2.1 유체-구조 연성해석 기법

구조-유체 연성해석을 이용하여 주 흐름 방향에 대해 수직 방향으로 물체의 이동 변위가 발생하는 와류유기진동 해석을 수행하기 위해서 매 시간 간격마다 움직이는 물체에 따라서 격자가 효과적으로 재구성되어야 한다. 이에 본 연구에서는 Fig. 1에 보는 바와 같이 매 시간 단계에서 전산유체해석을 통해서 물체에 작용하는 비정상 유체력을 계산하고, 이에 의해 발생하는 물체의 동적 변위를 강체 운동방정식을 수치 해석 하여 산정하는 과정을 구성하였다. 이동된 물체의 위치를 고려 하여 물체 주위의 유동장 격자를 재생성하고 이에 대한 전산 유체해석을 수행하는 과정을 반복하였다.

격자의 재생성을 위한 방법으로 Smoothing, Layering, Remeshing 등이 있는데, Smoothing 기법은 스프링 상사를 기반으로 인접한 격자점의 위치 변화를 결정하는 방법이다. 주로 변위가 작은 경우에 사용되며, 격자점의 수와 격자 간의 연결에는 변화가 없으며 주로 삼각격자가 사용된다. 두 번째로 Layering 기법은 변위가 발생하는 영역의 격자가 표면에 인접한 격자의 높이에 따라서 새로 생성하거나 제거되는 방법 이다. 주로 선형적인 움직임을 갖는 대상에 사용되며, 사각 격자를 사용한다. 세 번째는 Remeshing 기법으로 격자의 비틀림 정도와 격자 크기에 따라서 격자를 재생성하는 방법 이다. 비틀림 정도와 격자 크기가 설정한 최솟값 이하인 경우 격자는 삭제되며, 최댓값 이상인 경우 격자를 나누어서 재생성 한다. 격자는 삼각 및 사각 격자가 사용되고 변위가 비교적 큰 대상에 적용할 수 있으며, 주로 Smoothing 기법과 같이 사용하여 격자의 품질을 향상시키며 시간 간격이 큰 경우에도 사용할 수 있다. 본 연구에서는 이상의 기법 중 Remeshing 기법을 이용하였다.

본 연구의 해석대상은 Fig. 2와 같이 균일유입유속 U의 주 흐름이 있는 2차원 공간에 단위 길이당 질량 m인 원형 실린더가 동유체력 F(t)에 의해 주 흐름에 수직 방향으로 자유 진동하는 1 자유도의 구조시스템이다. 이때 대상 구조 시스템의 강성계수와 감쇄계수는 각각 k와 c로 정의한다.

Figure 1

Computational strategy

Figure 2

Given flow condition

2.2 전산유동해석 지배방정식

전산유동해석을 위한 지배방정식은 2차원 Navier-Stokes 방정식과 연속방정식으로 식 (1)과 (2)에 각각 나타내었다.

여기서, u_j는 속도이며 2차원 유동이기 때문에 j=1, 2로써 x, y방향을 나타내고 ρ는 공기의 밀도, P는 압력, μ는 동점성계수이다.

이와 같이 유체의 유동해석에 사용되는 Navier-Stokes 방정식은 비선형 편미분 방정식으로서 아래와 같은 방법을 사용하여 이산화한 후 대수방정식으로 변화하여 수치해석을 수행한다. 비선형 편미분 방정식을 이산화하는 대표적인 방법 에는 유한체적법(finite volume method), 유한차분법(finite difference method), 유한요소법(finite element method) 등이 있다. 먼저 유한체적법은 해석 영역을 유한개의 유한체적 (finite volume)으로 세분화하여 각 유한체적을 적분한 후 인접한 유한체적과의 관계를 계산하여 근삿값을 구하는 방법 이다. 두 번째로 유한차분법은 유한개의 격자에서 서로 이웃한 격자의 위치변화에 대하여 미분방정식의 미분을 차분식을 이용하여 근삿값을 구한다. 세 번째는 유한요소법으로 해석 대상을 유한개의 요소(element)로 나누어 각각의 요소를 계산한 후 해석 영역의 전체 요소를 취합하여 근삿값을 구하는 방법이다. 본 연구에서는 이상의 방법 중 유한체적법을 기반으로 하였으며 운동량방정식과 연속방정식을 결합하는 알고리즘은 PISO(pressure implicit with splitting of operators)를 사용하였다. 이산화 과정에서 대류항의 보간법은 2차 정확도의 풍상측 차분법(second-order upwind), 격자 중심에서 해석변수에 대한 구배는 최소자승법(least-squares cell based), 압력에 대한 보간법은 PRESTO(pressure staggering option)를 적용하였다.

