적 자유도만을 선택한다는 공통된 사영 원리를 공유한다.

기존 연구에서도 내재적 보 이론은 기하하적으로 정확한 보 이론을 변형률 기반(strain-based) 변수 체계로 표현한 것으로 이해되며(Hodges, 2003, 2006), 공회전 정식화는 이러한 기하학적으로 정확한 보 이론을 유한요소 수준에서 효율적으로 구현하기 위한 수치적 틀로 널리 활용되고 있다. 따라서 동일한 운동학 가정과 구성 관계를 사용할 경우, 충분히 세분화된 이산화 하에서는 두 접근법이 동일한 평형 형상과 구조 응답에 수렴하는 것으로 알려져 있다. 반면 실제 계산 과정에서는 상태 변수의 선택, 선형화 절차, 요소 보간 및 수치 적분 방법 등의 차이로 인해 수렴 특성이나 계산 효율성에서 차이가 나타날 수 있다. 따라서 양자의 차이는 물리 모델 자체의 차이라기보다 표현 방식과 수치 구현 수준의 차이로 이해하는 것이 타당하다.

2.4 공회전 좌표계와 내재적 좌표계

공회전 정식화와 내재적 정식화 모두에서 변형 후 상태는 이동하는 기저벡터 $\{B_{i}\}$ 를 통해 기술된다. 다만 두 접근법은 이러한 기저를 도입하고 사용하는 방식에서 차이를 보인다. 공회전 정식화에서는 전역 좌표계와 최종 변형 상태 사이에 공회전 좌표계 $\{b_{i}\}$ 가 중간 단계로 도입되며, 이 좌표계를 기준으로 상대 변형이 정의된다. 반면 내재적 정식화에서는 변형 후 형상을 기술하는 기저 자체가 최종적인 기술 변수로 사용된다. 내재적 정식화에서는 보 중심선의 접선 방향을 나타내는 축 방향 벡터 $B_{1}$ 가 일반적으로 매개변수 s에 대해 항상 접선(tangent)이 되지 않을 수 있다. 변형 후의 위치 벡터는

(8)

R (x_{i}) = R_{0} (x_{1}) + ξ (x_{i}), ξ = x_{α} B_{α} (x_{1}), x_{1} = s

이며, 접선 벡터는 이를 미분하여 다음 식 (9)와 같이 얻는다.

(9)

R_{0}^{'} = (1 + γ_{11}) B_{1} + 2 γ_{1 α} B_{α} (x_{1}), R_{0}^{'} ∦ B_{1}

이러한 불일치를 해소하기 위해 별도의 이동 좌표계를 도입하며, 이 좌표계 $\{T_{i}\}$ 는 보의 변형 상태를 따라 정의되는 국소 기저로서 공회전 좌표계와 유사한 구실을 한다. 특히 보 요소의 길이가 0으로 수렴하는 극한에서는 두 좌표계가 같은 개념으로 귀결된다. 그러나 중요한 차이는 내재적 정식화에서는 이 기저 자체가 변형 상태를 직접적으로 기술하는 기본 변수라는 점에 있다. 이러한 차이는 단순한 형식상의 차이를 넘어 변형률 정의와 지배방정식의 구조에 영향을 미친다(Fig. 2).

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Fig. 2.

Deformed coordinate systems: (a) intrinsic formulation, (b) co-rotational formulation

내재적 정식화에서의 운동학은 본질적으로 Euler-Bernoulli 보 이론과 유사한 구조를 가지며, 변형은 곡률과 같은 내재적 변수로 직접 기술된다. 반면 공회전 정식화에서는 절점 기반 자유도를 유지하면서 국소 프레임에서 변형을 정의하므로, 노드에서 0이 되는 횡 변위를 갖는 형태를 자연스럽게 포함할 수 있으며, 이를 통해 다양한 보 이론(E-B, Timoshenko 등)을 유연하게 적용할 수 있다.

한편, 표준적인 공회전 정식화는 전체 운동에서 강체 회전을 분리한 후, 국소 프레임 내에서 변형 구배가 작다고 가정한다. 이에 따라 국소 Green-Lagrange(GL) 변형률에서 비선형 항을 생략하고 선형 항만을 유지하는 근사가 일반적으로 사용된다. 이러한 접근은 굽힘이나 축 변형의 경우에는 충분한 정확도를 제공하지만, 비틀림 거동에서는 중요한 비선형 효과를 누락시킬 수 있다. 이러한 좌표계 선택에 따른 표현 차이는 특히 비틀림 채널에서 나타나는 비선형 항의 구조를 결정하며, 그 대표적인 예가 다음 절에서 다루는 와그너 항이다.

