2.1 동적 불안정 해석

3차원 전단변형이론을 이용한 단순지지 S형상 점진기능재료 판의 동적 불안정 해석을 위해 중립면의 변위를 식 (1)과 같이 이중 푸리에 급수를 이용하여 가정하였다. 4변이 단순 지지된 경우에 Navier 방법으로 해석적 결과를 구할 수 있다.

$\mathit{\text{υ}}=\underset{m=1}{\overset{\text{∞}}{\sum }}\underset{n=1}{\overset{\text{∞}}{\sum }}{\mathit{\text{V}}}_{mn}\left(t\right)\text{sinγxcosδy}$

$\mathit{\text{w}}=\underset{m=1}{\overset{\text{∞}}{\sum }}\underset{n=1}{\overset{\text{∞}}{\sum }}{\mathit{\text{W}}}_{mn}\left(t\right)\text{sinγxsinδy}$

${\mathit{\text{∅}}}_x=\underset{m=1}{\overset{\text{∞}}{\sum }}\underset{n=1}{\overset{\text{∞}}{\sum }}{\mathit{\text{X}}}_{mn}\left(t\right)\text{cosγxsinδy}$

${\mathit{\text{∅}}}_y=\underset{m=1}{\overset{\text{∞}}{\sum }}\underset{n=1}{\overset{\text{∞}}{\sum }}{\mathit{\text{Y}}}_{mn}\left(t\right)\text{sinγxcosδy}$

여기서, γ=mπ/a, δ=nπ/b, 이다.

S형상 점진기능재료 판의 지배방정식은 식 (2)와 같은 행렬 형태로 구할 수 있다.

여기서, [S]는 강성행렬, [G]는 기하강성행렬 그리고 [M]은 질량행렬이고 {∆}는 미지의 변위 함수 벡터이다.

무차원 축방향 여기하중 P_x(t)는 좌굴하중 (P_cr)을 이용하여 식 (3)으로 표현된다.

여기서, α는 정적 하중 계수이고 β는 동적 하중 계수이다. 또한 ω는 여기진동수이다.

무차원 축방향 압축 여기하중 P_x(t)를 식 (2)에 대입하면 식 (4)와 같은 S형상 점진기능재료 판의 동적 지배방정식을 구할 수 있다.

식 (4)는 동적 불안정 해석을 위한 Mathieu-Hill 방정식이다. 식 (4)에서 좌굴하중 (P_cr)을 무시하면 고유진동수를 구하는 고유치 문제가 되고 질량행렬과 조화함수 항을 무시하면 좌굴하중을 구하는 고유치문제가 된다.

식 (4)에서 동적 하중 계수와 여기진동수와의 관계를 구하기 위해 Bolotin의 방법을 적용하면 식 (5)을 구할 수 있다.

여기서, ₁은 일차 가정 공명 진동수이다.

식 (5)에서 정적 하중 계수 α 및 동적 하중 계수 β에 따른 고유치를 구할 수 있고 동적 하중 계수와 여기진동수 평면에서 동적 불안정 영역을 구할 수 있다.

2.2 Pasternak탄성지반 모델

2개의 매개변수를 갖는 탄성지반위에 놓인 점진기능재료 판은 Fig. 1과 같다. 점진기능재료 판과 탄성지반은 화학적 결합을 하였다고 가정한다. 수직방향 압력과 전단변형을 고려한 Pasternak 탄성지반 모델을 적용하였다. 수직방향 압력은 등가스프링으로 가정하였고 비압축성 전단층이 전단변형에 저항하는 것으로 가정하였다. 이러한 Pasternak탄성지반의 저항은 식 (6)으로 나타낼 수 있다.

Figure 1

Elastic foundation model of FGM plate

여기서, , 그리고 는 Winkler 지반 계수 그리고 전단 지반계수를 의미한다. 탄성지반 효과로 인해 추가되는 가상 변형에너지는 식 (7)과 같다.