2.3 물체 운동방정식

와류유기진동 해석은 매 시간 간격마다 움직이는 물체를 모사해야 하는데, 본 연구에서는 2차원 영역에서 원형 실린더가 주 흐름 방향에 대하여 수직 방향으로 1자유도의 자유진동을 하도록 하였다. 주 흐름 방향을 X라고 할 때 수직 방향의 변위를 Y에 대한 물체의 운동방정식은 식 (3)에 나타내었다.

위의 운동방정식은 수치해석을 하기 위하여 무차원화하여 나타내면 식 (4)와 같다.

$x=\frac{X}{D},y=\frac{Y}{D}$      (4b)

$C=2\xi \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{U_{red}}\right)$      (4c)

$K={\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{U_{red}}\right)}^2$      (4d)

$U_{red}=\frac{U}{f_{n}D}$      (4e)

$\xi =\frac{c}{2\sqrt{km}}$      (4f))

$f_n=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\sqrt{\frac{k}{m}}$      (4g)

$n=\frac{m}{\rho D^2}$      (4h)

여기서, x와 y는 실린더의 직경 D로 무차원화된 주 흐름 방향과 수직방향 변위, K와 C는 무차원화된 구조물의 강성도와 감쇄비. U_red는 감소속도(Reduced velocity), ξ는 감쇄비, f_n은 물체의 고유진동수, n은 질량비이다.

또한 본 연구에서는 주 흐름에 수직방향의 진동만을 대상 으로 1 자유도 구조시스템을 대상으로 함으로 C_L은 주 흐름에 수직방향으로 물체에 작용하는 무차원 양력계수를 나타낸다. 이외에 물체에 작용하는 동유체력으로 주 흐름 방향의 항력도 발생하는데 식 (5)는 항력 F_D와 양력 F_L에 의한 항력계수와 양력계수를 나타낸다.

식 (4a)에 나타낸 동유체력이 작용하는 물체의 운동방정식에 2차 Runge-Kutta 기법을 적용하여 매 시간 간격마다 물체의 새로운 수직 변위를 추적하였다.

3.1 해석영역 및 경계조건

본 연구에서 이용된 전산유체해석을 위한 영역과 격자는 Figs. 3~5에 나타내었다. 원형실린더의 전방과 후방에 각각 11D와 45D의 영역을 설정하여 전방 경계면과 후방 경계면이 물체 주위 유동에 미치는 영향을 최소화하였으며, 측면에도 각각 12D의 간격을 설정하였다. 운동하는 실린더의 주위의 격자를 매 시간 간격마다 재생성 해주는 Remeshing 기법을 사용하였으며, Remeshing 영역의 격자가 설정된 비틀림 각도 또는 격자 크기가 정의된 최댓값을 초과했을 때 격자가 재구성되도록 비틀림 정도는 최대 0.4이고 격자 크기는 최소 0.005D와 최대 0.008D로 설정하였다. Remeshing 영역의 격자는 삼각형으로 설정하였고, 나머지 해석영역은 사각형 격자를 사용하였다. Remeshing영역의 격자는 Fig. 5에 나타내었다. 특히 실린더 주위는 해석의 정확성을 높이기 위해서 사각형 격자를 사용하였다.

Figure 3

Computational domain and boundary condition

Figure 4

Computational grid

Figure 5

Close-up of remeshing region

경계조건은 Fig. 3에 보는 바와 같이 균일유입유속 U의 흐름이 전방 경계면에서 영역으로 유입되도록 하였으며, 후방 경계면에서는 정압을 0pa로 설정하였다. 또한 측면 경계에서는 미끄러짐 조건을 설정하였다.

4.1 Lock-in 영역에서의 구조응답주파수

본 연구에서는 2차원 원형 실린더에서 층류에 해당하는 레이놀즈 수(reynolds number, Re) 90에서 140까지 1 자유도의 자유진동해석을 수행하였다. 이 때 레이놀즈수는 Re=_ρUD/μ로 정의된다. 와흘림 주파수(f_s)와 물체의 고유 진동수(f_n)간의 관계를 Fig. 6에 선행연구의 결과와 비교하여 나타내었다. 선행연구의 결과에서 Lock-in 영역의 범위가 일정하지는 않지만 공통적으로 Re=100 부근에서 발생하는 것을 확인할 수 있다. 특히, 수치해석을 이용한 Dettmer와 Peric(2006)의 결과와 유사함을 보였으나 실험 결과인 Anagonostopoulos와 Bearman(1992)의 Lock-in 현상은 범위가 비교적 크게 나타났다. 이는 3차원 공간의 실험 결과로서 수치해석을 수행한 기타 연구에서는 3차원 영향을 고려하지 않아 발생한 차이로 판단된다. Lock-in 이전 및 후의 결과가 여타 선행 결과들과 경향이 유사한 것을 확인 하였다. 본 연구는 와류유기진동 현상의 특징인 Lock-in 현상을 구현하였고, 이는 와흘림 주파수가 구조시스템의 고유 진동수 근처에서 고착되는 것으로서 Fig. 6에서 확인할 수 있다. 레이놀즈수가 증가함에 따라 와흘림 주파수는 점차 증가하다가 Re=99일 때 와흘림 주파수가 고유진동수 근처에서 고착되기 시작하여 Re=104까지 일정하게 유지되고 Lock-in 영역 이후에는 다시 증가하는 것을 확인하였다. Lock-in 현상이 발생하는 유동조건에서는 공진현상이 발생하여 운동 진폭이 증가하는 특징이 있는데, 이는 Fig. 7에 보이는 수직 변위의 RMS(root-mean-square) 변화에서 나타나고 있다. Lock-in 영역에서 실린더의 수직변위의 RMS는 직경의 약 14%이며 Lock-in 영역 전, 후의 수직변위는 미소하였다.