2.5 Wagner 항의 기원과 역할

얇은 벽 개 단면(open section) 보의 비틀림 문제에서는 와그너(Wagner) 항으로 알려진 기하학적 비틀림 강성이 중요한 역할을 한다. 이 항은 국소 GL 변형률에 포함된 비선형 항과 초기 축 응력의 결합으로부터 발생하며, 물리적으로는 단면 내 위치 벡터와 곡률 벡터 사이의 결합, 즉 𝜅×𝜉 구조의 제곱 항에서 기인한다. 이 항은 GL 변형률의 유도에서 나타난다. 식 (6)을 참고하여, 식 (8)을 미분하면

(10)

R' = R_{0}' + κ \times ξ \Rightarrow ε_{11} = \frac{1}{2} (R' \cdot R' - 1)

이를 정리하면, 다음 식 (11)을 얻는다.

(11)

ε_{11} = \frac{1}{2} (R_{0}' \cdot R_{0}' + 2 R_{0}' \cdot (κ \times ξ) + {|κ \times ξ|}^{2} - 1)

여기서, 선형 항은 기존의 굽힘 변형에 대응하며, 외적의 제곱 항이 바로 와그너 항의 기하학적 기원을 이룬다. 특히 비틀림 성분이 존재할 때 다음과 같이 주어진다.

(12)

{|κ \times ξ|}^{2} ~ (x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) κ_{1}^{2}

이 표현에서 중요한 점은 와그너 항이 특정 좌표계에서 인위적으로 추가되는 항이 아니라, 이동 기저의 회전에 따른 기하학적 항의 제곱으로부터 필연적으로 발생한다는 것이다. 전역 좌표계에서는 𝜅×𝜉 항이 명시적으로 나타나며, 내재적 정식화에서는 이 효과가 기하학적 강성 행렬에 포함된다. 그러나 앞서 언급한 것처럼, 표준적인 공회전 정식화에서는 이를 반영하지 못한다. 따라서 이는 요소 내부의 응력 상태와 비틀림 운동학 사이의 내재적(intrinsic) 상호작용으로 이해되어야 하며, 단순한 좌표계 변환이나 강제 회전의 제거와 같은 외재적(extrinsic) 처리만으로는 포착될 수 없다.

굽힘과 달리, 비틀림 문제에서는 이러한 와그너 항이 선형 비틀림 강성과 같은 점근적 차수를 가질 수 있으므로, 이를 무시하면 비틀림 좌굴이나 진동 해석에서 심각한 오차를 초래할 수 있다. 따라서 공회전 정식화에서도 선형 항뿐만 아니라 이러한 비선형 항을 적절히 포함하는 것이 필요하다. 반면 내재적 정식화에서는 이러한 효과가 별도의 항으로 분리되어 나타나기보다는, 변형률-응력 관계 또는 유효 강성의 형태로 자연스럽게 포함된다. 그러나 와그너 효과가 중요한 경우에는 동시에 단면의 워핑 구속 효과, 즉 블라소프(Vlasov) 비틀림 또한 중요한 역할을 하게 된다. 따라서 실제 구조 해석에서는 공회전 정식화와 내재적 정식화 모두에서 와그너 효과와 블라소프 비틀림을 함께 고려하는 것이 필수적이다. 이에 대한 상세한 정식화는 3.3절에서 다룬다.

Remark(좌표계에 따른 표현의 통합적 해석) 식 (12)의 항은 좌표계에 따라 서로 다른 형태로 나타난다.

1) 전역 좌표계: 변형률의 2차 항으로 명시적으로 표현

2) 공회전 정식화: 기하학적 강성에서 누락(별도 보정 필요; 즉, 국소 2차 변형률에서 고려 필요)

3) 내재적 정식화: 유효 강성에 자연스럽게 포함

그러나 이러한 차이는 본질적인 차이가 아니라 표현의 차이에 불과하다. 즉, 와그너 항은 좌표계에 따라 위치만 달라질 뿐, 동일한 기하학적 기원을 갖는 하나의 항이다.

