Quasi-Dynamic Analysis Model of Mooring Lines Using Response Surface Approximation Method

Wonsuk Park

doi:10.7734/COSEIK.2024.37.6.425

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Research Paper

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 31 December 2024. 425-432
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2024.37.6.425

Quasi-Dynamic Analysis Model of Mooring Lines Using Response Surface Approximation Method

응답면 근사 기법을 적용한 계류선의 준동적 해석 모델

Wonsuk Park¹^*

박 원석¹^*

¹Professor, Department of Civil Engineering, Mokpo National University, Muan, 58554, Korea

¹국립목포대학교 토목공학과 교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

This paper proposes a quasi-dynamic mooring line analysis method that accounts for dynamic effects when calculating the tension on the mooring lines of floating structures. The quasi-dynamic approach calculates the static tension of the mooring line at each time step using the elastic catenary solution and then applies a quasi-dynamic tension coefficient to account for the drag and inertial forces due to velocity and acceleration. To improve the computational efficiency of determining the static elastic catenary solution, a response surface method was employed. Additionally, a new technique was introduced to determine the quasi-dynamic tension coefficient by combining the dynamic coefficients in the horizontal and vertical directions. The proposed model was validated through a motion analysis of a moored barge by comparing the results of the dynamic, quasi-static, and quasi-dynamic models under various wave conditions. The quasi-dynamic model demonstrated tension responses similar to the responses of the dynamic model, particularly in the frequency ranges where the dynamic effects on the mooring line are significant.

Keywords

floating structures

dynamic mooring analysis

quasi-dynamic analysis

response surface approximation

이 논문에서는 부유식 구조체의 계류선에 작용하는 장력을 계산함에 있어서 동적 효과를 고려할 수 있는 준동적 계류선 해석 방법을 제안하였다. 준동적 계류선 해석 방법은 매 시간 단계에서 계류선의 탄성 현수선 해석해에 기반한 정적 장력을 계산한 후, 준동적 장력 계수를 적용해 속도와 가속도에 따른 항력 및 관성력의 영향을 반영하는 방법이다. 제안하는 방법은 정적 탄성 현수선 해석해를 구할 때 계산 효율성을 높이기 위해 응답면 기법을 도입하고, 수평 및 수직 방향의 동적 계수를 결합하여 준동적 장력 계수를 결정하는 새로운 방법을 제안하였다. 제안된 모델은 계류된 바지선의 운동 해석을 통해 검증하였으며, 다양한 파 조건에서 동적, 준정적, 준동적 모델을 비교한 결과, 제안된 준동적 모델은 상대적으로 계류선의 동적 효과가 큰 주파수 대역에서 동적 모델과 유사한 장력 응답을 도출할 수 있음을 확인하였다.

키워드

부유식 구조체

계류선 동적 해석

준동적 해석

응답면 기법

MAIN

1. 서 론
2. 계류선의 준동적 해석 방법
2.1 계류선의 정적 탄성 현수선 식
2.2 계류선 장력의 준동적 해석 절차
3. 계류선 준동적 해석 예제
3.1 해석 대상 및 시나리오
3.2 계류선 정적 현수선 해의 응답면 대리 모델
3.3 계류선의 준동적 장력 계수 조합
3.4 계류선 장력 해석 결과
4. 결 론

1. 서 론

부유식 구조물의 계류 시스템은 안정성과 성능을 보장하는 필수 요소이다. 계류 시스템 중에서 가장 널리 사용되는 방식 중 하나는 케이블 또는 체인 기반의 계류 시스템이다. 이 계류 시스템의 기본적인 특징은 케이블의 자중, 해저면과의 마찰력, 그리고 앵커 지지력을 통해 계류력을 생성한다는 점이다. 따라서 계류 케이블에 도입되는 장력을 정확히 평가하는 것이 계류 시스템의 설계와 안전성 평가에서 중요한 요소로 작용한다(Barrera et al., 2020; DNV GL., 2018; Robertson et al., 2017).

