3.1 ICP 알고리즘

ICP 알고리즘은 3차원 공간에서 포인트 클라우드 점 군 데이터와 CAD 모델에서 추출된 특이점 군 데이터의 변환 관계를 찾아서 Besl과 McKay가 3차원 형상특징 기반의 포인트 정합 방법에 대한 연구에서 제안한 것과 같이 두 점 군 데이터 집합 간의 변환행렬을 계산한 후, 변환된 위치에 대응하는 특이점 군 데이터 집합 내에의 대응점을 찾을 수 있다(Besl et al., 1992).

3차원 공간에서 포인트 클라우드 점 군 데이터와 CAD 모델에서 추출된 특이점 군 데이터의 개수는 각각 N개를 가정한다. 3차원 공간에서 포인트 클라우드 점 군 데이터의 집합을 $\mathit{\text{P}}=\left\{\stackrel{\to }{p_i}\right\}$로 정의하며, CAD 모델에서 추출된 특이점 군 데이터의 집합(목적 데이터 집합)을 $\mathit{\text{X}}=\left\{\stackrel{\to }{x_i}\right\}$로 정의한다. 포인트 클라우드 점 군 데이터의 집합과 목적 데이터 집합의 개수는 각각 N_p와 N_x을 정의하며, N_p=N_x을 가정한다. 그리고 변화벡터는 $\stackrel{\to }{q}={\left[{\stackrel{\to }{p}}_{\mathit{\text{R}}}{\stackrel{\to }{q}}_{\mathit{\text{T}}}\right]}^{\mathit{\text{T}}}$로 정의할 수 있다. 회전 벡터는 ${\stackrel{\to }{q}}_{\mathit{\text{R}}}={[q_0{q}_1{q}_2{q}_3]}^{\mathit{\text{T}}}$을 만족해야 한다. 이동벡터는 ${\stackrel{\to }{q}}_{\mathit{\text{T}}}={[q_4{q}_5{q}_6]}^{\mathit{\text{T}}}$로 정의 한다. 포인트 클라우드 점 군 데이터의 집합과 목적 데이터 집합의 매칭 작업을 수행한 후에 두 집합 간의 거리오차의 제곱의 합을 식 (1)과 같이 표현할 수 있다. 여기서 포인트 클라우드 점 군 데이터로부터 목적 데이터로 변환하는 회전행렬(R)은 식 (2)과 같이 나타날 수 있다.

$f\left(\stackrel{\to }{q}\right)$을 최소화시키기 위하여 우선 포인트 클라우드 점 군 데이터의 집합(P)의 질량 중심($\stackrel{\to }{{\mathit{\text{μ}}}_p}$)과 목적 점 군 데이터의 집합(X)의 질량 중심($\stackrel{\to }{{\mathit{\text{μ}}}_x}$)을 계산해야 한다. 계산식은 식 (3),(4)와 같다.

두 점 군 데이터 집합의 질량 중심과 점 군 데이터를 이용하여 포인트 클라우드 점 군 데이터의 집합(P)과 목적 점 군 데이터의 집합() 사이의 교차공분산(cross-covariance) 행렬($\underset{}{\sum }{}_{px}$)을 식 (5)과 같이 계산할 수 있다.

식 (5)에 있는 각 항을 통해 4×4의 대칭행렬($\mathit{\text{Q}}(\sum {}_{px}))$)을 정의할 수 있다. 다음 식 (6)과 같다.

여기서, $\begin{array}{c}tr\left(\begin{array}{c}{\sum }_{px}\end{array}\right)\end{array}$는 교차공분산 행렬에 대각선 요소들의 합이고, $∆={\left[{\mathit{\text{A}}}_{23}{\mathit{\text{A}}}_{31}{\mathit{\text{A}}}_{12}\right]}^{\mathit{\text{T}}}$는 비대칭 행렬 ${\mathit{\text{A}}}_{ij}={\left({\sum }_{px}{\sum }_{px}^{\mathit{\text{T}}}\right)}_{ij}$을 이용하여 구성하는 열 벡터(column vector)이고, I₃는 3×3의 합동 행렬(identity matrix)이다. 식 (6)로 계산한 $\mathit{\text{Q}}(\sum {}_{px}))$의 최대 고유 값(maximum eigenvalue)과 대응하는 최대 고유 벡터(maximum eigenvector)는 식 (7)과 같이 나타난다.

