Earthquake Response Analysis of Cylindrical Liquid-Storage Tanks Considering Nonlinear Fluid-Structure Soil Interactions

Jin Ho Lee; Jeong-Rae Cho

doi:10.7734/COSEIK.2024.37.2.133

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Research Paper

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 30 April 2024. 133-141
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2024.37.2.133

Earthquake Response Analysis of Cylindrical Liquid-Storage Tanks Considering Nonlinear Fluid-Structure Soil Interactions

비선형 유체-구조물-지반 상호작용 고려한 원통형 액체저장탱크의 지진응답해석

Jin Ho Lee¹^*

Jeong-Rae Cho²

이 진호¹^*

조 정래²

¹Associate professor, Department of Ocean Engineering, Pukyong National University, Busan, 48513, Korea

²Senior Research Fellow, Department of Structural Engineering Research･Urban Disaster Research Cluster, Korea Institute of Civil Engineering and Building Technology, Goyang, 10223, Korea

¹부경대학교 해양공학과 부교수

²한국건설기술연구원 구조연구본부･도시재해재난클러스터 선임연구위원

^{*Corresponding Author}

ABSTRACT

Considering fluid–structure–soil interactions, a finite-element model for a liquid-storage tank is presented and the nonlinear earthquake response analysis is formulated. The tank structure is modeled considering shell elements with geometric and material nonlinearities. The fluid is represented by acoustic elements and combined with the structure using interface elements. To consider the soil–structure interactions, the near- and far-field regions of soil are modeled with solid elements and perfectly matched discrete layers, respectively. This approach is applied to the seismic fragility analysis of a 200,000 kL liquid-storage tank. The fragility curve is observed to be influenced by the amplification and filtering of rock outcrop motions at the site when the soil–structure interactions are considered.

Keywords

cylindrical liquid-storage tank

fluid-structure interaction

soil-structure interaction

nonlinear earthquake response

seismic fragility

유체-구조물-지반 상호작용을 고려한 액체저장탱크의 유한요소 모형을 제시하고, 비선형 지진응답 해석기법을 정식화한다. 탱크 구조물은 기하 및 재료 비선형 거동을 고려할 수 있는 쉘 요소로 모델링한다. 유체의 거동은 acoustic 요소로 구현하고, interface 요소를 사용하여 구조물과 결합한다. 지반-구조물 상호작용을 고려하기 위해 지반의 근역과 원역을 각각 solid 요소와 perfectly matched discrete layer로 모델링한다. 예제 20만 kl급 액체저장탱크의 지진취약도 해석에 적용하여, 유연한 지반에 구조물이 놓인 경우 부지에서의 암반노두운동의 증폭 및 필터링으로 인해 지진취약도의 중앙값과 대수 표준편차가 감소하는 것을 관찰할 수 있다.

키워드

원통형 액체저장탱크

유체-구조물 상호작용

지반-구조물 상호작용

비선형 지진응답

지진취약도

MAIN

1. 서 론
2. 비선형 유체-구조물-지반 상호작용 해석기법
3. 적 용
4. 결 론

1. 서 론

원통형 액체저장탱크는 다양한 유체를 저장하기 때문에 현대 사회와 산업에서 없어서는 안 될 필수 인프라이다. 그러나 지진으로 피해를 입게 되면 환경에 부정적인 영향을 미치며 사회와 산업에 심각한 피해를 줄 수 있다. 최악의 경우 화재를 포함한 직접적인 피해 및 2차 피해로 인명 피해가 발생할 수 있다. 따라서, 강진이 발생하는 경우에도 원통형 액체저장탱크의 안전성이 확보되어야 한다. 그러나 과거 지진 동안 지반운동에 의해 크게 파손된 것으로 관찰되었다(Hamdan, 2000). 따라서, 원통형 액체저장탱크의 동적 거동을 밝히고 내진 안전성을 향상시키기 위해 많은 연구가 수행되었다. Housner의 선구적인 연구에서 강체 지반에 완전히 고정되고 수평 지반운동이 작용하는 강체 탱크의 충격 및 대류 동수압력에 대한 단순화된 공식이 제안되었다(Housner, 1957). 유연한 지반에서 변형 가능한 원통형 액체저장탱크의 동적 거동에 대한 이론 및 실험적 조사가 수행되기도 하였다(Haroun, 1980; Veletsos and Tang, 1990; Yang, 1976). 지진지반운동이 작용하는 완전히 정착된 탱크에 대한 연구들을 기반으로 대상 시스템의 내진설계를 위한 간단한 질량-스프링 모델이 도출되었다(Haroun and Housner, 1981; Veletsos, 1984).

