2.1 NURBS 곡선

NURBS 기저함수는 B-Spline 기저함수를 이용하여 구성되며 B-spline 기저함수의 노트 집합은 다음과 같다(Piegl et al., 1997).

여기서, n은 조정점의 개수이며, p는 기저함수의 차수이다. B-spline 기저함수는 다음과 같이 재귀적으로 구성된다.

이와 같은 B-Spline 기저함수를 사용하여 p차 NURBS 기저함수는 다음과 같이 얻을 수 있다.

여기서, 는 각각의 번째 기저함수에 대응되는 가중치이다. p차 NURBS 기저 함수 와 조정점 를 사용하여 NURBS 곡선을 다음과 같이 표현할 수 있다.

2.2 NURBS 곡면

NURBS 곡면은 식 (6)과 같이 표현될 수 있으며, 기저함수는 식 (7)과 같이 텐서 곱에 의해 표현된다.

식 (7)에서 기저함수 와 의 노트는 각각 , 이다.

3.1 물질 도함수(Material Derivative)

Fig. 1과 같이 초기 영역 Ω에서 변경된 영역 Ω_τ로의 설계 변화를 고려하자.

변환식 T는 매개변수 τ로 표현될 수 있다고 할 때 와 는 매핑(mapping) , 를 구성한다. 여기서 설계 속도장은 다음과 같이 정의된다(Haug et al., 1986).

는 변형된 영역 Ω_τ에서 다음과 같은 경계치 문제의 부드러운 해로 생각할 수 있다.

${\mathit{\text{z}}}_{\text{τ}}=0,\text{ x}\in {\mathit{\text{Γ}}}_{\mathit{\text{τ}}}$

Figure 1

Material Derivative

여기서, A는 경계치 문제에서의 미분연산자이다. 선형 매핑 를 활용하면 에서 해의 물질도함수는 다음과 같이 표현된다.

      (10)

여기서, 은 설계변수에 관한 z의 편미분 항이다. 성능함수로서 영역 범함수(Domain functional) 와 경계 범함수(Boundary functional) 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

식 (11)과 (12)를 형상설계 매개변수 τ에 대하여 1차 변분을 취하면 다음을 얻는다.

여기서, 는 의 곡률이다.

3.2 아이소-지오메트릭 형상 설계민감도

선형 탄성체의 변분 방정식은 다음과 같이 약형식(Weak form)으로 쓸 수 있다(Lee et al., 2013).

z는 변위, 는 가상변위(Virtual displacement), 는 변위공간이다. 식 (15)에 대해 전미분($\stackrel{.}{z}=\stackrel{\text{'}}{z}+\nabla z^{\mathit{\text{T}}}\mathit{\text{V}}$)을 취한 설계민감도 식은 다음과 같다.

$a(\stackrel{.}{z},\stackrel{-}{z})={\int }_{\mathit{\text{Ω}}}^{}{\mathit{\text{C}}}_{ijkl}{z}_{i,m}{\mathit{\text{V}}}_{m,j}\stackrel{-}{z_{k,l}}d\mathit{\text{Ω}}+{\int }_{\mathit{\text{Ω}}}^{}{\mathit{\text{C}}}_{ijkl}{z}_{i,j}\stackrel{-}{z_{k,l}}{\mathit{\text{V}}}_{m,l}d\mathit{\text{Ω}}$

$-{\int }_{\mathit{\text{Ω}}}^{}{\mathit{\text{C}}}_{ijkl}{z}_{i,j}\stackrel{-}{z_{k,l}}d\mathit{\text{Ω}}-{\int }_{\mathit{\text{Ω}}}^{}{\mathit{\text{f}}}_i\stackrel{-}{z_{i,m}{\mathit{\text{V}}}_{m}d\mathit{\text{Ω}}}+{\int }_{\mathit{\text{Ω}}}^{}(f_i\stackrel{-}{z_l}){}_{,k}{\mathit{\text{V}}}_{k}d\mathit{\text{Ω}}$

는 체적력(Body force intensity), 는 표면력(Surface traction), H는 곡률(Curvature)을 의미한다. 아이소-지오메트릭 설계민감도 해석에서는 경계 적분항의 법선벡터와 곡률을 엄밀하게 표현할 수 있어서 높은 정밀도의 설계민감도 해석결과를 얻을 수 있다.