2.3 S형상 점진기능재료 판의 재료특성

재료의 구성성분을 연속적으로 변화시켜 점진기능재료를 제작하게 된다. 점진기능재료의 특징은 연속적으로 등급화된 성질을 가지는 비균질 미세구조라는 것이다. 점진기능재료는 체적요소의 변화에 의해 정의되고 거듭제곱 함수, 지수함수, 혹은 체적요소를 나타내는 S형상 함수를 사용한다.

본 연구에서는 접촉면의 응력집중을 피하기 위해 S형상 함수를 사용하였다. 응력의 완만한 분포를 확보하기 위해 2개의 거듭제곱 함수를 이용한 체적요소를 식 (8)로 정의할 수 있다.

여기서, h는 S형상 점진기능재료 판의 두께이고 p는 거듭제곱 지수이다.

혼합법칙을 사용하여, S형상 점진기능재료의 재료성질은 식 (9)와 같이 계산할 수 있다.

$for0\le z\le h/2$

$for-h/2\le z\le 0$

여기서, G₁과 G₂는 각각 판의 상면과 하면의 재료성질이다.

식 (9a)와 (9b)에서 체적요소의 변화가 S형상 분포를 나타낸다. 이러한 점진기능재료 구조물을 S형상 점진기능재료 구조물이라고 한다. 탄성 직사각형을 판을 고려하였을 때 위층과 아래층 면에서 재료의 성질, 탄성계수와 포아송 비는 다르게 정의되지만 요구되는 성능에 따라 미리 규정된 값이다. 그러나 두께방향(z-축)으로 판의 탄성계수, 밀도와 포아송 비는 연속적으로 변하는 것으로 가정할 수 있다. 즉, E=E(z), ρ=ρ(z) 이며 식 (10)과 같이 표현할 수 있다.

$for\text{ 0}\le z\le h/2$

$for-\text{h}/\text{2}\le z\le 0$

여기서, 아래첨자 t는 상면을 의미하고 b는 하면을 의미한다. 포아송 비의 변화는 무시할 수 있을 정도로 작으므로 상수로 가정한다(Chung and Chi., 2001).

2.4 S형상 점진기능재료 판의 구성방정식

S형상 점진기능재료 판의 구성방정식은 식 (11)과 같다.

S형상 점진기능재료 판의 합응력은 식 (12)와 같다.

여기서,

$\left[{\int }_{-h/2}^0{z}^{\left(k\right)}{\mathit{\text{E}}}_b\right(z)dz+{\int }_0^{h/2}{z}^{\left(k\right)}{\mathit{\text{E}}}_t(z\left)dz\right]$

${\mathit{\text{A}}}_{12}^{\left(k\right)}=\frac{v}{(1-v^2)}\left[{\int }_{-h/2}^0{z}^{\left(k\right)}{\mathit{\text{E}}}_b\right(z)dz+{\int }_0^{h/2}{z}^{\left(k\right)}{\mathit{\text{E}}}_t(z\left)dz\right]$

${\mathit{\text{B}}}_{11}^{\left(k\right)}=\frac{v}{2(1+v)}\left[{\int }_{-h/2}^0{z}^{\left(k\right)}{\mathit{\text{E}}}_b\right(z)dz+{\int }_0^{h/2}{z}^{\left(k\right)}{\mathit{\text{E}}}_t(z\left)dz\right]$

2.5 3차원 전단변형 이론

고차 전단변형이 고려된 변위장은 식 (14)로 나타낼 수 있다.

$u_y=\mathit{\text{υ}}-z\frac{\partial w}{\partial y}+\mathit{\text{H}}\left(z\right){\mathit{\text{θ}}}_y$

$u_z=w$

여기서, u, ν는 판의 중립면(z=0)의 한 점에서의 면내 변위들이고, ω는 수직방향 변위이고 θ_x, θ_y는 전단변형 각이다. 그리고 H(z)는 두께방향으로 전단변형률과 전단응력 분포의 변화를 결정하는 형상함수이다. 고전적 판 이론의 변위장은 H(z)=0인 경우이고 일차전단변형이론의 변위장은 H(z) = z인 경우이다.

식 (14)은 식 (15)로 나타낼 수 있다.