진원에서 발생한 지진파는 액체저장탱크가 설치된 부지까지 전파되고, 이 지진파는 기초를 통하여 내부액체에 전달되어 이를 유동시키게 된다. 내부액체의 유동은 역으로 구조물의 진동에 영향을 주게 된다. 이러한 현상을 유체-구조물 상호작용이라고 한다. 구조물의 강성이 클 경우에는 구조물이 실제적으로 강체로 거동하므로 유체-구조물 상호작용을 고려하지 않으나, 그렇지 않을 경우에는 유체-구조물 상호작용이 구조물의 진동 및 저장액체의 유동에 미치는 영향을 반드시 고려하여야 한다(Kim et al., 1996; Koh et al., 1998; Lee and Lee, 2020; Park et al., 2000).

한편, 구조물이 놓여 있는 지반의 유연성은 구조물 기초의 동특성을 변화시켜 상부 구조물의 동적 거동에 영향을 주게 된다. 영향을 받은 상부 구조물의 동적 거동은 역으로 지반 진동에 영향을 주게 되어, 기초를 통하여 전달된 지진지반운동의 크기와 진동수 특성을 변화시키게 된다. 이와 같이 지반과 구조물의 동적 거동이 서로 영향을 주고 받는 현상을 지반-구조물 상호작용이라고 한다. 액체저장탱크와 같이 중량이 큰 구조물이 유연한 지반에 놓인 경우에는 지반-구조물 상호작용의 효과를 무시할 수 없다(Kim et al., 1998a; 1998b; Lee et al., 2016a; 2016b).

이상과 같이 액체저장탱크의 지진 거동은 유체-구조물-지반 상호작용에 의해 복잡하게 나타나므로, 이 시스템의 지진응답과 피해를 정확하게 예측하기 위해서는 이와 같은 현상을 엄밀히 고려하여야 한다. 그런데 유연한 지반에 놓인 액체저장탱크는 다양한 비선형 거동이 발생할 수 있다는 점에 유의해야 한다. 탱크 구조물의 재료 및 기하 비선형 거동과 좌굴, 저장액체 자유표면에서의 과도한 출렁임, 하부 지반에서의 비선형 재료 거동과 파괴, 구조물과 지반 간의 경계면에서의 비선형 경계조건(구조물 기초의 부분적 들림, 미끄러짐, 분리 현상 등)과 같은 다양한 비선형 거동이 발생할 수 있다. 그러므로 액체저장탱크의 내진 성능을 평가하기 위해서는 이와 같은 다양한 비선형 거동을 엄밀히 고려할 수 있어야 할 것이다.

이 연구에서는 유연한 지반에 놓인 원통형 액체저장탱크의 비선형 지진응답해석을 수행하고, 이로부터 대상 시스템의 지진취약도를 정밀히 평가하고자 한다. 이를 위해 유체-구조물-지반 상호작용을 엄밀히 고려한 원통형 액체저장탱크의 유한요소 모형을 제시하고 비선형 지진응답 해석기법을 정식화한다. 이를 사용하여 다양한 지진지반운동이 작용하는 예제 200,000 kl급 액체저장탱크의 지진응답을 산정하고 지진취약도를 정밀히 평가한다.

2. 비선형 유체-구조물-지반 상호작용 해석기법

유연한 지반에 놓인 액체저장탱크의 유체-구조물-지반 상호작용을 고려한 지배방정식을 유도한다. 일반적으로 액체저장탱크는 층상 반무한 지반이나 기반암을 가지는 층상 지반에 위치하게 된다. 이때 지반은 Fig. 1과 같이 근역과 원역의 두 개의 부분으로 나눌 수 있다. 근역은 불규칙한 기하형상과 비균질한 재료성질을 가질 수 있지만, 원역은 무한한 방향으로 그 형상이 규칙적이고 균질한 선형 재료를 가지고 있다고 가정한다. 지반 근역은 유한요소를 사용하여 그 거동을 모사할 수 있다. 그러므로 유한요소 기법을 사용하여 탱크 구조물과 지반 근역에 대한 이산화된 운동방정식을 다음과 같이 얻을 수 있다(Bathe, 2014).