3. 공회전 국소 모델 정식화

이 장에서는 공회전 정식화와 내재적 정식화의 장점을 결합하여 일반화된 공회전 국소 모델을 구성한다. 특히 국소 변위장을 기반으로 하되, 와그너 효과 및 블라소프 비틀림과 같은 고차 비선형 효과를 포함할 수 있는 정식화를 제시한다.

3.1 국소 선형 변위장

공회전 정식화는 내재적 정식화와 달리 변위 기반 접근을 취한다. 즉, 변형 후 형상은 기준 형상으로부터의 변위장을 통해 기술된다. 이때 단면 내 변위는 단순 강체 운동뿐 아니라, 전단/워핑 변형을 포함하도록 다음과 같이 표현한다:

(13)

R = R_{0} + x_{α} B_{α} + w_{i} B_{i}

여기서, $w_{i} B \approx w_{i} b_{i}$ 는 공회전 좌표계에서 변형 후와 변형 전의 단면 내 섭동(perturbation) 변위가 근사적으로 같음을 나타낸다. 변형 전 벡터는 공회전 좌표계를 기준으로

(14)

r = r_{0} + x_{α} b_{α}

이며, 즉 기준 상태에서는 단면이 변형 없이 공회전 기저에 의해 기술된다. 따라서 식 (13)과 식 (14)를 식 (1)에 대입하면

(15)

u = R - r = v (x_{1}) + x_{α} (R_{e} - I) b_{α} + w_{i} b_{i}

이 식에서 $v (x_{1})$ 는 중심선 변위이며, 두 번째 항은 공회전 좌표계의 회전으로 유도되는 단면의 회전 효과를 나타낸다. 회전 행렬은 소 회전(small rotation) 가정하에서 다음 식 (16)과 같이 선형화할 수 있다.

(16)

R_{e} = I + \tilde{θ}, \tilde{θ} = [\begin{matrix} 0 & - θ_{3} & θ_{2} \\ θ_{3} & 0 & - θ_{1} \\ - θ_{2} & θ_{1} & 0 \end{matrix}]' R_{e}' = \tilde{θ}'

이를 식 (15)에 대입하면 변위장은 성분별로 다음과 같이 정리된다.

(17)

u = (x_{i}) = \{\begin{matrix} v_{1} (x_{1}) - x_{2} θ_{3} (x_{1}) + x_{3} θ_{2} (x_{1}) + w_{1} (x_{i}) \\ v_{2} (x_{1}) - x_{3} θ_{1} (x_{1}) + w_{2} (x_{i}) \\ v_{3} (x_{1}) + x_{2} θ_{1} (x_{1}) + w_{3} (x_{i}) \end{matrix}\}

3.2 국소 비선형 변형률

국소 비선형 변형률은 식 (10)의 GL 변형률 정의에, 앞 절에서 도출된 변위장 식 (17)을 대입하여 얻는다. 이때 공회전 정식화의 기본 가정에 따라 축 방향 변형률에서는 비선형 효과를 유지하되, 전단 및 섭동과 관련된 고차 비선형 항은 작다고 가정하여 생략한다. 이로부터 축 방향 변형률은 다음 식 (18)과 같다.

(18)

ε_{11} = v_{1}' - x_{2} (θ_{3} - v_{3}' θ_{1}') + x_{3} (θ_{2} - v_{2}' θ_{1}') + \frac{1}{2} (v_{2}'^{2} + v_{3}'^{2} `) + \frac{1}{2} (x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) θ_{1}'^{2} + w_{1, 1}

이 식에서 마지막 두 항은 각각 중심선 기울에 의한 기하학적 비선형성과 단면 비틀림 회전에 따른 비선형성을 나타낸다.

한편 전단 변형률은 공회전 좌표계에서 선형 항으로 정리하면 다음 식 (19)와 같다.

(19)

2 ε_{12} = v_{2}' - θ_{3} - x_{3} θ_{1}' + w_{1, 2} + w_{2, 1}, 2 ε_{13} = v_{3}' + θ_{2} + x_{2} θ_{1}' + w_{1, 3} + w_{3, 1},

이는 공회전 정식화에서 전단변형이 상대적으로 작다고 가정한 결과이며, 비선형 효과는 주로 축방향 변형률에 집중된다.