계류 케이블에 작용하는 장력은 크게 정적 장력과 동적 장력으로 나눌 수 있다. 특히 동적 장력은 계류선의 거동뿐만 아니라 부유체의 거동에도 큰 영향을 미치기 때문에, 이를 정확하게 평가하는 것이 필수적이다. 동적 계류 케이블 거동을 해석하는 가장 정확하고 널리 사용되는 방법은 모리슨 요소로 계류선을 모델링하는 동적 유한요소해석법이다(Cha et al., 2012; Chen et al., 2001; Petrone et al., 2016). 이 방법은 높은 정확도를 가지고 있으며, 비선형 거동도 잘 표현할 수 있다는 장점이 있다(Wang et al., 2020). 그러나 이러한 동적 해석법은 계산 시간이 많이 소요된다는 단점이 있어, 설계 최적화나 실시간 적용에 한계가 있을 수 있다(Seong and Park, 2024). 대안으로, 비교적 간단한 방법으로는 준정적 해석법이 있다(Barreiro et al., 2016). 이 방법은 케이블의 양 끝단 위치와 케이블의 습중량(wet weight)을 이용하여 계류선 장력을 해석적으로 계산하는 방법이다. 준정적 해석법은 빠른 해석이 가능하며, 제한된 범위 내에서 필요한 수준의 정확도를 제공하지만, 변화하는 환경 하중에 따른 동적 거동을 완벽히 반영하지는 못한다. 동적 해석의 정확성과 정적 해석의 간편성을 동시에 추구하기 위해 준동적 해석 방법이 제안되었다. 이 방법은 정적 케이블 장력에 동적 영향을 고려한 계수를 곱하여 동적 장력을 예측하는 방식이다. 여기서 동적 영향을 고려한 계수는 계류 케이블의 운동에 의해 발생하는 관성력과 유체의 항력을 포함하여 비교적 간단한 방식으로 동적 효과를 반영할 수 있다.

이 연구에서는 Trubat 등(2022)이 제안한 준동적 계류선 모델에 기반한 준동적 계류선 모델 해석법을 제안한다. 제안하는 방법은 첫째, 계산 효율성을 높이기 위해서 정적 계류선 해를 찾는 과정에 응답면 기법을 도입하였다(Khuri and Mukhopadhyay, 2010). 시간 이력 해석시 매 시간 단계에서 비선형 연립 방정식을 반복법으로 풀어 정적 장력을 구하는 과정을 응답면 대리 모델로 대치하여 계산에 소요되는 시간을 단축하였다. 둘째, 계산의 정확도를 높이기 위하여 수직 및 수평 양 방향의 동적 효과를 동시에 고려할 수 있는 준동적 계수 조합법을 개발하였다. 기존의 연구에서는 좀 더 지배적이라고 할 수 있는 수직 방향의 동적 증폭 계수만을 사용하였다. 제안하는 방법에서는 사전 해석을 통해 수직 및 수평 방향 장력에 대한 동적 증폭계수와 케이블 방향 장력의 동적 증폭 계수와의 관계를 조사하여 최적의 가중 계수 조합을 찾는 방법을 제시하였다. 자세한 해석 절차와 방법론을 2장에 제시하고 3장에서 계류된 바지선의 동적 응답 해석 예제를 통해 제시하는 방법의 효율성을 보이고자 하였다.

2. 계류선의 준동적 해석 방법

2.1 계류선의 정적 탄성 현수선 식

이 연구에서 제시하는 준동적 해석 방법은 계류선 양 끝단의 위치와 계류선의 자중 및 부력으로 결정되는 정적 탄성 현수선 해로부터 정적 장력을 구하고 여기에 동적 효과를 반영한 동적 계수를 곱하여 장력을 구하는 방법이다. 따라서 매 시간 새로운 위치의 계류선 양단으로 부터 탄성 현수선 식을 구해야 한다.

Fig. 1과 같이 정의된 계류선의 좌표계에 대하여 계류선 선단(fairlead)의 수평 장력 $T_{H}$ 와 수직 장력 $T_{V}$ 는 다음 식 (1), (2)와 같이 나타낼 수 있다(Faltinsen, 1993). 여기서 해저면의 마찰과 케이블에 의한 연직 침하는 고려하지 않았다.

(1)

T_{H} = \frac{T_{V}^{2} - {(w h - \frac{T_{V}^{2}}{2 A E})}^{2}}{2 (w h - \frac{T_{V}^{2}}{2 A E})}

(2)

T_{V} = w l_{s}

여기서, $w$ 는 계류선의 수중 자중(wet weight), AE 계류선의 축 강성이고, $l_{s}$ 는 해저면에 닿지 않은 계류선의 무응력장 길이이다.

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Fig. 1.

Mooring cable line with symbols

이 연구에서는 Fig. 1과 같이 좌표계를 도입하고 앵커 위치 $a_{x}$ 와 해저면 접촉 길이 $l_{b e d}$ 에 대한 적합조건식을 다음 식 (3), (4), (5)와 같이 유도하였다.