식 (7)에서 정의한 고유 벡터는 포인트 클라우드 점 군 데이터의 집합(P)로부터 적 점 군 데이터의 집합(X)로 변환하는 최적 회전변환이다. 그 다음에 식 (2),(3),(4)를 이용하여 최적 이동벡터(${\stackrel{\to }{\mathit{\text{q}}}}_{\mathit{\text{T}}}$)을 계산하면 식 (8)과 같다.

Figure 6

Flow chart of ICP algorithm

마지막으로 포인트 클라우드 점 군 데이터의 집합(P)로 부터 적 점 군 데이터의 집합(X)로 변환하는 최적 회전행렬과 최적 이동벡터를 이용하여 동차 변환행렬(T)을 구성할 수 있고, 식 (9)와 같다.

앞서 언급했던 ICP 알고리즘은 $f_i\left(\stackrel{\to }{q}\right)-f_{i+1}\left(\stackrel{\to }{q}\right)$의 값이 지정한 임계값(threshold) 보다 작을 때까지 반복해야 한다. 이러한 ICP 알고리즘을 실행하는 절차는 Fig. 6과 같다.

3.2 포인트 클라우드 기반의 블록 오차예측 프로세스

선박 블록의 대조립 작업을 빠르고 안전하게 진행하기 위하여 도크 내에서 탑재하기 전에 각 블록의 오차예측 작업을 수행해야 한다. 블록의 오차를 측정하기 위하여 우선 실 블록의 포인트 크라우드 점 군 데이터와 CAD 모델의 특이점 군 데이터가 있어야 한다. 이러한 소스 데이터(source data)를 얻은 방법은 Fig. 7과 같이 선박 정도 관리자가 3차원 레이저 스캐너를 이용하여 블록의 접합면을 스캔해서 블록 접합면의 포인트 클라우드 점 군 데이터를 얻을 수 있는 것이다. 또한, Fig. 8과 같이 3차원 CAD 시스템에서 대응하는 블록 접합면에 있는 특이점 군 데이터를 추출할 수 있다.

Figure 7

Field point clouds data collection for hull block

Figure 8

Extracted vital points data from CAD model

Fig. 9에서 도시한 바와 같이 실 블록 접합면의 포인트 클라우드 점 군 데이터와 3차원 CAD 모델에서 추출된 특이점 군 데이터를 VTK 기반의 정도관리 시스템에 입력한 후, 시스템은 두 점 군 데이터 집합을 대하여 포인트 매칭을 수행한다. 이 작업을 수행할 때, ICP 알고리즘을 통해 3차원 공간에서 포인트 클라우드 점 군 데이터와 특이점 군 데이터의 변환관계를 찾아서 두 점 군 데이터 집합 사이의 변환행렬을 계산하게 되며, 이 변환행렬을 이용하여 두 점군 데이터 집합 간의 대응점을 서로 매칭할 수 있다. 그런 다음, 오차를 계산하는 단계에 들어가서 식 (10)을 이용하여 서로 매칭시킨 대응점 간의 거리를 계산할 수 있다.

Figure 9

Process of error prediction for hull block

여기서, 3차원 공간에서 ${\stackrel{\to }{p}}_i=(x_i,y_i,z_i)$와 ${\stackrel{\to }{q}}_j=(x_j,y_j,z_j)$로 두 점을 가정한다. $d(\stackrel{\to }{p_i},\stackrel{\to }{q_j})$은 두 점간의 거리이다. 따라서 서로 대응하는 점간의 오차거리는 식 (10)을 이용해서 구할 수 있다. 단, 구한 오차거리 $d(\stackrel{\to }{p_i},\stackrel{\to }{q_j})$은 허용범위 내의 오차 d_allow을 만족하는 지를 일일이 확인해야 한다. 마지막으로 모든 대응점 간의 오차거리, 허용오차 만족 여부 등의 정보를 정도관리 오차 보고서에 표시할 수 있도록 출력하여 정도관리 시스템의 인터페이스에서 대응점을 매칭시킨 후의 상태를 가시화하게 된다. 오차 보고서를 통해 오차가 많이 발생한 위치에 대해서 블록을 도크로 움직인 전에 특수 가공법을 이용하여 허용오차 법위 내로 오차를 줄이게 된다.