면내 변형률은 중심선 변위가 아니라 섭동 변위에 의해서만 발생한다고 가정한다. 따라서

(20)

ε_{22} = w_{2, 2}, ε_{33} = w_{3, 3}, 2 ε_{23} = w_{2, 3} + w_{3, 2}

이는 본 정식화가 거시적 보 운동과 단면 내 미시적 섭동을 분리하여 기술하고 있음을 보여준다(식 (20)). 즉, 축/굽힘/비틀림은 중심선 변수로 기술되고, 단면 내의 상세한 변형은 섭동 변위로 수용된다.

이상의 결과를 종합하면, 변형률 벡터는 다음과 같이 행렬 형태로 표현할 수 있다.

(21)

ε = Φ (x_{α}) e (x_{1}) + Φ_{N} (x_{α}) e_{N} (x_{1}) + L_{23} w + ϵ L_{1} w'

여기서, $ε = [ε_{11}, 2 ε_{12}, 2 ε_{13}, ε_{22}, 2 ε_{23}, ε_{22}]^{T}$ ,는 3차원 변형률 성분을 모은 벡터이며, 식 (21)의 각 항은 서로 다른 물리적 의미가 있다. 첫 번째 항은 선형 보 변형률에 대응하고, 두 번째 항은 중심선 기울기 및 비틀림에 의한 비선형 기하학 항을 나타내며, 마지막 두 항은 단면 내 섭동 변위에 의한 추가 변형을 나타낸다. 즉, 식 (21)은 본 국소 모델의 핵심 구조를 요약한 식으로써, 보의 거시적 운동과 단면 내 미시적 섭동을 동시에 포함하는 다중스케일 표현이라 할 수 있다. 선형 변형률 항은 다음 식 (22)와 같이 정의된다.

(22)

Φ = [\begin{matrix} Φ_{e} \\ 0_{3 \times 6} \end{matrix}], Φ_{e} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & x_{3} & - x_{2} \\ 0 & 1 & 0 & - x_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & x_{2} & 0 & 0 \end{matrix}]' e = \{\begin{matrix} γ \\ κ \end{matrix}\}

여기서, $γ = [v_{1}', v_{2}' - θ_{3}, v_{3}' + θ_{2}]^{T}$ 그리고 $κ = [θ_{1}', θ_{2}', θ_{3}']^{T}$ 이다. 본 정식화가 공회전 변위장을 출발점으로 하면서도 내재적 변수와 자연스럽게 연결됨을 보여준다. 비선형 변형률 항은 다음 식 (23)과 같이 정리된다.

(23)

Φ_{N} = [\begin{matrix} Φ_{\neq} \\ 0_{5 \times 4} \end{matrix}], Φ_{\neq} = [1, x_{2}, - x_{3}, (x_{2}^{2} + x_{3}^{2})], e_{N} {[\frac{1}{2} (v_{2}'^{2} + v_{3}'^{2}), v_{3}' θ_{1}', v_{2}' θ_{1}', \frac{1}{2} θ_{1}'^{2}]}^{T}

이 식은 비선형 변형률이 단순한 고차 보정이 아니라, 중심선 기울기와 비틀림률의 결합으로 구성된 독립적 구조임을 보여준다. 마지막으로 섭동 변위에 대한 연산자는

(24)

L_{23} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ \partial_{x_{2}} & 0 & 0 \\ \partial_{x_{3}} & 0 & 0 \\ 0 & \partial_{x_{2}} & 0 \\ 0 & \partial_{x_{3}} & \partial_{x_{2}} \\ 0 & 0 & \partial_{x_{3}} \end{matrix}], L_{1} = [\begin{matrix} I_{3} \\ 0_{3} \end{matrix}], w = \{\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix}\}

으로 정의되며, 각각 단면 내 미분 연산과 축 방향 미분 연산을 나타낸다(식 (24)). 이 연산자들은 섭동 변위가 단면 내 전단, 면내 변형, 워핑 등 다양한 국소 효과를 수용할 수 있도록 한다. 이처럼 식 (21)은 보의 선형 거동, 기하학적 비선형 거동 그리고 단면 내 섭동 거동을 하나의 통일된 형태로 표현한 결과이다. 이후 절에서는 이 변형률 표현을 변분 원리에 대입하여 거시 문제와 미시 문제를 분리하고 섭동 변위를 체계적으로 결정한다.