(1)

\begin{aligned} [\begin{matrix} M_{s s} M_{s b} \\ M_{b s} M_{b b} \end{matrix}] \{\begin{matrix} {\ddot{U}}_{s} \\ {\ddot{U}}_{b} \end{matrix}\} + [\begin{matrix} C_{s s} C_{s b} \\ C_{b s} C_{b b} \end{matrix}] \{\begin{matrix} {\dot{U}}_{s} \\ {\dot{U}}_{b} \end{matrix}\} + \{\begin{matrix} F_{s}^{i n t} (U, \dot{U}) \\ F_{b}^{i n t} (U, \dot{U}) \end{matrix}\} \\ = \{\begin{array}{c} F_{s}^{liquid} \\ 0 \end{array}\} + {\begin{array}{c} 0 \\ F_{b}^{soil} \end{array}} \end{aligned}

여기서, M과 C는 각각 구조물과 지반 근역의 질량 및 감쇠 행렬, $F^{int} (U, \dot{U})$ 는 재료 비선형과 기하 비선형을 고려한 내력, U(t)는 구조물과 지반 근역의 전체 변위, $F^{l i q u i d} (t)$ 와 $F^{s o i l} (t)$ 은 각각 저장액체의 유체력 및 구조물-지반 근역과 지반 원역간의 상호작용력이다. 아래 첨자 s는 지반 원역과 접하지 않는 구조물과 지반 근역 절점의 자유도를, 아래 첨자 b는 지반 원역과 접하고 있는 절점의 자유도를 각각 나타낸다.

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Fig. 1.

Soil-structure interaction system

저장액체에 의한 유체력 $F^{l i q u i d} (t)$ 을 결정하기 위해 유한요소기법을 사용하여 유체 운동방정식의 해를 얻는다(Cook et al., 2002). 탱크에 담긴 액체는 비압축성 비점성 이상유체로 가정한 저장 액체에 의한 동수압은 다음과 같이 얻어진다.

(2a)

G^{f s} \ddot{P} + HP = Q

(2b)

G^{f s} = \frac{1}{g} \int N^{T} N d S

(2c)

H = \int B^{T} B d V

(2d)

B = {[\frac{\partial N}{\partial x} \frac{\partial N}{\partial y} \frac{\partial N}{\partial z}]}^{T}

(2e)

Q = - ρ S \ddot{U}

(2f)

S = \int N^{T} ν N_{S} d S

여기서, $P (t)$ 는 유체의 동수압, $N (x, y, z)$ 은 유체의 형상함수, $N_{S} (x, y, z)$ 는 구조물의 형상함수, 𝜈는 외향 단위 법선 벡터, $\ddot{U} (t)$ 는 구조물의 전체 가속도이다. 자유표면 조건으로부터 얻어지는 $G^{f s}$ 는 자유표면에 위치한 요소에 대해서만 계산된다. 식 (2f)에서 S는 유체와 탱크 구조물 간의 경계 요소를 나타낸다. 식 (1)의 유체력 $F^{l i q u i d} (t)$ 는 동수압 $P (t)$ 를 사용하여 얻을 수 있다.

(3)

F^{hyd} = \int N_{S}^{T} ν^{T} N dS P = S^{T} P

Fig. 1에 보인 바와 같이 지반 근역은 유한요소를 사용하여 모사할 수 있지만, 원역은 무한 영역으로의 에너지 방사를 고려할 수 있는 수치모형을 필요로 한다. 이를 위해 다양한 방법이 개발되었는데, 이 연구에서는 perfectly matched discrete layer(PMDL)을 사용하여 지반 원역을 모사하고자 한다(Lee et al., 2014; 2016a; 2016b; Lee and Tassoulas, 2011). PMDL은 사용자가 원하는 수준으로 정확도를 조절할 수 있고 유한요소법과 결합하기가 용이하기 때문이다. 지반 원역의 PMDL 모형을 사용하여 지반 근역과 원역 간의 상호작용력 $F^{s o i l} (t)$ 를 산정한다. Fig. 1(b)에 보인 바와 같이, 일반적으로 반무한 지반을 나타내기 위하여 세 가지 종류의 PMDL을 사용한다. 한 방향으로만 무한한 영역을 나타내기 위한 ${PMDL}_{i}$ , 두 방향으로 무한한 영역을 나타내기 위한 ${PMDL}_{i j}$ , 그리고 세 방향으로 모두 무한한 영역을 나타내기 위한 () ${PMDL}_{i j k}$ 를 사용하여 반무한 지반을 나타낸다. 여기서는 근역의 두 개의 수직 경계면과 한 개의 수평 경계면이 수직을 이루고 있다고 가정한다. 그렇기 때문에 세 가지 종류의 PMDL은 모두 직사각형 형태이고, 예시로 이력감쇠비 𝜂의 점탄성 지반의 ${PMDL}_{x}$ , ${PMDL}_{x y}$ , ${PMDL}_{x y z}$ 에 대한 동적 강성을 다음과 같이 얻을 수 있다.