(3)

l_{b c d} = (l_{u n} - l_{s}) (1 + \frac{T_{H}}{A E})

(4)

x_{0} + x_{f l} = \frac{T_{H}}{w} \ln (\frac{\sqrt{T_{H}^{2} + T_{V}^{2}} + T_{V}}{T_{H}}) + \frac{T_{H} l_{s}}{A E}

(5)

a_{x} - (l_{b e d} + x_{0}) = 0

여기서, $l_{u n}$ 은 장력이 도입되지 않을 때의 계류선 길이, $x_{0}$ 는 원점으로부터 계류선의 해저 접촉면까지의 길이, $x_{f l}$ 은 계류선 상부 선단점의 x 좌표이다.

주어진 앵커 위치 $a_{x}$ 와 계류선 상부 선단점의 x 좌표 $x_{f l}$ 에 대하여, 정적 탄성 현수선 식을 만족하는 선단점의 정적 장력 $T_{S} = (T_{H}, T_{V})$ 는 식 (1), (2), (3), (4), (5)의 연립방정식을 풀어서 구할 수 있다. 수치적 풀이 방법으로는 $T_{V}$ 를 먼저 가정하고 식 (1), (3), (4)를 계산하여 $l_{b e d}$ 와 $x_{0}$ 를 구한 다음 식 (5)의 적합조건식이 0이 될 때 까지 반복계산을 통해 전체 연립방정식을 만족하는 $T_{V}$ 를 구한다. 이 식에서는 앵커 위치 $a_{x}$ 와 무응력장 계류선 길이 $l_{u n}$ 은 설계변수로 고정된 값이나 해저면 접촉 케이블 길이 $l_{b e d}$ 및 그에 따른 $x_{0}$ , $l_{s}$ 는 계류선 상부 선단 위치와 장력에 따라 변하는 값이다.

이 연구에서는 계류선의 형상을 나타내기 위해 적절한 길이로 계류선을 분절하여 절점으로 표시한다. 분절한 j번째 절점의 좌표를 $r_{j} (x_{j}, z_{j})$ , 해저면 접촉 위치로 부터 j번째 절점 까지 계류선 곡선 길이를 $s_{j}$ 라고 하면 j번째 절점의 절점의 좌표는 다음과 같이 결정된다.

(6)

x_{j} = \frac{T_{H}}{w} \ln (\frac{\sqrt{T_{H}^{2} + T_{V j}^{2}} + T_{V j}}{T_{H}}) + \frac{T_{H} s_{j}}{A E} - x_{0}

(7)

T_{V j} = w s_{j}

(8)

z_{j} = \frac{T_{H}}{w} [\cosh (\frac{x_{i} + x_{0}}{T_{H} / w}) - 1] + \frac{w s_{j}^{2}}{2 A E} - h_{0}

여기서, $h_{0}$ 는 케이블 중심점까지의 깊이이다.

위 식 (6), (7), (8)은 주어진 계류선 상부 선단의 위치에 대하여 정적인 평형을 만족하는 계류선 형상이 유일하게 구해질 수 있음을 의미한다.

2.2 계류선 장력의 준동적 해석 절차

이 연구에서 제안하는 계류선 장력의 시간이력 해석을 위한 준동적 해석 절차는 다음 식 (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15), (16)과 같다.

[Step 0] 설계 조건으로서 계류선 및 해수의 물성 값, 앵커 위치 $a_{x}$ , 계류선 길이 $l_{u n}$ 을 결정하고, 계류선 선단의 초기 위치에 대한 계류선 절점들의 위치 벡터와 정적 장력을 구한다.

[Step 1] 시간 단계 k번째 $t_{k}$ 에서 주어진 계류선 선단(fairlead) 좌표( $x_{k}, z_{k}$ )로부터 계류선 절점들의 위치 벡터 $r_{k}$ 와 정적 장력 벡터 $T_{S k} = (T_{H k}, T_{V k})$ 를 구한다.

[Step 2] 계류선 절점들의 속도 벡터와 가속도 벡터는 전 시간 단계(k-1번째)의 응답으로 부터 다음과 같이 차분식으로 계산한다.

(9)

v_{k} = \frac{r_{k} - r_{k - 1}}{∆ t}

(10)

a_{k} = \frac{v_{k} - v_{k - 1}}{∆ t}

여기서, $∆ t = t_{k} - t_{k - 1}$ 이다.

[Step 3] 케이블 각 절점에 작용하는 관성력 벡터 $f_{I k}$ 과 항력 벡터 $f_{H D k}$ 를 다음과 같이 계산한다.

