Multilevel Homogenization-Based Framework for Effective Analysis of Structures with Complex Regularity

Youngjae Jeon; Wanjae Jang; Seongmin Chang

doi:10.7734/COSEIK.2023.36.1.19

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Research Paper

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 28 February 2023. 19-26
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2023.36.1.19

Multilevel Homogenization-Based Framework for Effective Analysis of Structures with Complex Regularity

복합 규칙성을 가진 구조물의 효과적인 해석을 위한 다단계 균질화기반 해석 프레임워크

Youngjae Jeon¹

Wanjae Jang¹

Seongmin Chang²^*

전 영재¹

장 완재¹

장 성민²^*

¹Graduate Student, Department of Mechanical Engineering, Kumoh National Institute of Technology, Gumi, 39177, Korea

²Assistant Professor, Department of Mechanical Design Engineering, Kumoh National Institute of Technology, Gumi, 39177, Korea

¹금오공과대학교 기계공학과 석사과정

²금오공과대학교 기계설계공학과 조교수

^{*Corresponding Author}

ABSTRACT

Because of the development of computational resources, an entire structure in which many components are combined can be analyzed. To do so, the calculation time and number of data points are increased. In many practical industry structures, there are many parts with repeated patterns. To analyze the repetitive structures effectively, a homogenization method is usually employed. In a homogenization module, including commercial programs, it is generally assumed that a unit cell is repeated in all directions. However, the practical industry structures usually have complicated, repeated patterns or structures. Complicated patterns are difficult to address using the conventional homogenization method. Therefore, in this study, a multilevel homogenization method was devised to consider complex regularities. The proposed homogenization method divides the structure into several areas and performs multiple homogenizations, resulting in a more accurate analysis than that provided by the previous method.

Keywords

model order reduction

homogenization method

unit cell

equivalent properties

전산 자원의 발달로 여러 부품들이 결합된 전체 구조물에 대한 해석이 가능해져 해석에 필요한 계산 시간과 데이터의 양이 증가하였다. 이러한 전체 구조물에는 같은 부품이 반복되어 규칙성을 가지는 경우가 많다. 이러한 반복적인 구조물에 균질화 기법을 적용하면 효과적인 해석이 가능하다. 상용 프로그램의 일반적인 균질화 모듈에서 단위 구조는 모든 방향으로 반복된다고 가정한다. 하지만 실제 구조물들은 여러 단위 구조가 복잡하게 반복되는 경우가 많아 기존 균질화 기법을 적용하는데 어려움이 있다. 본 논문에서는 복잡한 반복성을 고려하는 다단계 균질화 기법을 제안한다. 제안된 균질화 기법은 구조물을 여러 영역으로 나누어 균질화를 수행하는 형태로 기존 기법보다 정확한 해석이 가능하다.

키워드

모델 차수 축소법

균질화 기법

단위 구조

등가 물성

MAIN

1. 서 론
2. 수 식
3. 제안된 균질화 기법
3.1 다단계 균질화 기법
3.2 반복구조의 방향성 고려
4. 수치 예제
4.1 단일 균질화 결과
4.2 기존 기법과 제안된 기법의 결과 분석
5. 결 론

1. 서 론

과거에는 하나의 부품만 해석이 가능했지만 전산 자원의 발달로 인해 여러 개의 부품을 결합한 전체 구조물에 대한 해석이 수행되고 있다. 규모가 큰 전체 구조물에 대한 해석은 많은 계산 시간을 필요로 한다. 이러한 구조물에서는 동일한 부품이 반복적으로 결합되는 경우가 많다. 이러한 반복적인 구조물들을 효과적으로 해석하기 위한 기법이 개발되고 있다(Chang et al., 2013; 2015a; Kim and Kim, 2020; Lim et al., 2021).