Figure 6

Comparisons of vortex shedding frequency between present and previous studies

Figure 7

RMS of vertical displacement versus reynolds numbers

4.2 항력계수와 양력계수

Fig. 8~10은 레이놀즈수의 변화에 따른 동유체력 변화를 나타내었다. Lock-in 현상이 발생되었을 때 Fig. 8에 나타낸 평균항력계수(C^-_D)가 Lock-in 현상 전후에 대해 약 15% 증가한 반면, Fig. 9의 양력계수의 RMS(C_L')는 3배 가까이 급격하게 증가한 것을 확인할 수 있다. 따라서 유체의 유입방향과 수직으로 작용하는 양력의 급격한 증가로 인하여 Fig. 7에 보인 바와 같이 실린더의 수직변위가 크게 증가된 것으로 판단된다. Fig. 10은 항력계수의 RMS(C_D')를 나타 냈는데 양력계수의 RMS에 비해 작지만 Lock-in 영역에서 증가가 나타나는 것으로 판단할 때, 수평방향의 움직임까지 고려한 2 자유도 운동의 경우 수평방향의 유기진동도 발생할 수 있음을 알 수 있다.

Figure 8

Mean drag coefficient versus reynolds numbers

Figure 9

RMS of lift coefficient versus reynolds numbers

Figure 10

RMS of drag coefficient versus reynolds numbers

4.3 와흘림 주파수와 파장구조 분석

본 연구에서는 연속된 와흘림의 중심부간 거리를 와흘림 파장(λ)로 Fig. 11과 식 (6)에서 보는 바와 같이 정의하였 으며, 무차원 와흘림 주파수인 스트로홀 수(S_t)는 식 (7)에 나타내었다.

Figure 11

Define of vortex shedding distance between center of cylinder(λ)

Figure 12

Strouhal number versus reynolds numbers

Figure 13

Distance of vortex shedding versus reynolds numbers

여기서, T는 와흘림의 주기이다. Fig. 12는 레이놀즈수 변화에 따른 의 변화를 나타낸다. Lock-in 영역에서 레이놀즈수가 증가함에 따라서 는 감소하였는데, 이는 Lock-in 영역에서는 와흘림 주파수가 일정해지는 반면 유속은 증가하기 때문이다. 반면에 Fig. 13에서 보는 바와 같이 Lock-in 영역에서 와흘림 주파수가 일정하고 유속은 증가함으로 연속된 와흘림의 중심부간 거리가 증가한 것을 확인할 수 있다. 그리고 Lock-in 영역 이외의 구간에서는 유입속도의 증가율보다 와흘림 주파수의 증가율이 크기 때문에 연속된 와흘림 사이의 거리는 감소하고 스트로홀수는 증가하는 것으로 판단된다.

4.4 동유체력과 구조 응답의 상관 분석

Figs. 14~16은 각각 Lock-in 발생 이전, Lock-in 영역 및 이후에 해당하는 레이놀즈수 90, 100 및 115의 경우에 양력계수와 실린더 수직변위의 시간 이력을 나타낸다. 모든 경우에 동유체력인 양력과 구조 응답인 수직변위의 주기는 동일한 것으로 나타나며 이로 부터 구조 응답이 절대적으로 동유체력에 종속적임을 알 수 있다. 반면에 양력과 수직변위의 위상차는 유동조건에 따라 급격하게 변함을 알 수 있는데, Lock-in 발생 이전에는 위상이 일치하여 거의 완벽한 상관 관계를 나타내는 반면 Lock-in 발생 이후 영역에서는 위상이 정반대로 나타났다. 한편 Lock-in에 해당하는 영역에서는 그 중간에 해당하는 위상차를 보이고 있다.