3.3 변분 섭동법

앞 절에서 도출한 변형률 벡터 식 (21)은 거시적 보 운동과 단면 내 국소 섭동을 동시에 포함하고 있다. 이제 이를 가상일의 원리에 대입하면, 거시 변수 e와 미시 변수 w를 분리하는 변분 정식화를 구성할 수 있다. 본 연구에서는 이러한 분리를 위해 변분 섭동법(VPM)을 적용한다.

기본 아이디어는 전체 변형장을 보의 거시적 운동을 나타내는 부분과, 이에 직교하는 단면 내 섭동 부분으로 분해하는 데 있다. 이를 위해 먼저 기본 변위장을 정의하고, 섭동 변위가 이 기본 변위에 직교하도록 조건을 부과한다.

(25)

u (x_{i}) = Φ_{e} (x_{α}) V + w, V = {[v, θ]}^{T} s . t . < w^{T} Φ_{e} > = 0

이 직교 조건은 섭동 변위가 기본 보 운동을 배제하도록 하여 거시-미시 분해의 유일성을 보장한다. 즉, 섭동 변위는 기본 보 이론으로 설명되지 않는 순수한 단면 변형만을 담당한다.

일반적인 단면 형상에 대해 섭동 변위를 계산하기 위해 이를 단면 형상 함수와 축 방향 미지수의 곱으로 다음과 같이 근사한다.

(26)

w (x_{i}) = S (x_{α}) w (x_{1})

이 표현은 단면 내 변형의 공간 분포와 축 방향 변화율을 분리하여 다룰 수 있게 하며, 수치 구현에서도 효율적이다.

식 (26)을 식 (21)에 대입한 후 가상일의 원리를 적용하면, 미시 문제는 다음과 같이 약형(weak form)으로 정리된다.

(27)

δ w^{T} < {(L_{23} S)}^{T} σ > = 0, S . t . δ w^{T} < S^{T} Φ_{e} > = 0

여기서, C는 탄성계수 행렬이다. 이 식은 단면 수준에서의 평형과 직교 조건을 동시에 부과하는 미시 문제를 의미한다. 이 미시 문제를 풀면 섭동 변위는 거시 변형률의 함수로 표현될 수 있다.

(28)

w = Γ e + Γ_{N} e_{N}

즉, 섭동 변위는 선형 변형률뿐 아니라 비선형 변형률에 의해서도 구동된다. 이는 단면 변형의 형상과 크기가 단순히 하중 조건에 의해 정해지는 것이 아니라, 보의 전체 비선형 운동 상태에 따라 달라질 수 있음을 의미한다. 특히 비선형 비틀림 와그너 효과가 단면 섭동을 통해 자연스럽게 보정됨을 알 수 있다.

마지막으로 블라소프 비틀림을 포함하는 일반화된 변위장은 비틀림 섭동 변위를 기본 변위장에 명시적으로 추가함으로써 다음과 같이 표현할 수 있다.

(29)

u = Φ_{e} (x_{σ}) V + Γ_{θ} θ_{1}' + w

여기서, $Γ_{θ} θ_{1}'$ 는 비틀림에 의해 유도되는 섭동 변위를 나타낸다. 따라서 식 (29)는 공회전 기반의 보 운동, 단면 섭동 변형, 그리고 블라소프형 비틀림을 동시에 포함하는 일반화된 국소 변위장이라 할 수 있다. 다만 주의할 점은 새로운 섭동 변위의 계산을 위해서는 직교 조건식 (25)를 추가된 섭동 변위를 포함하도록 갱신해야 한다는 것이다.

3.4 선형 및 비선형 섭동

본 절에서는 게이지 조건에 의해 제약된 허용 공간 위에서 변분 사영이 생성하는 섭동 변위 모드를 고찰한다. 섭동 변위는 선형 항과 비선형 보정 항으로 계층적으로 구성되며, 각각은 식 (27)의 셀 문제로부터 결정된다. 이를 정사각형 폐단면과 개단면 박판 보에 대해 비교한다.