(4a)

\begin{aligned} S_{x} = & i ω (1 + i η) C_{x}^{s} + i ω C_{x}^{m} + (1 + i η) K_{x} + \frac{1 + i η}{i ω} R_{x} \\ \approx & i ω C_{x}^{s} + i ω C_{x}^{m} + K_{x} + \frac{1}{i ω} R_{x} \\ - ω^{2} \frac{η}{ω_{0}} C_{x}^{s} + i ω \frac{η}{ω_{0}} K_{x} + \frac{η}{ω_{0}} R_{x} \end{aligned}

(4b)

\begin{aligned} S_{x y} = & (1 + i η) K_{x y}^{s} + K_{x y}^{m} + \frac{1 + i η}{i ω} R_{x y} - \frac{1 + i η}{ω^{2}} T_{x y} \\ \approx & K_{x y}^{s} + K_{x y}^{m} + \frac{1}{i ω} R_{x y} - \frac{1}{ω^{2}} T_{x y} + i ω \frac{η}{ω_{0}} K_{x y}^{s} \\ + \frac{η}{ω_{0}} R_{x y} + \frac{1}{i ω} \frac{η}{ω_{0}} T_{x y} \end{aligned}

(4c)

S_{x y z} = \frac{1 + i η}{i ω} R_{x y z}^{s} + \frac{1}{i ω} R_{x y z}^{m} \approx \frac{1}{i ω} R_{x y z}^{s} + \frac{1}{i ω} R_{x y z}^{m} + \frac{η}{ω_{0}} R_{x y z}^{s}

여기서, 각각의 요소 행렬은 Lee 등(2016a)에 정의되어 있다. 식 (4)로부터 지반과 구조물 간의 상호작용력 $F^{s o i l} (t)$ 를 다음과 같이 표현할 수 있다.

(5)

\begin{aligned} \{\begin{array}{c} F_{b}^{soil} \\ 0 \end{array}\}} = & - [\begin{matrix} M_{b b}^{f} M_{b e}^{f} \\ M_{e b}^{f} M_{e e}^{f} \end{matrix}] \{\begin{array}{c} {\ddot{U}}_{b} - {\ddot{U}}_{b}^{*} \\ {\ddot{U}}_{e} \end{array}\} - [\begin{array}{c} C_{b b}^{f} C_{b e}^{f} \\ C_{e b}^{f} C_{e e}^{f} \end{array}] \{\begin{array}{c} {\dot{U}}_{b} - {\dot{U}}_{b}^{*} \\ {\dot{U}}_{e} \end{array}\} \\ - [\begin{array}{c} K_{b b}^{f} K_{b e}^{f} \\ K_{e b}^{f} K_{e e}^{f} \end{array}] \{\begin{array}{c} U_{b} - U_{b}^{*} \\ U_{e} \end{array}\} - [\begin{array}{c} R_{b b}^{f} R_{b e}^{f} \\ R_{e b}^{f} R_{e e}^{f} \end{array}] \{\begin{array}{c} W_{b} - W_{b}^{*} \\ W_{e} \end{array}\} \\ - [\begin{array}{c} T_{b b}^{f} T_{b e}^{f} \\ T_{e b}^{f} T_{e e}^{f} \end{array}] \{\begin{array}{c} X_{b} - X_{b}^{*} \\ X_{e} \end{array}\} + \{\begin{array}{c} - P_{b}^{*} \\ 0 \end{array}\} \end{aligned}

여기서, $M^{f}$ , $C^{f}$ , $K^{f}$ , $R^{f}$ , $T^{f}$ 는 PMDL로 나타낸 지반 원역에 관한 식 (4)에 주어진 각각의 행렬을 나타내고, $W (t) = \int_{0}^{t} U (τ) d τ, X (t) = \int_{0}^{t} W (τ) d τ = \int_{0}^{t} \int_{0}^{τ} U (σ) d σ d τ$ 이다. 식 (5)에서 아래첨자 b와 e는 각각 지반 근역과 원역의 경계에 존재하는 절점, 원역의 PMDL에만 존재하는 절점을 의미한다. ${\ddot{U}}_{b}^{*} (t)$ 등과 $P_{b}^{*} (t)$ 는 입사 지진파에 의한 자유장 운동과 이로부터 얻어지는 절점력을 나타낸다.

식 (1), (2), (3), (5)로부터 비선형 지반-구조물 상호작용계의 최종 운동방정식을 아래 식 (6)과 같이 얻을 수 있다.

식 (6)을 풀어서, 지반-구조물 상호작용계의 비선형 응답을 계산할 수 있다.