반복적인 구조물을 효과적으로 해석하기 위한 방법 중 하나는 복잡한 형태의 구조물 전체를 해석하는 대신 역학적 거동이 같은 간단한 형태를 찾아 해석하는 것이다. 이러한 방법 중 하나가 바로 균질화 기법이다. 균질화 기법은 비균질한 탄성체의 등가 물성을 도출하여 해석을 수행하는 기법이다(Chang et al., 2015b; Cho et al., 2008; Shin et al., 2012; 2013). 이때 반복적인 구조물에서 반복되는 하나의 패턴을 단위 구조라고 한다. 단위 구조의 반복적인 특성을 고려해서 해석하면 해석 시간을 단축시키고 정확한 해석을 수행할 수 있다.

균질화 기법은 효과적인 해석을 수행할 수 있다는 장점이 있지만 등가 물성이 정확하지 않거나 적절한 단위 구조를 선정하지 않으면 정확도가 감소할 수 있다. 정확한 등가 물성을 도출하기 위해 단위 구조가 반복되는 방향성을 고려하면 구조물을 효과적으로 해석을 수행할 수 있다. 복잡하게 반복되는 구조물의 경우 적절한 단위 구조를 선정하는데 어려움이 있기 때문에 기존의 균질화 기법을 적용하는 것이 적절하지 않을 수 있다.

따라서 본 연구에서는 기존 균질화 기법의 한계점을 보완하여 구조물의 복잡한 반복성을 고려하는 다단계 균질화 기법을 제안한다. 제안된 균질화 기법은 구조물을 단위 구조에 따라 여러 개의 영역으로 나누어 균질화를 수행한다.

균질화 기법의 정확도를 검증하기 위한 수치 예제로 인쇄기판형 열교환기(printed circuit heat exchanger, PCHE)를 활용하여 해석을 수행하였다. 균질화를 적용하지 않은 전체 모델 해석, 기존 균질화 기법을 적용한 해석과 제안된 균질화 기법을 적용한 해석을 수행했다. 이후 해석 결과를 이용하여 기존 기법과 제안된 기법의 정확도를 비교했다.

2. 수 식

균질화 기법을 이용하면 비균질한 탄성체를 역학적 거동이 비슷한 균질한 탄성체로 대체할 수 있다(Cho et al., 2010; Kim, 2009; Shin et al., 2016). 반복 구조물에 가상일과 이중 좌표계를 이용하여 균질화된 등가 물성을 도출할 수 있다. 등가 물성을 도출하는 수식은 다음과 같다. 먼저 전체 좌표계를 Fig. 1과 같이 거시적, 미시적으로 나누어 각각 x, y로 나타낸다.

(1)

X = X (x, y)

(2)

x = X, y = X / ϵ

거시 좌표계와 미시 좌표계의 비율 $l / L$ 을 𝜖이라는 매개변수로 나타낼 수 있다.

(3)

ϵ = \frac{l}{L}, 0 < ϵ = \frac{l}{L} < 1

$C$ 는 4차 강성 텐서이며 $u, v$ 는 각각 실제 변위와 가상 변위이다.

(4)

\int_{V^{ϵ}}^{} \nabla_{X} u : C : \nabla_{X} v d V_{X} = \int_{V^{ϵ}}^{} b ∙ v d V_{X} + \int_{S_{2}^{0}}^{} \bar{f_{s}} ∙ v d S_{X}

$u$ 를 𝜖의 차수별로 정리하면 다음과 같다.

(5)

u (X) = u^{0} (x, y) + ϵ u^{1} (x, y) + ϵ^{2} u^{2} (x, y) + \dots

식 (6)에서 단위 구조의 거동인 $X$ 를 계산하여 식 (7)에 대입하면 균질화된 등가 물성 $C_{H}$ 를 구할 수 있다.

(6)

\int_{\bar{V_{y}^{C}}}^{} \nabla_{y} v (y) : C : \nabla_{y} x d V_{y} = \int_{\bar{V_{y}^{C}}}^{} \nabla_{y} v (y) : C d V_{y}

(7)

C_{H} = \frac{1}{v o l (V_{y}^{C})} \int_{\bar{V_{y}^{C}}}^{} (C - C : \nabla_{y} x) d V_{y}

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Fig. 1.