$u_y=\mathit{\text{υ}}-z\frac{\partial w}{\partial y}+\mathit{\text{H}}\left(z\right)({\mathit{\text{∅}}}_y+\frac{\partial w}{\partial y})$

$u_z=w$

여기서,

식 (15)에서 형상함수 을 판의 상면과 하면에서 전단응력이 0이 된다는 조건을 만족하는 식 (17)로 가정한다.

2.6 S형상 점진기능재료 판의 평형방정식

Hamilton(Reddy, 2004)의 가상변위의 원리에서 판 이론에 의한 동적 평형방정식을 식 (18)과 같이 구할 수 있다.

식 (18)에 면내력 등을 대입하고 부분적분 하면 식 (19)-(23)과 같은 동적 평형방정식을 얻을 수 있다.

$+c_1({\mathit{\text{M}}}_{xx,xx}^{\left(3\right)}+{\mathit{\text{M}}}_{yy,yy}^{\left(3\right)}{+\mathit{\text{2M}}}_{xy,xy}^{\left(3\right)})+{\mathit{\text{N}}}_x{\left(t\right)}_{,xx}$

$-\stackrel{-}{k_{\mathit{\text{W}}}}w+\stackrel{-}{k_{\mathit{\text{P}}}}{\nabla }^2\text{w}={\mathit{\text{I}}}_0\stackrel{..}{\mathit{\text{w}}}+c_1{\mathit{\text{I}}}_4(\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_{x,x}}+\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_{y,y}})$

$-c_1^2{\mathit{\text{I}}}_6(\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_{x,x}}+\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_{y,y}}+\stackrel{..}{{\mathit{\text{w}}}_{,xx}}+\stackrel{..}{w_{,yy}})$

$-{\mathit{\text{M}}}_{zx}^{\left(0\right)}+c_2({\mathit{\text{M}}}_{zx}^{\left(2\right)}={\mathit{\text{I}}}_2\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_x}-c_1{\mathit{\text{I}}}_4(\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_x}+\stackrel{..}{{\mathit{\text{w}}}_{,x}})$

$-c_1({\mathit{\text{I}}}_4\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_x}-c_1{\mathit{\text{I}}}_6(\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_x}+\stackrel{..}{{\mathit{\text{w}}}_{,x}}\left)\right)$

$-{\mathit{\text{M}}}_{zy}^{\left(0\right)}+c_2{\mathit{\text{M}}}_{zy}^{\left(2\right)}={\mathit{\text{I}}}_2\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_y}-c_1{\mathit{\text{I}}}_4(\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_y}+\stackrel{..}{w_{,y}})$

$-c_1({\mathit{\text{I}}}_4\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_y}-c_1{\mathit{\text{I}}}_6(\stackrel{..}{{\mathit{\text{∅}}}_y}+\stackrel{..}{w_{,y}}\left)\right)$

여기서,

, , 그리고 c₂ = 3c₁이다.

3.1 해석결과 검증

본 연구에서 제안한 고차전단변형을 고려한 판의 동적 불안정 특성에 관한 이론의 정확성을 증명하기 위하여 적층복합판의 해석결과(Dey et al., 2006)와 비교하였다. 적층복합판의 재료 성질은 식 (24)와 같다.

Figure 2

Dynamic instability region of laminated composite plate

${\mathit{\text{G}}}_{\mathit{\text{LT}}}=0.6{\mathit{\text{E}}}_{\mathit{\text{T}}},{\mathit{\text{υ}}}_{\mathit{\text{LT}}}=0.25$

여기서, E,G 그리고 υ는 탄성계수, 전단탄성계수 그리고 포아송 비를 나타내고 L과 T는 강섬유의 길이방향과 수직방향을 의미한다.

적층복합판은 (0°/90°/90°/0°)로 적층되어 있고 폭-두께 비(a/h)는 25, 정적 하중 계수(α)는 0 인 경우이다. 동적 하중 계수(β)와 무차원 여기진동수(기저 고유진동수)의 관계를 Fig. 2에 나타내었다. 본 연구의 동적 불안정 영역은 참고문헌의 결과와 잘 일치함을 알 수 있었다.