(11)

f_{I k} = ρ_{m} A a_{k}

(12)

\begin{aligned} f_{H D k} = & - \frac{1}{2} ρ_{w} C_{D} d | v_{k} ∙ n_{k} | (v_{k} ∙ n_{k}) n_{k} \\ - \frac{π d_{a p}^{4}}{4} ρ_{w} C_{A} (a_{k} ∙ n_{k}) n_{k} \end{aligned}

여기서, $ρ_{m}, ρ_{w}$ , $A$ 는 각각 계류선과 바다물의 밀도, $A$ 는 계류선 단면적, $C_{D}$ , $C_{A}$ 는 각각 계류선의 법선 방향 항력계수 및 추가질량계수, $d$ , $d_{a p}$ 는 각각 계류선의 공칭 직경 및 겉보기 직경, $n_{k}$ 는 케이블 절점들에서의 법선 벡터이다.

[Step 4] 연직 방향 준동적 계수 $α_{Q D V k}$ , 수평 방향 준동적 계수 $α_{Q D H k}$ 를 다음 식과 같이 계산한다.

(13)

α_{Q D V k} = \frac{T_{V k} + \int (f_{H D k} - f_{I_{k}}) ∙ i_{V} d s}{T_{V k}}

(14)

α_{Q D H k} = \frac{T_{H k} + \int (f_{H D k} - f_{I k}) ∙ i_{H} d s}{T_{H k}}

여기서, $i_{v}$ , $i_{H}$ 는 각각 연직 및 수평방향 단위 벡터이다.

[Step 5] 마지막으로 k번째 시간 단계에서의 계류선 선단의 준동적 장력 $T_{Q D k}$ 는 식 (16)과 같이 조합된 준동적 계수 $α_{Q D k}$ 를 Step 1에서 구한 정적 장력 $T_{s k}$ 에 곱하여 식 (15)와 같이 계산한다.

(15)

T_{Q D k} = α_{Q D k} T_{s k}

(16)

α_{Q D k} = q_{V} α_{Q D V k} + q_{H} α_{Q D H k} + q_{0}

[Step 6] 처음으로 돌아가 k+1번째 시간 단계 해석을 수행한다.

위 절차의 기본 뼈대는 Trubat 등(2022)이 제안한 준동적 계류선 모델과 같다. 이 연구에서는 Step 0과 Step 1의 계류선의 정적 장력을 구할 때 식(1), (2), (3), (4), (5)의 연립방정식을 매 시간단계에서 반복법을 사용해 풀지 않고 응답면 기법을 이용하여 빠르게 계산할 수 있도록 하였다. 또한 Step 4, 5의 준동적 계수를 새롭게 제안하였다. Step 5의 준동적 계수 조합을 위해서는 식 (16)의 가중치 $q_{V}$ , $q_{H}$ , $q_{0}$ 가 필요하다. 선단 장력은 수평 방향 장력과 연직 방향 장력의 벡터 합으로 결정되지만, 일반적으로 준동적 계수 $α_{Q D k}$ 는 연직 방향 계수와 수평 방향 계수의 벡터 합으로 결정할 수 없다. 이는 각 방향의 동적 증폭 효과가 독립적으로 작용하여 결합하지 않는 다는 것을 의미한다. 이 연구에서는 식 (16)의 가중치를 경험적 방법에 의한 회귀식으로부터 결정하는 방법을 제안하였다. 응답면 기법에 의한 정적 장력 계산과 준동적 계수 조합을 위한 가중치 결정방법은 3장의 예제를 통해 제시하였다.

3. 계류선 준동적 해석 예제

3.1 해석 대상 및 시나리오

해석 예제로서 Fig. 2와 같이 x-z 평면에 2개의 체인으로 계류된 바지선을 고려한다(Pinkster, 1979). 해석에 사용한 바지선의 제원은 Table 1에, 계류선의 제원을 Table 2 나타내었다. 이 해석 예제는 3차원으로 모델링 되었으나 편의상 동일 평면에서의 운동인 서지, 히브, 피치의 3개 자유도 운동만을 고려하였다. 바지선의 동유체력 계수(hydrodynamic coefficient)인 부가질량과 방사감쇠 등 유체동력학 계수들은 상용 해석 소프트웨어인 Ansys AQWA를 사용하여 구하였으며(ANSYS Inc., 2023), 계류선의 동적 해석을 위한 모델링 및 전체 계의 시간이력 해석은 Orcaflex를 이용하였다(Orcina, 2023). 제시한 방법을 이용한 계류선의 준정적 해석 결과 및 정적 해석해는 2장에서 제시한 절차를 통해 MATLAB에서 구하였다(The Mathworks Inc., 2022). 이때 입력으로 사용되는 계류선 상단부의 위치는 Orcaflex를 이용한 동적 해석해를 사용하였다.