4.1 프로토타입 테스트

본 절에서는 제안한 선박 블록 오차예측 방법의 가능성을 검토하기 위하여 프로토타입의 테스트를 수행하였다. 3차원 CAD 시스템에서 블록의 모델을 이용하여 선박 블록의 Hopper Tank 부분의 특이점 군 데이터를 추출하였으며, 3차원 레이저 스캐너를 이용하여 같은 위치의 포인트 클라우드 점 군 데이터를 얻었다. 특이점 군 데이터와 포인트 클라우드 점 군 데이터의 비교 작업을 ICP 알고리즘을 적용해서 수행하였다. VTK 라이브러리를 활용하여 구현한 결과는 Fig. 10과 같다. 그리고 계산된 회전행렬과 이동행렬이 Table 1과 같이 나타난다. Fig. 10에서 파란색 점군 데이터는 포인트 클라우드 점군 데이터이고, 빨간색 점군 데이터는 CAD 모델에서 추출된 특이점 군 데이터를 나타낸다. 초록색 점군이 있는 위치는 두 점 군을 매칭시킨 후에 포인트 클라우드 점군의 이동/회전한 위치이다.

Figure 10

Result of point cloud matching based on ICP algorithm from VTK

4.2 결과 분석

VTK로 구현한 결과를 검증하기 위하여 MATLAB를 통해 포인트 클라우드 점군 데이터와 CAD 모델에서 추출된 특이점 군 데이터의 매칭 프로세스를 다시 수행하였으며, 결과를 Fig. 11에서 보이고 있다. 회전행렬과 이동행렬은 Table 2에서 나타내고 있다. Table 1과 2를 비교해 보면, VTK에서 계산된 회전행렬과 이동행렬은 MATLAB를 이용하여 계산된 결과와 비슷하게 나타난다. ICP 알고리즘을 통하여 계산을 5회 이상 반복한 결과, RMS(root mean square) 오차가 5.3965mm에서 수렴하였고, ICP 알고리즘은 20번을 반복 하였을 때까지 걸린 시간은 0.0077sec 걸렸으며, Fig. 12와 같다.

대응점 간의 오차는 Fig. 13에서 나타내고 있다. 11번 대응점 간의 직선 오차거리가 제일 크고, 9.3382mm의 오차가

Figure 11

Result of point cloud matching by using MATLAB (a) before using ICP algorithm (b) after using ICP algorithm(blue circle: target point data set, red point: source point data set)

Figure 12

Relationship between iteration and RMS error

발생하였으며, z축의 “+”방향에서 오차는 6.8258mm로 가장 크게 발생하였고 11번 대응점 간의 x축의 “+”방향에서 오차는 6.0880mm로 가장 크게 발생하였다. 또한 8번 대응점 사이의 y축의 “-”방향에서 오차는 6.5293mm로 가장 크게 발생하였다.

Figure 13

Analysis for each corresponding points

테스트 통하여 획득한 결과를 종합적으로 분석하였다. 선박 블록 정합을 위하여 ICP 알고리즘을 적용한 점군 데이터의 매칭과 대응점 간의 오차예측을 수행하였다. 대부분의 오차 값은 조선소에서 요구 정도 범위(±7mm) 내로 들어오는 것을 확인할 수 있다. 다만, 3차원 레이저 스캐너를 이용하여 얻었던 포인트 클라우드 점군 데이터 중에 Fig. 11을 보이는 것과 같이 제거할 수 없는 잡음 데이터(noise data)의 존재로 일부 오차 범위를 벗어나는 것을 확인할 수 있다. 따라서 점군 정합의 정밀도를 높이기 위하여 포인트 클라우드 점군은 CAD 모델에서 추출된 특이점 군과 정합하기 전에 잡음 데이터를 제거하는 전처리 과정이 필요하며, 본 논문에서는 선박 블록의 Hopper Tank 형상을 특징구역으로 설정하여, 3차원 레이저 스캐너를 이용하여 얻었던 포인트 클라우드 점군 데이터에 대해서 특징구역 외부에 있는 잡음 데이터를 제거하였다. 그러나 특징구역 내부에 있는 잡음 데이터의 경우에는 제거 하기 까다로워 별도의 잡음 데이터를 제거하지 못하였기 때문에 두 점군의 정합작업에 영향을 미친 것으로 확인하였다.