(6a)

\begin{array}{l} [\begin{matrix} M_{s s} & M_{s b} & 0 & 0 \\ M_{b s} & M_{b b} + M_{b b}^{f} & M_{b e}^{f} & 0 \\ 0 & M_{e b}^{f} & M_{e e}^{f} & 0 \\ ρ S_{s} & ρ S_{b} & 0 & G^{f s} \end{matrix}] \{\begin{matrix} {\ddot{U}}_{s} \\ {\ddot{U}}_{b} \\ {\ddot{U}}_{e} \\ \ddot{P} \end{matrix}\} + [\begin{matrix} C_{s s} & C_{s b} & 0 & 0 \\ C_{b s} & C_{b b} + C_{b b}^{f} & C_{b e}^{f} & 0 \\ 0 & C_{e b}^{f} & C_{e e}^{f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \{\begin{matrix} {\dot{U}}_{s} \\ {\dot{U}}_{b} \\ {\dot{U}}_{e} \\ \dot{P} \end{matrix}\} + \{\begin{matrix} F_{s}^{i n t} (U, \dot{U}) \\ F_{b}^{i n t} (U, \dot{U}) \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\} \\ + [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - S_{s}^{T} \\ 0 & K_{b b}^{f} & K_{b e}^{f} & - S_{b}^{T} \\ 0 & K_{e b}^{f} & K_{e e}^{f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & H \end{matrix}] \{\begin{matrix} U_{s} \\ U_{b} \\ U_{e} \\ P \end{matrix}\} + [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_{b b}^{f} & R_{b e}^{f} & 0 \\ 0 & R_{e b}^{f} & R_{e e}^{f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} W_{s} \\ W_{b} \\ W_{e} \\ \int_{0}^{t} P (τ) d τ \end{matrix}\} + [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & T_{b b}^{f} & T_{b e}^{f} & 0 \\ 0 & T_{e b}^{f} & T_{e e}^{f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{s} \\ X_{b} \\ X_{e} \\ \int_{0}^{t} \int_{0}^{τ} P (σ) d σ d τ \end{matrix}\} \\ = \{\begin{matrix} 0 \\ M_{b b}^{f} {\ddot{U}}_{b}^{*} \\ M_{e b}^{f} {\ddot{U}}_{b}^{*} \\ 0 \end{matrix}\} + \{\begin{matrix} 0 \\ C_{b b}^{f} {\dot{U}}_{b}^{*} \\ C_{e b}^{f} {\dot{U}}_{b}^{*} \\ 0 \end{matrix}\} + \{\begin{matrix} 0 \\ K_{b b}^{f} U_{b}^{*} \\ K_{e b}^{f} U_{b}^{*} \\ 0 \end{matrix}\} + \{\begin{matrix} 0 \\ R_{b b}^{f} W_{b}^{*} \\ R_{e b}^{f} W_{b}^{*} \\ 0 \end{matrix}\} + \{\begin{matrix} 0 \\ T_{b b}^{f} X_{b}^{*} \\ T_{e b}^{f} X_{b}^{*} \\ 0 \end{matrix}\} + \{\begin{matrix} 0 \\ - P_{b}^{*} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\} \end{array}

또는

(6b)

\hat{M} \frac{\partial^{2} \hat{U}}{\partial t^{2}} + \hat{C} \frac{\partial^{2} \hat{U}}{\partial t} + F^{i n t} + \hat{K} \hat{U} + \hat{R} \hat{W} + \hat{T} \hat{X} = F^{e q}

동적 응답을 얻기 위해 운동방정식에 시간증분법을 적용한다. 시간 $t_{n}$ 에서 해 $\hat{U} (t_{n}) = {\hat{U}}_{n}, \hat{W} (t_{n}) = {\hat{W}}_{n}, \hat{X} (t_{n}) = {\hat{X}}_{n}, F^{i n t} (t_{n}) = F_{n}^{i n t}$ 을 얻었다고 가정한다. 시간 $t_{n + 1} = t_{n} + Δ t$ 에서의 운동방정식으로부터 시간 $t_{n + 1}$ 에서의 해를 얻을 수 있다. 이때, 재료 비선형성과 기하 비선형성을 고려하기 위해 반복법을 사용해야 한다. Newmark 방법(ABAQUS, 2019; Bathe, 2014; Chopra, 2019; Cook et al., 2002)을 사용하면, 시간 $t_{n + 1}$ 에서 j번째 반복의 해는 다음과 같이 표현될 수 있다.