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Fig. 2.

A view of the moored barge model

Table 1.

Characteristic values of the barge

Size(m)	150 × 50 × 10
Point mass (ton)	75,593.75
$I_{x x}$ (ton-m²)	30,237,500
$I_{y y}$ (ton-m²)	114,973,966.368
$I_{z z}$ (ton-m²)	114,973,966.368

Table 2.

Characteristic values of the mooring line

Type	Chain
Unstretched length $l_{u n}$ (m)	640
Wet weight $w$ (N/m)	1194.02
Mass per unit length $ρ_{m}$ (kg/m)	1401.6
Sea water density $ρ_{w}$ (kg/m³)	1025
Axial stiffness $A E$ (N)	646.4 × 10⁶
Drag diameter $d$ (m)	0.08
Apparent diameter $d_{a p}$ (m)	0.08
Normal drag coeff. C_D	2.6
Added mass coeff. C_A	1.0
Anchor depth h₀ (m)	99.888
Anchor position (x,y,z) (m)	(± 700,0,-99.888)
Initial fairlead position (x,y,z) (m)	(± 75,0,0)

이 장에서 고려하는 바지선과 계류선의 운동 시나리오는 Table 3에 나타내었다. 해석 Case I은 계류선만의 응답을 살펴보기 위하여 계류선 선단부를 수평(x)방향으로 강제 운동 시키는 시나리오를 선택하였다. 운동은 사인(sine)파 운동을 따르도록 하였으며, 변위 진폭은 ± 5m로 하고 주기는 15초, 20초, 40초, 60초의 4가지 경우를 고려하였다. 해석 Case II는 단위 규칙파가 바지선에 작용할 때를 고려하였다. 180도 입사 방향으로 주요 파장의 단위 규칙파에 대한 바지선의 운동 응답에 따른 계류선 장력 시간이력을 구하였다. 단위 규칙파는 파고 1m의 파랑이며, 파의 주파수는 2~6rad/s까지5개 주파수를 고려하였다. 이는 부유체의 RAO응답을 고려하여 저주기 및 장주기 운동 특성이 모두 나타나도록 결정하였으며 Case I의 수평 사인파 운동의 주기와는 독립적인 값이다. 운동해석 Case III에서는 불규칙 파가 바지선에 작용할 때계류선 장력의 시간이력 응답을 살펴보았다. 불표칙 파 모델은 Sea state 3 레벨의 JONSWAP 스펙트럼에 대한 시간 이력 파랑을 사용하였다. 스펙트럼의 주요 파라미터는 유의파고 H_s = 0.88m, 첨두증폭계수 γ = 3.3, 첨두주기 T_p = 7.5sec.이다. 이후 절에서는 각 시나리오의 시간이력 해석을 수행하고 계류선 장력의 준동적 해석 결과를 준정적 해석 및 동적 해석 결과와 비교하여 제시한 방법의 성능을 고찰한다.

Table 3.

Analysis cases and parameters

Cases		Parameters
I	Sine motion	Amplitude 5 m, Periods T = 15,20,40,60sec.
II	Regular unit wave	Amp.1 m, Freq. w = 2,3,4,5,6rad/s
III	Irregular wave	JONSWAP, H_s = 0.88 m, γ = 3.3 T_p= 7.5sec.

3.2 계류선 정적 현수선 해의 응답면 대리 모델

2장 식 (1), (3), (4), (5), (5)의 정적 현수선 방정식을 효과적으로 풀기 위해서 계류선 선단 위치에 대해 계류선 선단에 작용하는 장력의 수직 성분을 예측하는 응답면 대리 모델을 구하였다. 응답면을 구성하기 위해 선단의 초기 위치를 원점으로 하고, 수평방향 가로 폭 10m, 연직방향 수심 2m의 직사각형 평면에 수평 및 수직 간격을 각각 1m, 0.4m로 하는 11 × 6개의 격자점을 구성하였다. 각 격자점의 $(x, z)$ 좌표를 계류선의 상부 선단 위치로 할 때, 각 격자점에서의 정적 현수선 해석해에 의한 수직 장력 $T_{V}$ 를 구하여, 총 66개의 입력 $(x, z)$ 와 최대 및 최소 장력을 각각 1, 0으로 정규화한 출력 $\bar{T_{V}}$ 샘플을 구하여 응답면을 구하였다(Fig. 3). 응답면 함수는 각 샘플점에서의 오차의 제곱 평균을 최소화하는 4차 다항식으로 구하였다. 다음 식 (17)과 같다.