Figure 14

Time histories of lift coefficient and vertical displacement at Re=90

해석된 전 유동조건에 대해 실린더의 수직변위와 양력의 상관계수를 분석한 결과, Fig. 17에 보는 바와 같이 Lock-in 발생 이전에는 상관계수가 (+1)을 나타낸 반면 Lock-in 이후에는 (-1)을 나타내었다. 그리고 Lock-in에 해당하는 영역에서는 유동조건에 따라 상관계수가 (+1)에서 (-1)로 천이함을 확인할 수 있다.

Figure 15

Time histories of lift coefficient and vertical displacement at Re=100

Figure 16

Time histories of lift coefficient and vertical displacement at Re=115

Figure 17

Correlation coefficient of lift coefficient and vertical displacement versus Reynolds number

4.5 유동조건 변화에 따른 와흘림 특성 변화

앞 절에서 기술한 Lock-in 영역을 기준으로 나타나는 양력과 수직변위의 위상차 변화를 후류에 발달한 와흘림 특성으로 통하여 분석하였다. 이를 위하여 Fig. 18에 설명된 바와 같이 실린더의 수직변위가 최소일 때와 0일 때 그리고 최대일 때 발생하는 후류의 유선을 Figs. 19~21에 나타내었다.

Figure 18

Definition of position of vertical displacement

Figure 19

Streamline at y=(a) min, (b) 0, (c) max for Re=90

Figure 20

Streamline at y=(a) min, (b) 0, (c) max for Re=100

Lock-in 영역 이전에 해당하는 Re=90인 경우(Fig. 19), 실린더의 수직변위가 최소일 때 와류는 실린더의 아랫면에서 발생하였고, 실린더의 수직변위가 최대일 때 와류는 실린더의 윗면에서 발생하였다. 이는 Fig. 14에 보인 바와 같이 양력과 수직변위의 위상이 같은 결과로 나타난다. 반면에 Fig. 21의 Re=115의 경우는 Lock-in 영역 이후로서 이전의 현상과 정반대로 나타났다. 실린더의 변위가 최소일 때 와류는 실린더의 윗면에서 형성되고 실린더의 변위가 최대일 때 와류는 실린더의 아랫면에서 발생하였다. 이 결과 역시 Fig. 16에 보인 반대의 위상으로 나타남을 알 수 있다. Lock-in 영역에 해당하는 Fig. 20의 Re=100의 경우는 Fig. 15에서 알 수 있듯이 실린더의 수직변위가 최소일 때 실린더의 변위가 최소일 때 아랫면에서 발생한 와류가 후류로 이송된 상태이며, 수직변위가 최대일 때는 윗면에서 발생한 와류가 후류로 이송되고 있음을 알 수 있다. 이는 Fig. 15에서 볼 수 있듯이 수직변위가 최소일 때 양력이 음(-)의 영에서 증가하는 구간에 해당하며 수직변위가 최대일 때 양(+)의 영역에서 감소하는 구간에 해당하는 것으로 나타난다.

Figure 21

Streamline at y=(a) min, (b) 0, (c) max for Re=115

Fig. 7, 9 및 17을 종합해 볼 Lock-in 발생 이전의 유동 조건에서는 양력과 수직변위의 위상이 동일함에도 불구하고 실린더의 수직변위는 실린더 직경의 1%이내로서 작게 나타 났다. 이는 Lock-in 영역 이전에는 상대적으로 낮은 유입속도 로서 낮은 U_red를 갖게 되어, 식 (4c)와 (4d)에 보는 바와 같이 구조물의 감쇄비와 강성도가 상대적으로 큰 값을 나타낸다. 따라서 실린더의 수직운동은 비교적 큰 감쇄비와 강성도에 의해 억제되어 수직변위가 미소한 것으로 판단된다.

Lock-in 영역 이후에는 반대로 높은 U_red에 의해 구조물의 감쇄비와 강성도가 상대적으로 작은 값을 갖게 되어 실린더의 수직변위가 더 크게 발생할 가능성이 있으나 양력과 수직 변위의 위상이 정반대가 되어 실린더의 운동이 양력에 의해 억제되므로 수직변위가 미소한 것으로 판단된다.

Lock-in 영역에서는 실린더의 변위와 양력의 상관계수가 낮았으며, 유입속도는 Lock-in 현상의 이후보다 작으며 구조물의 감쇄비와 강성도는 Lock-in 현상의 이전보다 상대적으로 큰 값에도 불구하고 Lock-in 영역에서 변위가 크게 증가한 것은 위상차가 엇갈리면서 Fig. 15와 같이 양력과 실린더의 운동이 중첩되어 변위가 증가되는 상호작용이 발생하는 것으로 판단 된다.