(7a)

{\hat{U}}_{n + 1}^{(j)} = {\hat{U}}_{n + 1}^{(j - 1)} + Δ {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)}

(7b)

\begin{aligned} \frac{\partial {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)}}{\partial t} = & \frac{γ}{β Δ t} \{{\hat{U}}_{n + 1}^{(j)} - {\hat{U}}_{n}\} - (\frac{γ}{β} - 1) \frac{\partial {\hat{U}}_{n}}{\partial t} \\ - Δ t (\frac{γ}{2 β} - 1) \frac{\partial^{2} {\hat{U}}_{n}}{\partial t^{2}} \end{aligned}

(7c)

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)}}{\partial t^{2}} = & \frac{1}{β (Δ t)^{2}} \{{\hat{U}}_{n + 1}^{(j)} - {\hat{U}}_{n}\} \\ - \frac{1}{β Δ t} \frac{\partial {\hat{U}}_{n}}{\partial t} - (\frac{1}{2 β} - 1) \frac{\partial^{2} {\hat{U}}_{n}}{\partial t^{2}} \end{aligned}

(7d)

{\hat{W}}_{n + 1}^{(j)} = {\hat{W}}_{n} + \frac{Δ t}{2} ({\hat{U}}_{n} + {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)})

(7e)

{\hat{X}}_{n + 1}^{(j)} = {\hat{X}}_{n} + Δ t {\hat{W}}_{n} + \frac{(Δ t)^{2}}{4} ({\hat{U}}_{n} + {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)})

(7f)

F_{n + 1}^{i n t, (j)} = F_{n + 1}^{i n t, (j - 1)} + {\hat{K}}^{i n t, (j - 1)} Δ {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)}

여기서, 𝛾와 𝛽는 $t_{n}$ 에서 $t_{n + 1}$ 까지의 시간동안 응답의 변화를 정의하는 Newmark 방법의 매개변수이다. ${\hat{K}}^{int, (j - 1)} = \frac{\partial F^{i n t, (j - 1)}}{\partial \hat{U}}$ 는 (j-1)번째 반복의 해에서 얻은 변형 증분 강성 행렬로서 선형 및 비선형(기하학적) 변형 증분 강성 행렬의 합으로 표현된다(Bathe, 2014). 각 반복 단계에서 초기 추측은 ${\hat{U}}_{n + 1}^{(0)} = {\hat{U}}_{n}, F_{n + 1}^{i n t, (0)} = F_{n}^{int}, {\hat{W}}_{n + 1}^{(0)} = {\hat{W}}_{n}, {\hat{X}}_{n + 1}^{(0)} = {\hat{X}}_{n}$ 으로 정의된다. 식 (6)과 (7)로부터 시간 $t_{n + 1}$ 에서의 운동 방정식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

(8)

\begin{aligned} [\frac{1}{β (Δ t)^{2}} \hat{M} + \frac{γ}{β Δ t} \hat{C} + {\hat{K}}^{i n t, (j - 1)} + \hat{K} + \frac{Δ t}{2} \hat{R} + \frac{(Δ t)^{2}}{4} \hat{T}] Δ {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)} \\ = F_{n + 1}^{e q} - \hat{M} \frac{\partial^{2} {\hat{U}}_{n + 1}^{(j - 1)}}{\partial t^{2}} - \hat{C} \frac{\partial {\hat{U}}_{n + 1}^{(j - 1)}}{\partial t} - F_{n + 1}^{i n t, (j - 1)} \\ - \hat{K} {\hat{U}}_{n + 1}^{(j - 1)} - \hat{R} {\hat{W}}_{n + 1}^{(j - 1)} - \hat{T} {\hat{X}}_{n + 1}^{(j - 1)} \end{aligned}

여기서, $F_{n + 1}^{e q} = F^{e q} (t_{n + 1})$ 이다. 식 (8)로부터, 증분 $Δ {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)}$ 를 얻고, ${\hat{U}}_{n + 1}^{(j)}, \frac{\partial {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)}}{\partial t}, \frac{\partial^{2} {\hat{U}}_{n + 1}^{(j)}}{\partial t^{2}}, {\hat{W}}_{n + 1}^{(j)}, {\hat{X}}_{n + 1}^{(j)}$ 를 식 (7a), (7b), (7c), (7d), (7e)로부터 계산한다. 비선형 내력은 구조물의 비선형 거동을 고려하여 갱신된다. 새로 결정된 내력은 식 (7f)의 선형화된 내력과 다르기 때문에 운동방정식 (6)을 만족할 수 없고, 다음 반복 계산이 필요하다. 만약 동적 평형을 만족할 수 있으면 j번째 반복의 결과로 해가 결정된다.

이 절차에 따라 유연한 지반에 놓인 원통형 액체저장탱크의 동적 응답의 시간 이력을 시스템의 재료 및 기하 비선형성을 고려하여 얻을 수 있다. 시스템의 비선형 동적 해석에 앞서 구조물과 액체의 자중에 의한 정적 응답을 얻어야 한다. 정적 해는 시스템의 초기 상태로 사용된다. 후속 비선형 동적 해석을 수행하여 운동방정식 (6)의 해를 얻는다. 시스템의 비선형 지진 응답을 얻는 절차가 Fig. 2에 요약되어 있다.