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Fig. 3.

Sampling points for the response surface model

(17)

\bar{T_{V}} = f (x, z) = \sum_{i = 0}^{4} \sum_{j = 0}^{4 - i} c_{i j} x^{i} z^{j}

구해진 응답면 함수 식 (17)의 계수 $c_{i j}$ 는 Table 4에 나타내었으며, 이 계수를 사용한 응답면 식으로 계산한 격자점에서의 수직 장력의 평균 제곱근 오차는 4.362 × 10^-5으로 나타났다.

Table 4.

Coefficients of response surface polynomial

$c_{i j}$		j
$c_{i j}$		0	1	2	3	4
i	0	418.4e-3	30.79e-3	94.16e-6	-478.9e-9	1.210e-9
	1	91.81e-3	1.269e-3	-4.132e-6	-35.75e-9	-
	2	4.251e-3	13.47e-6	-663.6e-9	-	-
	3	129.0e-6	-2.400e-6	-	-	-
	4	378.3e-9	-	-	-	-

3.3 계류선의 준동적 장력 계수 조합

제안하는 준동적 해석 방법의 장력 계수는 정적 해석에 의한 장력에 관성력과 항력에 의해 추가되는 힘을 고려하여 결정된다. 이 효과는 식 (15)의 준동적 장력 계수로 표현하며, 식 (16)과 같이 수평 방향과 수직방향의 동적효과 성분을 함께 고려한다. 이 예제에서는 제시한 예제의 계류선에 대하여 수평 및 수직 방향 준동적 장력 계수의 상관관계를 구하여 식(16)의 가중치를 결정한다. 먼저 Table 3의 Case I, II, III에 대한 시간이력 해석을 Orcaflex를 이용하여 수행하고 계류선 선단의 위치 시간이력과 계류선의 동적 장력 시간이력 $T_{D H} (t),$ , $T_{D V} (t),$ 를 구하였다. 이후 계류선 선단 위치에 대한 정적 장력 $T_{S H} (t),$ , $T_{S V} (t),$ 을 구하고 모든 시간이력 점에 대하여 다음 식 (18), (19), (20)과 같이 연직 및 수평방향의 동적 장력 계수와 전체 장력의 장력 계수를 구한다.

(18)

α_{D H} (t) = T_{D H} (t) / T_{S H} (t)

(19)

α_{D V} (t) = T_{D V} (t) / T_{S V} (t)

(20)

α_{D T} (t) = T_{D T} (t) / T_{S T} (t)

해석을 통해 총 24,232개의 계수 쌍 데이터 $(α_{D H}, α_{D V}), α_{D T}$ 를 얻었고, $(α_{D H}, α_{D V})$ 와 $α_{D T}$ 의 관계식은 1차 다항식으로 회귀하여 구하였다. 회귀식의 평균제곱근오차는 3.5173 × 10^-4이었으며, 이를 통해 다음 식 (21)과 같이 준동력 장력 계수에 대한 1차 관계식을 도출하였다.

(21)

α_{Q D T} = 0.7639 α_{Q D V} + 0.2338 α_{Q D H} + 0.0024

3.4 계류선 장력 해석 결과

Table 3의 해석 시나리오에 대한 계류선 장력 시간이력 해석결과는 다음과 같다. 계류선 선단의 수평 방향 사인파 움직임에 대한 선단 장력의 시간이력을 Fig. 4에 나타내었다. 움직임의 주기가 각각 15초, 20초, 40초, 60초일 때 시간이력을 보였으며, 준정적 해석, 준동적 해석, 동적 해석일 때의 결과를 비교하였다. 해석 결과 제시한 준동적 해석 방법은 케이블의 동적 효과가 상대적으로 큰 단주기 영역인 주기 15초 및 20초 일 때 동적 해석 결과와 유사한 결과를 나타내고 있음을 확인 할 수 있었다. 이들 주기 에서는 정적 해석에 의한 장력은 동적 해석에 의한 장력 보다 낮은 값을 나타내었으나 준동적 해석해는 동적 해석해와 상당히 유사한 해를 도출함을 볼 수 있다. 특히 케이블의 장력이 빠지는 현상도 유사하게 예측할 수 있음을 볼 수 있다. 반면 상대적 장주기인 40초 및 60초 주기의 움직임 해석에서는 동적 효과가 크지 않아 세 가지 해석해의 결과가 유사하게 나타남을 잘 확인할 수 있었다.