Macroscopic and microscopic scale of repeated structure

3. 제안된 균질화 기법

3.1 다단계 균질화 기법

기존 기법은 구조물에서 반복되는 1개의 단위 구조를 선정하여 1개의 등가 물성을 도출한다. 하지만 구조물 내에 여러 개의 단위 구조가 복잡하게 반복되는 경우에는 1개의 단위 구조를 선정하기 어렵다. 따라서 이러한 경우 기존 기법을 적용하는데 한계가 있다.

또한 이방성을 가진 구조물에서 단위 구조가 x, y, z 축 방향을 포함한 다양한 방향으로 반복되는 경우 단위 구조가 반복되는 방향에 따라 물성의 방향이 달라진다. Fig. 2와 같이 물성의 크기는 같지만 물성의 방향이 다른 경우 해석 결과가 다르게 나온다. 따라서 균질화를 수행할 때 단위 구조가 반복되는 방향도 고려해야 하며 그렇지 않을 경우 해석 결과의 정확도가 떨어질 수 있다. 기존 기법은 선정된 1개의 단위 구조를 제외한 나머지 단위 구조를 고려하지 않기 때문에 나머지 단위 구조가 반복되는 방향은 해석 결과에 반영되지 못한다.

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Fig. 2.

Example of analysis results with different direction of elastic constant

기존 기법은 단위 구조의 다양성과 방향성을 고려하지 않으므로 복잡하게 반복되는 구조물에 기존 기법을 적용하기에는 한계가 있다. 따라서 복잡하게 반복되는 구조물에 대해 효과적인 균질화를 수행하기 위해 기존 균질화 기법의 한계를 보완하는 다단계 균질화 기법을 제안한다.

다단계 균질화 기법은 구조물의 영역을 나누어 균질화 과정을 여러 단계로 수행하는 기법이다. 구조물에서 반복되는 여러 개의 단위 구조에 대해 각각 균질화를 수행하므로 단위 구조의 다양한 형태, 각 단위 구조가 반복되는 방향에 따른 물성의 변화를 균질화에 반영할 수 있다.

Fig. 3은 균질화를 진행하는 과정을 나타낸 그림이다. 두 단계의 균질화를 수행한다. 첫 번째 단계에서는 반복적인 구조물을 단위 구조의 형태와 방향에 따라 여러 개의 영역으로 나누어 균질화를 수행한다. 두 번째 단계에서는 도출된 등가 물성을 단위 구조의 방향에 맞게 적용하여 1, 2차판을 적층한 모델에 대해 균질화를 수행한다. 제안된 기법은 다양한 단위 구조와 단위 구조의 방향성을 고려하여 균질화를 진행하므로 기존 기법의 한계를 극복할 수 있다.

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Fig. 3.

Strategy of PCHE sheet assembly

3.2 반복구조의 방향성 고려

Fig. 4와 같이 전체 좌표계를 $x^{'}$ , 국부 좌표계를 $y^{'}$ 으로 나타내며 𝜃는 전체 좌표계와 국부 좌표계의 각도를 나타낸다. 국부 좌표계에서 변위 벡터 $u^{'}$ 와 전체 좌표계에서 변위 벡터 $u$ 는 다음과 같은 관계를 가진다. $u_{α}$ 는 ${x^{'}}_{1}$ 축 방향 변위, $u_{β}$ 는 ${x^{'}}_{2}$ 축 방향 변위, ${u^{'}}_{α}$ 는 ${y^{'}}_{1}$ 축 방향 변위, ${u^{'}}_{β}$ 는 ${y^{'}}_{2}$ 축 방향 변위를 나타낸다.

(8)

u'_{α} = u_{α} \cos θ + u_{β} \sin θ

(9)

u'_{β} = u_{α} \sin θ + u_{β} \cos θ

이를 행렬 형태로 정리하면 다음과 같다.