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Fig. 2.

Procedure for nonlinear earthquake response analysis

3. 적 용

액체저장탱크의 동적 거동은 유체-구조물-지반 상호작용에 의해 크게 영향을 받는 것이 기존의 해석적/실험적 연구에 의해 밝혀졌고, 실제 지진 시에도 이와 같은 현상이 관측되기도 하였다. 그러므로 액체저장탱크의 지진 안전성을 확보하기 위해서는 유체-구조물-지반 상호작용을 고려한 지진응답해석이 필수적이다. 특히, 액체저장탱크와 같이 육중한 구조물이 유연한 지반에 놓여 있는 경우에는 지반에서의 비선형 거동이 발생하여 전체 시스템의 응답에 많은 영향을 미칠 수 있다. 지반-구조물 상호작용 해석 시 반드시 고려해야 하는 요소 중의 하나는 지반의 원역으로 발생하는 에너지 방사이다. 그러므로 이 연구에서는 Fig. 2에서 설명한 절차를 따라 비선형 유체-구조물-지반 상호작용을 고려한 액체저장탱크의 지진응답 해석을 수행하고, 이로부터 대상 시스템의 지진취약도를 산출하고자 한다.

대상 200,000kl급 액체저장탱크의 구조물, 유체, 지반에 대한 제원 및 재료 특성은 Table 1과 같다. 이 연구에서는 S2 지반에 놓인 액체저장탱크 시스템을 고려하였다. 지진응답해석은 비선형 해석기능이 가장 잘 구현되었다고 평가받는 유한요소 해석코드인 ABAQUS를 사용하였고, 대상 시스템의 수치 모형을 Fig. 3 및 4와 같이 구현하였다. LNG 저장탱크 등 일부 액체저장탱크는 콘크리트 외조와 강재 내조로 구성되어 있는 경우도 있다. 하지만 이 연구에서는 단일 강재 탱크 구조물만을 가정하여 쉘 요소로 모델링하였는데, 이 연구에서는 유체-구조물-지반 상호작용 시스템에 적용할 수 있는 시간영역 지진응답 해석기법을 제시하는 것이 목적이기 때문이다. 만약, 외조 구조물까지 포함한다면, 각각의 구조물을 쉘 요소 또는 solid 요소로 모델링한 후 외조와 내조 상이의 충진재를 적절한 스프링 요소로 모델링해야 할 것이다. 구조물의 기하 및 재료 비선형 거동을 고려하고, 재료 비선형 거동은 bi-linear 거동으로 모델링하였다. 식 (2)와 (3)의 유체-구조물 상호작용을 고려하기 위해 유체의 acoustic 거동을 표현할 수 있는 요소를 사용자 요소로 구현하였다. 식 (5)로 표현되는 지반-구조물 상호작용력을 산정하기 위해 지반의 근역은 solid 요소로 모델링하고, 원역은 무한영역으로의 에너지 방사를 고려할 수 있는 PMDL을 식 (4)와 같이 사용자 요소로 구현하여 모델링하였다.

Table 1.

Properties of a 200,000kl liquid storage tank

Parameters		Value
Radius		45m
Liquid height		33.864m
Free board		1.136m
Wall thckness		2.47cm
Roof thickness		2.47cm
Structure	Density	7850kg/m³
	Young’s modulus	208.9GPa
	Poisson’s ration	0.2
	Yield stress	515MPa
	Plastic modulus	3.372GPa
	Damping ratio	2%
	Rayleigh damping parameter	𝛼=1.550 sec^-1 𝛽=0.155×10^-2sec
Density of liquid		480kg/m³
Soil	Class	S2
	Depth to a bedrock	15m
	S-wave velocity	300m/s
	Poisson’s ratio	0.333
	Density	2400kg/m³
	Damping ratio	5%

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Fig. 3.

Finite-element model for a liquid storage tank

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Fig. 4.

Finite-element mesh for a tank structure

입력지반운동으로는 Fig. 5(a)의 지진지반운동 9종을 암반노두운동으로 사용하였는데, Fig. 5(b)의 응답스펙트럼에 보인 바와 같이 이 운동들은 다양한 진동수 특성을 가진 것을 관찰할 수 있다. 입력 지반운동의 최고지반가속도를 0.02g, 0.04g, 0.06g, …로 증가시켜 가며 지진응답해석을 수행하여 시스템의 손상을 검토하였다. 이 연구에서는 구조물 벽체의 항복을 시스템의 손상으로 정의하였다. 하지만, 상족 좌굴, 자유수면의 과도한 출렁임, 바닥판 들림, 정착부 항복 및 파괴 등도 손상 상태로 정의할 수 있을 것이다(Bakalis et al., 2017).