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Fig. 4.

Case I Tension time histories for sine motion of the fairlead; (a) T = 15sec., (b) T = 20sec., (c) T = 40sec., (d) T = 60sec

규칙파에 대한 장력 응답 해석 결과를 Table 5에 나타내었다. 부유식 구조체인 바지선에 단위 파고의 규칙파가 올 때 발생하는 운동으로부터 바지선이 연결된 계류선 선단에 발생하는 장력의 시간 이력을 구하였다. 일정 시간이 경과하여 바지선의 움직임이 정상 상태에 도달했을 때의 최대 및 최소 장력을 구하였다. 규칙파의 주파수를 달리하며 조사한 결과 모든 경우에서 제시한 준동적 해석의 해가 준정적 해석의 해 보다 동적 해석의 장력 값에 가까운 값을 나타내었다. 특히 동적 응답 증폭의 효과가 두드러지는 5rad/s 주파수 파랑에 대한 장력 응답에서 동적 해석 값에 대한 최대 장력 오차는 준동적 해석 -0.34%, 준정적 해석 -1.94%로 오차 기준으로 준동적 해석이 준정적 해석에 비하여 5.74배의 정확도를 보였으며, 최소 장력 오차는 3.56배의 정확도를 보였다. 절대값 평균 오차에서도 준동적 해석은 최대력 및 최소장력오차 0.47%, 1.25%, 준정적 해석은 0.80%, 1.61%를 나타내어 상대적으로 준동적 해석이 동적 해석과 가까운 값을 내고 있음을 확인하였다. 이러한 결과는 준동적 해석 방법이 규칙파 응답을 이용하여 계류된 부유체의 RAO(response amplitude operator)를 시간이력 해석으로 구할 때에도 유효하게 적용할 수 있음을 보여준다.

Table 5.

Maximum and minimum tensions for unit regular waves (Case II)

Wave freq. (rad/s)	Max. Tension (kN)			Min. Tension (kN)
Wave freq. (rad/s)	Dyn	QD (err %)	QS (err %)	Dyn	QD (err %)	QS (err %)
2.0	1310.1	1313.3 (0.24)	1324.3 (1.08)	969.98	967.27 (-0.28)	960.27 (-1.00)
3.0	1219.1	1217.5 (-0.13)	1225.7 (0.54)	1027.3	1029.0 (0.17)	1022.9 (-0.43)
4.0	1175.4	1172.2 (-0.27)	1171.6 (-0.32)	1058.5	1062.2 (0.35)	1064.0 (0.52)
5.0	1152.1	1148.2 (-0.34)	1129.7 (-1.94)	1072.6	1079.7 (0.66)	1097.9 (2.36)
6.0	1169.8	1154.0 (-1.35)	1142.3 (-2.35)	1046.9	1073.6 (2.55)	1086.3 (3.76)

불규칙파에 대한 장력의 시간 이력 응답 해석 결과, 동적 해석, 준동적 해석, 준정적 해석의 최대 장력은 각각 1205.5kN, 1195.1kN, 1198.4kN이었다. 최소 장력은 각각 1017.2kN, 1024.7kN, 1023.7kN이었다. 준동적 해석 및 준정적 해석은 모두 동적 해석에 비해 최대 및 최소장력을 더 낮은 값으로 평가하고 있었으며 준동적 해석과 준정적 해석의 정확도는 비슷한 수준으로 나타났다. Fig. 5에 300초 동안의 장력 시간이력 응답을 나타내었다. 그림에서 알 수 있듯이 고주파 진동에 대한 동적 응답 확대 효과가 두드러진다. 주목할 만한 점으로는 고주파 진동에 있어서 진폭의 절대 크기에 있어서는 준동적 해석과 준정적 해석이 큰 차이가가 없지만 진동 위상의 경우 준동적 해석과 동적 해석이 잘 일치하는 반면, 준정적 해석은 그 위상이 반대임을 알 수 있다.

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Fig. 5.

Case III Tension time histories for irregular wave motion

4. 결 론

이 연구에서는 응답면 기법을 이용해 계산 효율성을 높인 준동적 계류선 모델 해석법을 제안하였다.