3.2 S형상 점진기능재료 판의 동적 불안정 해석

S형상 점진기능재료 판의 재료 성질은 식 (25)와 같다.

${\mathit{\text{ρ}}}_{\text{1}}=12.2\times {10}^3\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^3,{\mathit{\text{ρ}}}_2=12.2\times {10}^3\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^3$

$\mathit{\text{υ}}=0.38,\mathrm{}h=17.6\times {10}^{-6}\mathrm{m}$

탄성지반계수의 무차원화는 식 (26)을 이용한다.

무차원 여기진동수는 식 (27)로 가정한다.

정적 하중 계수의 변화에 따른 동적 불안정 영역을 Fig. 3에 나타내었다. 정적 하중 계수가 커질수록 동적 불안정 영역이 커짐을 알 수 있었고 정적 하중 계수가 0.5일 때 동적 하중 계수가 1이 되면 무차원 여기 진동수가 0이 되는 것을 알 수 있다.

Figure 3

Dynamic instability region of sigmoid functionally graded material plate(p=1.0)

Fig. 4에서는 정적 하중 계수가 0.5일 때 거듭제곱 지수의 변화에 따른 동적 불안정 영역에 대해서 검토하였다. 거듭제곱지수가 증가할수록 여기 진동수가 감소하였다.

Winkler 탄성지반계수의 변화에 따른 동적 불안정 해석 결과를 Fig. 5에 나타내었다. 정적 하중 계수는 0.5이고 거듭제곱 지수는 10인 경우를 선택하였다. 예상대로 탄성지반계수의 증가에 따라 여기 진동수가 증가되었다. 또한 탄성지반계수의 증가가 동적 불안정 영역을 증가시키는 것을 알 수 있었다.

Figure 4

Dynamic instability region of sigmoid functionally graded material plate(α=0.5)

Figure 5

Dynamic instability region of sigmoid functionally graded material plate(k_p=0, α=0.5, p=10.0)

Fig. 6 은 Pasternak 탄성지반계수가 동적 불안정 영역에 미치는 영향을 나타내었다. 정적 하중 계수는 0.5이고 거듭제곱 지수는 10인 경우를 선택하였다. Winkler 탄성지반계수에 비해 상대적으로 점진기능재료 판의 동적 불안정에 미치는 영향이 더 크다는 것을 알 수 있었다.

Figure 6

Dynamic instability region of sigmoid functionally graded material plate(k_p=0, α=0.5, p=10.0)

Figure 7

Dynamic instability region of sigmoid functionally graded material plate(k_w=5000, α=0.5, p=10.0)

Winkler 탄성지반계수를 5000으로 고정하였을 때 Pasternak 탄성지반계수의 변화에 따른 동적 불안정 해석결과를 Fig. 7에 나타내었다. 정적 하중 계수는 0.5이고 거듭제곱 지수는 10인 경우를 선택하였다. Pasternak 탄성지반계수가 0인 경우에 비하여 Pasternak 탄성지반계수가 500인 경우 약 60%의 여기 진동수 증가를 유발하였다.

Winkler 탄성지반계수가 5000이고 Pasternak 탄성지반계수가 500인 경우에 정적 하중 계수의 변화에 따른 동적 불안정 해석결과를 Fig. 8에 나타내었다. 거듭제곱 지수는 10인 경우를 선택하였다. 탄성지반 계수의 효과가 고려되지 않은 경우와 전체적인 결과의 분포는 비슷한 형상을 나타내었다. 그러나 여기 진동수가 3.2배 증가하였고 정적 하중 계수의 증가는 동적 불안정 영역을 증대시키며 좌표 원점으로 이동시키는 것을 알 수 있었다. 본 예제는 탄성지반 효과가 동적 불안정 영역에 미치는 정확한 비교자료가 될 수 있을 것으로 판단된다. 또한 탄성지반 효과가 고려되지 않은 경우와 마찬가지고 정적 하중 계수가 0.5일 때 동적 하중 계수가 1이 되면 무차원 여기 진동수가 0이 되는 것을 알 수 있다.

Figure 8

Dynamic instability region of sigmoid functionally graded material plate(k_w=5000, k_p=500, p=10.0)