(10)

\{\begin{matrix} {u_{α}}^{'} \\ {u_{β}}^{'} \end{matrix}\} = [\begin{matrix} l & m \\ - m & l \end{matrix}] \{\begin{matrix} u_{α} \\ u β \end{matrix}\}

(11)

\{\begin{matrix} {u_{α}}^{'} \\ {u_{β}}^{'} \end{matrix}\} = [\begin{matrix} l & m \\ - m & l \end{matrix}] \{\begin{matrix} u_{α} \\ u β \end{matrix}\}

여기서 , $l = \cos θ, m = \sin θ$ 이며 두 절점 $i, j$ 에 대해서 행렬식을 정리하면 다음과 같다. $u'_{α, i}$ 에서 $i$ 는 절점, 𝛼는 ${y^{'}}_{1}$ 축 방향 변위임을 나타낸다.

(12)

\{\begin{matrix} {u^{'}}_{α, i} \\ {u^{'}}_{β, i} \\ {u^{'}}_{α, i} \\ {u^{'}}_{β, i} \end{matrix}\} = [\begin{matrix} l & m & 0 & 0 \\ - m & l & 0 & 0 \\ 0 & 0 & l & m \\ 0 & 0 & - m & l \end{matrix}] \{\begin{matrix} u_{α, i} \\ u_{β, i} \\ u_{α, i} \\ u_{β, i} \end{matrix}\}

(13)

u^{'} = T u w i t h T = [\begin{matrix} \tilde{T} & 0 \\ 0 & \tilde{T} \end{matrix}]

변환식을 이용하여 평형방정식을 정리하면 다음과 같다.

(14)

T^{T} k^{'} T u = f

강성행렬 $k$ 는 다음과 같이 구할 수 있다.

(15)

k = T^{T} k^{'} T

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Fig. 4.

Global and local coordinate of bar element

4. 수치 예제

수치 예제를 통해 기존 기법을 적용한 해석과 제안된 기법을 적용한 해석의 결과를 비교했다. 두 기법의 정확도를 확인하기 위한 기준으로 예제의 전체 모델 해석 결과를 활용했다.

아래 그림은 열전달 효율을 높이기 위해 인쇄기판 개념을 적용시킨 열교환기이다. Fig. 5와 같이 인쇄기판형 열교환기는 1차판, 2차판, 헤더, 위판, 밑판으로 구성되어 있다. 1차판과 2차판은 서로 번갈아 가며 적층된다. 적층된 1, 2차판의 위쪽과 아래쪽에는 각각 위판과 밑판이 있으며 1차수 헤더와 2차수 헤더가 양쪽 옆면에 접합되어 있다.

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Fig. 5.

Structure of PCHE

Fig. 6과 같이 1, 2차판에는 냉각수가 흐를 수 있는 미세 유로가 새겨져 있으며 1차판과 2차판의 미세 유로는 대칭적인 구조를 가지고 있다. 냉각수는 헤더를 지나 미세 유로로 흐르게 되고 이를 통해 1, 2차수 사이에 열전달이 발생된다.

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Fig. 6.

Micro-channel layout for 1^st sheet and 2^nd sheet

Fig. 7과 같이 1차판과 2차판을 겹친 모델을 1, 2차판 적층 모델이라 하며 Table 1과 같이 structural steel의 물성을 적용했다. Fig. 8은 해석을 수행할 때 하중조건과 경계조건에 대한 그림이다. x축 방향으로 10N의 하중을 부여했으며 3면에 롤러 경계조건을 부여했다.

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Fig. 7.

1^st and 2^nd sheet stacking model

Table 1.

Material properties of structural steel

Material properties	Value
Elastic modulus [Pa]	2 E+11
Shear modulus [Pa]	7.6923 E+10
Poisson ratio	0.3
Density [kg/m³]	7850

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Fig. 8.