준동적 계류선 해석 모델은 매 시간 단계별로 계류선의 정적 장력을 계산하고, 여기에 준동적 장력 계수를 곱하여 계류선의 속도와 가속도에 따른 항력과 관성력에 의해 추가되는 장력의 증감효과를 반영하는 방법이다. 제안하는 방법에서는 먼저, 매 시간 단계에서 정적 장력을 계산할 때 소요되는 계산 시간을 줄일 수 있도록 응답면 기법을 도입하였다. 계류선의 선단 위치에 따라 변하는 장력을 구하기 위해 탄성 현수선 식에 의한 비선형 연립방정식을 풀어야 한다. 이 시간을 줄이기 위해 선단 위치를 입력으로 하고 정적 장력을 출력으로 하는 응답면 기법을 사용하였다. 두 번째로는 동적 효과 계수를 결정하는데 있어서 수평 및 수직 방향의 동적 계수를 조합하여 결정하는 방법을 개발하였다. 계류선의 선단 장력은 선단에 작용하는 수평력과 수직력으로 분해하여 볼 수 있다. 그러나 정적 수평력과 정적 수직력에 대한 각각의 동적 수평력 계수와 동적 수직력 계수는 그러한 관계를 만족하지 않는다. 따라서 기존 연구에서는 지배적인 수직력에 대한 계수를 전체 장력의 준동적 장력 계수로 하였다. 이 연구에선 수평 및 수직 준동적 계수의 관계식을 도출하고 이를 이용하여 준동적 장력 계수를 결정하는 새로운 방법을 제안하였다.

제안하는 방법의 적용성은 계류된 바지선의 운동 해석을 통해 확인하였다. 선단의 사인파 운동, 단위 진폭 규칙파에 의한 바지선의 응답, 불규칙 파에 의한 바지선의 응답에 상응하는 계류선의 장력을 동적, 준정적, 준동적 해석 모델로 비교하였다. 계류선의 정적 해석해를 위한 응답면 모델은 4차의 다항식으로 근사하였다. 준동적 장력계수는 동적 해석 결과에 기반하여 수평 및 수직 준동적 장력계수를 1차식으로 가중 조합한 것으로 제안하였다. 해석 결과 제안하는 방법에 의한 준동적 계류선 해석 모델은 계류선의 동적응답을 비교적 정확하게 모사할 수 있는 것으로 확인하였다. 특히 동적 효과가 강하게 나타나는 주파수 영역에서는 계류선의 장력이 저하되는 비선형 효과 등도 어느 정도 모사할 수 있었다.

이 연구에서는 계류선에 작용하는 장력에 대해서만 비교 검토 하였고, 평면 운동에 대해서 한개의 계류선에 대한 응답을 비교하였다. 향후 연구에서는 계류선 해석 모델의 차이에 따른 부유체 응답 운동의 차이도 비교 고찰되어야 하고, 계산의 정확성과 효율성에 대한 추가적인 정량 분석이 수행되어야 한다. 즉, 제시한 근사해법이 기존의 방법에 비하여 비용과 정확도를 교환할 수 있는 정도의 효율을 보이는 지에 대한 논의가 필요하다. 예를 들어 비용은 계산시간, 정확도는 error norm으로 평가하여 특정조건에서는 제시된 근사해법이 효율성을 가진다는 점을 논증하는 등의 서술이 필요하다. 또한 현재는 계류선의 면내 운동만을 다루고 있어 사실상 2차원 해석에 한정되고 있으므로 면 외 운동을 포괄하는 방법으로의 확장이 필요하다.

Acknowledgements

이 연구는 국토교통부/국토교통과학기술진흥원의 지원으로 수행되었음(과제번호 RS-2023-00250727 다목적 해상 부유식 인프라 건설기술 개발).

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

Preview

Quasi-Dynamic Analysis Model of Mooring Lines Using Response Surface Approximation Method

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

Fig. 1.

Mooring cable line with symbols

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Fig. 2.

A view of the moored barge model

Table 1.

Characteristic values of the barge

Table 2.

Characteristic values of the mooring line

Table 3.

Analysis cases and parameters

Fig. 3.

Sampling points for the response surface model

(17)

Table 4.

Coefficients of response surface polynomial

(18)

(19)

(20)

(21)

Fig. 4.

Case I Tension time histories for sine motion of the fairlead; (a) T = 15sec., (b) T = 20sec., (c) T = 40sec., (d) T = 60sec

Table 5.

Maximum and minimum tensions for unit regular waves (Case II)

Fig. 5.

Case III Tension time histories for irregular wave motion

Acknowledgements

References