먼저 정사각형 단면에 대한 선형 섭동 변위를 살펴본다. Fig. 3은 선형 섭동으로부터 도출된 여섯 가지 기본 모드를 나타낸다. 인장 모드(extension)는 단면 전체에 걸쳐 거의 균일한 분포를 보이며, 이는 고전 보 이론의 생브낭 가정과 일치한다. 전단 모드(shear 2, shear 3)는 단면의 두 주축 방향에 대해 각각 3차 다항식 분포를 나타내며, Timoshenko 보 이론에서의 전단 교정 인자와 직접적으로 대응된다. 비틀림 모드(torsion)는 생브낭 비틀림 함수와 동일한 반대칭 구조를 보이며, 굽힘 모드(bending 2, bending 3)는 각각의 굽힘 축에 대하여 선형 변화를 나타낸다. 이처럼 선형 섭동 변위들은 별도의 운동학적 가정 없이도 Timoshenko 보 이론의 단면 기저 함수와 정확히 일치하는 형태로 자연스럽게 도출되며, 이는 게이지 조건에 의한 직교성 제약이 각 모드를 물리적으로 의미있는 방향으로 유일하게 결정함을 보여준다.

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Fig. 3.

Linear perturbation displacements 𝛤 for a beam with a square cross-section: extension, two shear, torsion, and two bending modes

한편 식 (28)로부터 계산되는 비선형 보정 항을 Fig. 4에 나타낸다. 멤브레인 모드는 단면 중앙부에 집중 분포를 보이며, 면내 축 강성이 변형 정도에 따라 변함을 의미한다. 굽힘-비틀림 연성 모드는 두 굽힘 축과 비틀림 사이의 기하학적 비선형 상호작용을 반영하며 반대칭적 분포를 형성한다. 특히 와그너 항과 Vlasov 비틀림 모드가 별도의 모델링 가정없이 자동으로 출현하며, 이는 식 (29)의 일반화된 변위장이 단면의 기하학적 비선형성을 계층적으로 내포하고 있음을 확인시켜 준다.

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Fig. 4.

Nonlinear perturbation displacements 𝛤N for a beam with a square cross-section: membrane, bending-torsion coupling, and Wagner nonlinear modes

한편 개단면을 가지는 박판 보에 대해서는 단면 형상의 변화가 섭동 모드의 구조에 질적으로 다른 영향을 미침을 확인할 수 있다. Fig. 5는 개단면 박판 보의 선형 섭동 변위를 나타낸다. 전단 모드(shear 2, shear 3)는 단면의 박판 요소를 따라 강한 구배를 나타내며, 이는 박판 구조의 전단 지체(shear lag) 현상을 반영한다. 비틀림 모드는 개단면 특유의 워핑 분포를 나타내며, Vlasov 뒤틀림 함수와 정성적으로 일치한다. 굽힘 모드는 플랜지와 웨브의 국소 변형이 서로 다른 분포를 보이며, 이는 단면의 비대칭 기하학에 의한 결과이다.

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Fig. 5.

Linear perturbation displacements 𝛤 for an open-section thin-walled beam: extension, two shear, torsion, and two bending modes

Fig. 6은 동일한 개단면 박판 보에 대한 비선형 섭동 변위 분포를 평면에서 나타낸 것으로, 단면 두께 방향의 변위 구배를 보다 명확히 관찰할 수 있도록 한다. 인장 및 굽힘 모드는 정사각형 단면 보와 마찬가지로 맵브레인 비선형에 의해 축 강성이 변함을 보여준다. 한편, 와그너 효과는 멤브레인 비선형과 반대의 경향을 나타내며, 축 강성을 감소시키는 방향으로 작용할 수 있다. 이는 정사각 단면 보와는 다르게 비틀림에 의해 축 강성이 증가 또는 감소 함을 알려준다. 또한 와그너 모드는 박판의 자유 끝단에서 두드러진 뒤틀림 구배가 나타나며, 이는 개단면 구조에서 와그너 효과가 폐단면에 비해 현저히 큼을 물리적으로 반영한다. Fig. 5와 Fig. 6을 종합하면, 본 변분 사영 틀이 개단면 박판 보의 복잡한 단면 거동을 별도의 계층적 보정없이 일관된 수치 절차 내에서 포착함을 확인할 수 있다.

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Fig. 6.

Nonlinear perturbation displacements 𝛤N for an open -section thin-walled beam: membrane, bending-torsion coupling, and Wagner nonlinear modes

Fig. 7은 Vlasov 모드를 명시적으로 포함하는 식 (29)에 의해 생성되는 섭동 변위 중에 비틀림과 단면 왜곡(distortion)를 보여준다. Fig. 5에서 4번째 섭동 변위를 변위장에 추가할 경우, 비틀림 섭동은 보다 단면 두께 방향의 고차 변형을 보여주며, 새롭게 나타나는 변형률 항 $ϕ''$ 에 대응하는 섭동(distortion)을 보여준다. 한편 추가된 변위에도 불구하고, 비선형 보정항은 Fig. 6과 같다. 따라서 비선형 비틀림 보정은 와그너 효과에 의한 축 강성 보정이 가장 크다.