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Fig. 5.

Earthquake ground motions

Fig. 6은 El Centro 지진(PGA = 0.16g)에 의해 대상 액체저장탱크 벽체에서 항복이 발생한 예이며, Fig. 7은 지반-구조물 상호작용을 고려하였을 때의 지진취약도 곡선을 그 영향을 고려하지 않은 경우와 비교하여 보여주고 있다. 지반-구조물 상호작용을 고려하지 않았을 때 지진취약도의 중앙값은 0.203g, 대수 표준편차는 0.2917이지만, 지반-구조물 상호작용을 고려하였을 때의 중앙값은 0.106g, 대수 표준편차는 0.196이다. 지진지반운동에 대해 토사 부지는 선형 필터와 유사하게 작용하여, 부지 고유진동수에 근접한 운동 성분들을 증폭시켜 통과시키는 역할을 한다. 이와 같은 부지에서의 암반노두운동의 증폭 및 필터링 효과로 인해 지진취약도의 중앙값과 대수 표준편차가 감소하는 것을 확인할 수 있다. 예제 탱크의 반경에 대한 두께의 비는 0.00055이다. 만약, 이 비를 증가시키면 지진취약도의 중앙값을 향상시킬 수 있을 것이다.

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Fig. 6.

Yielding of tank wall

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Fig. 7.

Fragility curves

4. 결 론

이 연구에서는 유연한 지반에 놓인 원통형 액체저장탱크의동적 특성을 반영하기 위한 유한요소 모형을 제시하고, 비선형 지진응답 해석기법을 정식화하였다. 탱크 구조물은 기하 및 재료 비선형 거동을 고려할 수 있는 쉘 요소로 모델링하였다. 유체-구조물 상호작용을 고려하기 위해 유체의 거동을 표현할 수 있는 acoustic 요소를 구현하고, 이를 interface 요소를 사용하여 구조물과 결합하였다. 지반-구조물 상호작용을 고려하기 위해 지반의 근역은 solid 요소로 모델링하고, 원역은 무한영역으로의 에너지 방사를 고려할 수 있는 PMDL을 사용하여 모델링하였다. 지반-구조물 상호작용계에 작용하는 유효 지진력은 지반의 자유장 해석을 수행하여 산정하였다.

유한요소 모형을 사용하여 예제 200,000kl급 액체저장탱크의 유체-구조물-지반 상호작용을 엄밀히 고려한 비선형 지진응답 해석을 수행하고, 탱크 벽체의 항복 발생 여부를 액체저장탱크의 손상상태로 정의하여 대상 시스템의 지진취약도 곡선을 산정하였다. 지반-구조물 상호작용을 고려하는 경우와 강체 지반에 구조물이 놓은 경우의 지진취약도 곡선을 비교하여, 유연한 지반에 구조물이 놓인 경우에는 지반에서의 암반노두운동의 증폭 및 필터링으로 인해 지진취약도의 중앙값과 대수 표준편차가 감소하는 것을 관찰할 수 있었다.

이 연구에서 개발한 유체-구조물-지반 상호작용을 고려한 지진응답 해석기법과 지진취약도곡선 산정 기법은 향후 다양한 액체저장탱크 또는 산업시설의 정밀한 지진위험도 평가에 유용하게 활용될 수 있을 것으로 기대된다.

Acknowledgements

이 논문은 2022년도 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단-가동원전 안전성 향상 핵심기술 개발사업의 지원을 받아 수행된 연구입니다(No. RS-2022-00144482). 또한, 본 연구는 환경부 재원으로 환경시설 재난재해 대응기술개발사업의 지원을 받아 연구되었습니다. 이에 감사드립니다(2022002850001).

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

Preview

Earthquake Response Analysis of Cylindrical Liquid-Storage Tanks Considering Nonlinear Fluid-Structure Soil Interactions

ABSTRACT

MAIN

(1)

Fig. 1.

Soil-structure interaction system

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

(2e)

(2f)

(3)

(4a)

(4b)

(4c)

(5)

(6a)

(6b)

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

(7e)

(7f)

(8)

Fig. 2.

Procedure for nonlinear earthquake response analysis

Table 1.

Properties of a 200,000kl liquid storage tank

Fig. 3.

Finite-element model for a liquid storage tank

Fig. 4.

Finite-element mesh for a tank structure

Fig. 5.

Earthquake ground motions

Fig. 6.

Yielding of tank wall

Fig. 7.

Fragility curves

Acknowledgements

References