Loading and boundary condition

4.1 단일 균질화 결과

PCHE의 1차판과 2차판은 Fig. 9와 같이 단위 구조의 형태와 방향에 따라 part A와 part B로 구분할 수 있다. part A, B의 단위 구조에 대해 균질화를 수행하기 위해 상용 유한요소해석 프로그램인 Ansys의 material designer 기능을 이용하여 단위 구조의 등가 물성을 도출하였다. material designer를 이용하여 균질화된 등가 물성을 도출하는 과정은 본문 2장 수식에 설명된 형태와 동일한 형태로 진행된다. material designer 기능만을 이용하여 균질화를 하게 되면 part A에 대해 수평으로 반복되는 영역과 수직으로 반복되는 영역의 등가 물성을 각각 계산해야 하므로 본문 3.2장에 대한 방향성에 따라 matlab을 이용하여 단위 구조의 회전된 등가 물성을 구하였다. Table 2와 Table 3은 도출된 part A와 part B의 등가 물성을 나타낸 표이다.

Table 2.

Equivalent elastic constants of part A

Material properties		Value
Elastic modulus [Pa]	x	1.3003 E+11
	y	9.4394 E+10
	z	8.7529 E+10
Shear modulus [Pa]	xy	3.818 E+10
	yz	1.8751 E+10
	zx	3.5594 E+10
Poisson ratio	xy	0.3
	yz	0.19341
	zx	0.3
Density [kg/m³]		5103.7

Table 3.

Equivalent elastic constants of part B

Material properties		Value
Elastic modulus [Pa]	x	1.3004 E+11
	y	8.9971 E+10
	z	9.2974 E+10
Shear modulus [Pa]	xy	3.6567 E+10
	yz	1.16123 E+10
	zx	3.7128 E+10
Poisson ratio	xy	0.3
	yz	0.17697
	zx	0.3
Density [kg/m³]		5103.7

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Fig. 9.

Division of 1st and 2nd sheet

part A, B의 단위 구조에 대해 mesh convergence test를 진행했다. Table 4는 part A의 mesh convergence test 결과이다. 요소 개수가 702개일 때 수렴하는 것을 확인하였고 이에 해당하는 요소 크기인 0.9mm로 해석을 수행했다. Table 5는 part B의 mesh convergence test 결과이다. 요소 개수가 2783개일 때 수렴하는 것을 확인하였고 이에 해당하는 요소 크기인 0.7mm로 해석을 수행했다.

Table 4.

Mesh convergence test results of part A

Number of elements	Total deformation [1E-8m]
152	1.6191
407	1.6192
702	1.6195
2071	1.6195
3146	1.6195

Table 5.

Mesh convergence test results of part B

Number of elements	Total deformation [1E-8m]
319	1.6108
1296	1.6112
2783	1.6116
4134	1.6116
6880	1.6116

도출된 등가 물성의 정확도를 검증하기 위해 단위 구조의 기존 모델과 균질화된 모델에 대해 해석을 수행하고 결과를 비교했다. 균질화를 적용하지 않은 기존 모델에는 structural steel을 적용하였고, 균질화된 모델에는 도출된 등가 물성을 적용하였다. 하중 조건과 경계조건은 Fig. 8과 같이 10N의 힘을 x축 방향으로 부여했다. 등가 물성의 정확도를 검증하기 위해 part A와 part B의 단위 구조에 대해 x, z축 방향으로 반복 수를 증가시켜 가면서 해석을 수행했다. Fig. 10은 part A와 part B의 단위 구조에 대해 반복 수를 증가시킨 모델을 나타낸 그림이다. Fig. 11은 기존 모델과 균질화된 모델의 반복 수가 1×1일 경우에 total deformation의 최대값을 비교한 그림이다. part A의 해석 결과는 1.6195e-8m, 1.6157e-8m이며 part B의 결과는 1.6116e- 8m, 1.6127e-8m 로 차이가 매우 작다. Fig. 12와 Fig. 13은 part A와 part B의 단위 구조가 여러 번 반복될 때 total deformation의 최대값을 비교하여 오차를 나타낸 그래프이다. 1, 2차판에서 part A, B의 단위 구조는 무수히 많이 반복되는데 Fig. 12와 Fig. 13을 보면 반복 수가 증가함에 따라 오차가 점점 감소하는 경향을 보이므로 등가 물성을 1, 2차판에 적용하면 오차가 더욱 감소할 것으로 예상된다. 따라서 균질화된 등가 물성을 1, 2차판 적층 모델에 적용할 수 있음을 검증하였다.