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Fig. 7.

Enhanced linear perturbation displacements 𝛤* for an open-section thin-walled beam: torsion and in-plane distortion modes

정사각형 단면(Fig. 3, 4)과 개단면 박판 보(Fig. 5, 6, 7)의 결과를 비교하면, 변분 사영으로 생성되는 섭동 모드의 구조가 단면의 기하학적 특성에 따라 자동으로 적응함을 알 수 있다. 주의할 점은 새로운 섭동 변위의 계산을 위해서는 직교 조건식 (25)를 추가된 섭동 변위를 포함하도록 갱신해야 한다는 것이다. 이는 Fig. 5의 면외 비틀림 섭동 변위가 Fig. 7의 면내 두께 방향 고차 섭동 변위로 바뀌는 것으로 확인할 수 있다.

4. 결 론

본 연구에서는 보 이론의 비선형 기하학적 구조를 변분 사영 관점에서 재해석하고, 공회전(CR) 정식화와 내재적 보 이론 간의 구조적 관계를 규명하였다. 두 접근법은 서로 다른 형식으로 발전해 왔으나, 동일한 연속체 기반 위에서 공통의 기하학적 구조를 공유함을 확인하였다.

분석의 핵심 결과는 다음과 같다. 첫째, 곡률 벡터와 단면 위치의 결합으로부터 유도되는 비틀림-축력 결합 항은 좌표계 선택과 무관한 내재적 구조로서, 두 정식화를 관통하는 핵심 기하학 성분임을 밝혔다. 둘째, 일부 비선형 항은 변수 선택과 사영 방식에 따라 표현 형태가 달라질 뿐이며, 두 이론의 차이는 본질적 차이가 아닌 표현의 차이임을 확인하였다. 셋째, 변분 섭동법을 적용한 공회전 좌표계 기반의 국소 비선형 보 모델을 제안하고, 단면 섭동 변위를 체계적으로 결정하는 방법을 제시하였다. 제안된 정식화는 와그너 효과와 블라소프 비틀림을 별도의 가정이나 보정 없이 자연스럽게 포함하며, 공회전 정식화의 계산 효율성과 내재적 정식화의 기하학적 일관성을 단일 틀 안에 결합한다.

향후 본 방법론을 다양한 복합재료 박판 보 및 복잡 단면 구조에 적용하여 정식화의 정확성과 확장 가능성을 수치적으로 검증할 예정이다.

Acknowledgements

이 연구는 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단(RS-2025-16072142)과 2026년도 교육부 및 경상북도의 재원으로 경북RISE센터의 지원을 받아 수행된 지역혁신중심 대학지원체계(RISE)-(지역성장 혁신LAB)의 결과입니다(2026-rise-15-105).

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

Preview

Nonlinear Structure of Co-rotational and Intrinsic Beam Theories from a Variational Projection Perspective

ABSTRACT

MAIN

(1)

Fig. 1.

Reference and deformed configurations and their coordinate systems in the co-rotational formulation

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Table 1.

Moving frame in CR and intrinsic formulation

(8)

(9)

Fig. 2.

Deformed coordinate systems: (a) intrinsic formulation, (b) co-rotational formulation

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

Fig. 3.

Linear perturbation displacements 𝛤 for a beam with a square cross-section: extension, two shear, torsion, and two bending modes

Fig. 4.

Nonlinear perturbation displacements 𝛤N for a beam with a square cross-section: membrane, bending-torsion coupling, and Wagner nonlinear modes

Fig. 5.

Linear perturbation displacements 𝛤 for an open-section thin-walled beam: extension, two shear, torsion, and two bending modes

Fig. 6.

Nonlinear perturbation displacements 𝛤N for an open -section thin-walled beam: membrane, bending-torsion coupling, and Wagner nonlinear modes

Fig. 7.

Enhanced linear perturbation displacements 𝛤* for an open-section thin-walled beam: torsion and in-plane distortion modes

Acknowledgements

References