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Fig. 10.

Reference model and homogenized model of part A, B with increasing number of unit cells

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Fig. 11.

Comparison of total deformation between reference model and homogenized model of part A, B

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Fig. 12.

Comparison of analysis results between reference model and the homogenized model of part A

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Fig. 13.

Comparison of analysis results between reference model and the homogenized model of part B

4.2 기존 기법과 제안된 기법의 결과 분석

기존 균질화 기법은 다양한 단위 구조가 여러 방향으로 반복되는 1, 2차판 적층 모델에 대해 part A의 등가 물성만을 일관된 방향으로 적용하여 해석을 수행한다. 따라서 1, 2차판에서 여러 방향으로 반복되는 part A, B의 방향성은 고려되지 않으므로 해석 결과의 정확도가 감소할 수 있다.

균질화를 1번만 수행한 기존 기법과 달리 제안된 기법은 단위 구조를 균질화 하는 단계와 1, 2차판 적층 모델을 균질화 하는 단계로 진행된다. 1, 2차판 적층 모델의 균질화 단계에서는 도출된 단위 구조의 등가 물성을 적용하여 균질화를 수행한다. 도출된 part A, B의 등가 물성을 일관된 방향으로 적용하는 것이 아닌 단위 구조가 반복되는 방향에 맞게 적용하여 균질화를 수행한다. part A의 경우 도출된 등가 물성을 수평으로 반복되는 부분과 수직으로 반복되는 부분에 대해 등가 물성을 회전시켜 단위 구조의 방향에 맞게 등가 물성을 적용하였다. 이를 통해 여러 단계로 균질화를 수행하므로 단위 구조가 반복되는 방향을 고려할 수 있고 이를 해석 결과에 반영할 수 있어 더 정확한 해석이 가능하다.

1, 2차판 적층 모델의 등가 물성은 Table 6에 나타나 있다. Fig. 14는 기존 모델과 균질화된 모델에 대해 해석을 수행하고 total deformation의 최대값을 비교한 그림이다. 해석 결과는 1.1264e-8m, 1.1505e-8m로 차이가 매우 작은 것을 확인할 수 있다.

Table 6.

Equivalent elastic constants of 1^st and 2^nd sheet stacking model using proposed method

Material properties		Value
Elastic modulus [Pa]	x	1.5646 E+11
	y	1.4757 E+11
	z	1.4823 E+11
Shear modulus [Pa]	xy	5.2313 E+10
	yz	4.7323 E+10
	zx	4.8168 E+10
Poisson ratio	xy	0.2661
	yz	0.25178
	zx	0.31137
Density [kg/m³]		6652.6

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Fig. 14.

Comparison of analysis results between reference model and homogenized model of 1st and 2nd sheet stacking model

기존 기법과 제안된 기법의 정확도를 검증하기 위해 1, 2차판 적층 모델을 5층 적층한 모델에 대해 해석을 수행하고 total deformation의 최대값을 비교하였다. 경계조건은 Fig. 8과 같이 x축 방향으로 10N을 가했으며 3면에 롤러 경계조건을 부여했다. Fig. 15는 전체 모델의 해석, Fig. 16은 기존 기법을 적용한 해석, Fig. 17은 제안된 기법을 적용한 해석을 수행하고 total deformation의 최대값에 대한 결과를 나타낸 그림이다. Fig. 18은 전체 모델에 대해 기존 기법과 제안된 기법의 오차를 나타낸 그래프이며 제안된 기법의 오차가 2.76%로 기존 기법에 비해 8.57배 더 작은 것을 확인할 수 있다.

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Fig. 15.

Total deformation of entire model

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Fig. 16.

Total deformation using previous method

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Fig. 17.

Total deformation using proposed method

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Fig. 18.

Deformation error of previous method and proposed method

이는 기존 기법이 하나의 단위 구조에 대해 등가 물성을 도출하고 해석을 수행하여 방향성이 고려되지 않는 반면 제안된 기법에서는 반복적인 구조물을 단위 구조의 형태와 방향에 따라 여러 영역으로 나누어 여러 단계로 균질화를 수행하였기 때문이다. 균질화를 여러 번 수행하여 여러 단위 구조의 복합적인 규칙성을 고려할 수 있었고 더 정확한 해석을 수행하였다. 따라서 PCHE와 같이 복잡하게 반복되는 구조물의 경우 제안된 균질화 기법을 적용하여 효과적인 해석을 수행할 수 있을 것으로 기대된다.

5. 결 론

반복적인 구조물에 대해 균질화 기법을 적용하면 빠르고 효과적으로 해석할 수 있다. 하지만 여러 개의 단위 구조가 복잡하게 반복되는 구조물의 경우 기존 기법을 적용하기 어렵다. 특히 단위 구조가 반복되는 방향을 고려해야 정확한 등가 물성의 크기와 방향을 도출할 수 있다. 이러한 한계를 보완하기 위해 단위 구조의 다양성과 방향성을 고려하여 영역을 나누고 균질화를 여러 단계로 수행하는 다단계 균질화 기법을 제안하였다. 인쇄기판형 열교환기를 활용한 수치 예제를 통해 기존 기법을 적용한 해석, 제안된 기법을 적용한 해석을 수행하여 결과를 비교하였고 이를 통해 기존 기법보다 제안된 기법의 정확도가 더 높았음을 확인하였다. 따라서 복잡하게 반복되는 구조물에 대해 제안된 기법을 적용하여 효과적인 해석을 수행할 수 있을 것으로 기대된다. 또한 제안된 기법을 활용하여 인쇄기판형 열교환기의 열전달 및 열응력 해석, 진동 해석 등을 수행하거나 전체 구조물의 거동을 단위 구조에 반영해 해석을 수행하는 등 여러 분야에 적용할 수 있을 것으로 기대된다.

Acknowledgements

This research was supported by Kumoh National Institute of Technology (2021).

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

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Multilevel Homogenization-Based Framework for Effective Analysis of Structures with Complex Regularity

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Fig. 1.

Macroscopic and microscopic scale of repeated structure

Fig. 2.

Example of analysis results with different direction of elastic constant

Fig. 3.

Strategy of PCHE sheet assembly

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Fig. 4.

Global and local coordinate of bar element

Fig. 5.

Structure of PCHE

Fig. 6.

Micro-channel layout for 1st sheet and 2nd sheet

Fig. 7.

1st and 2nd sheet stacking model

Table 1.

Material properties of structural steel

Fig. 8.

Loading and boundary condition

Table 2.

Equivalent elastic constants of part A

Table 3.

Equivalent elastic constants of part B

Fig. 9.

Division of 1st and 2nd sheet

Table 4.

Mesh convergence test results of part A

Table 5.

Mesh convergence test results of part B

Fig. 10.

Reference model and homogenized model of part A, B with increasing number of unit cells

Fig. 11.

Comparison of total deformation between reference model and homogenized model of part A, B

Fig. 12.

Comparison of analysis results between reference model and the homogenized model of part A

Fig. 13.

Comparison of analysis results between reference model and the homogenized model of part B

Table 6.

Equivalent elastic constants of 1st and 2nd sheet stacking model using proposed method

Fig. 14.

Comparison of analysis results between reference model and homogenized model of 1st and 2nd sheet stacking model

Fig. 15.

Total deformation of entire model

Fig. 16.

Total deformation using previous method

Fig. 17.

Total deformation using proposed method

Fig. 18.

Deformation error of previous method and proposed method

Acknowledgements

References

Micro-channel layout for 1^st sheet and 2^nd sheet

1^st and 2^nd sheet stacking model

Equivalent elastic constants of 1^st and 2^nd sheet stacking model using proposed method