4.1 굽힘 하중을 받는 단순지지 구조물

Fig. 3과 같이 굽힘 하중을 받는 단순지지 구조물에 대해서 형상 최적설계를 수행하였다. 설계변수는 모델의 아랫면과 윗면의 조정점들의 위치로 설정하였으며, 사용 재료의 두께는 15mm이고, 영률과 포아송 비는 1356MPa와 0.3을 각각 이용하였다(Cha et al., 2013). 그리고 실험에서 변위 경계조건의 실험오차를 줄이기 위해 변위 경계조건이 가해지는 구조물 아랫면 양쪽의 지지부는 설계변수에서 제외하여 최적설계에서 평평한 형상을 갖도록 하였다. 굽힘 하중은 700N을 가하였다.

Figure 3

Model description

실험과정에서 단순지지 경계조건을 정확히 양끝 지점에 가하는 것이 힘들기 때문에 양끝에서 5mm 안쪽 지점에 경계조건을 가하여 형상 최적화를 수행하였다. 목적함수는 컴플라이언스를 최소화하는 것으로 하였으며, 허용 재료량은 초기 재료량과 동일하게 하였다.

최적화 알고리즘은 MMFD(Modified Method of Feasible Direction) 방법을 이용하였으며, 총 7회의 반복 계산을 통해 수렴된 결과를 얻었다. 컴플라이언스에 대한 최적화 이력은 Fig. 4와 같으며, 최적해에 매우 안정적으로 수렴하고 있음을 알 수 있다.

Figure 4

Optimization history of compliance

Fig. 5는 최적화의 결과를 나타낸다. Fig. 5(b)를 보면, Fig. 5(a)의 초기형상에서 응력이 크게 발생되는 영역에 재료가 집중적으로 분포되는 것을 알 수 있다. 그 결과 최적설계에서는 고 응력이 발생되는 영역이 현저히 감소하였으며, 전체적으로 고른 응력분포를 보임을 알 수 있다. 앞서 언급하였듯이 최적형상의 아랫면 양끝 부분이 평평하게 나타나는 것을 확인할 수 있으며, 실험 과정에서 이 부분에 변위 경계조건이 가해지게 된다.

Figure 5

Von-mises stress contour

4.2 인장력을 받는 유공판

Fig. 6과 같이 아랫면이 고정된 상태에서 윗면에 분포하중이 가해지는 유공판에 대한 형상 최적설계를 수행하였다. 구멍의 형상을 결정하는 조정점의 위치를 설계변수로 설정하였다.

허용 응력을 100MPa으로 설정하였으며, 재료 사용량을 최소화하는 최적화 문제를 구성하였다.

Minimize $\mathit{\text{m}}={\int }_{\mathit{\text{Ω}}}^{}d\mathit{\text{Ω}}$      (22)

Subject to $\frac{{\mathit{\text{σ}}}_{\mathit{\text{VM}}}\left(\mathrm{z}\right)}{{\mathit{\text{σ}}}_{allow}}-1\le 0$      (23)

Figure 6

Model description

최적화 알고리즘은 MMFD(Modified Method of Feasible Direction) 방법을 이용하였으며, 총 14회의 반복 계산을 통해 최적형상을 얻었다. 재료 사용량에 대한 최적화 이력은 Fig. 7과 같다.

Figure 7

Optimization history of volume

Figure 8

Von-mises stress contour

Fig. 8은 최적화의 결과를 나타낸다. Fig. 8(b)는 Fig. 8(a)에 비해서 구멍 주변에서 응력 집중이 많이 완화된 것을 알 수 있다. 또한 윗면에서는 분포하중이 가해지고, 아랫면에서는 고정단으로 지지되어 수평방향의 변위가 발생되지 못하므로 구멍의 좌우 방향의 대칭성은 유지되나 상하 방향의 대칭성은 상실된 것을 알 수 있다.

5.1 시편의 제작과정

Fig. 9에서는 실험 시편의 제작과정을 나타낸다.

1)CAD를 활용하여 초기 CAD 설계를 수행한다.

2)초기설계 CAD 모델을 직접 활용한 아이소-지오메트릭 형상 최적화를 수행한다.

3)아이소-지오메트릭 최적설계를 통해 최적형상의 엄밀한 CAD 정보를 얻는다.

4)CAD 정보를 3D 프린터로 보내 시편을 제작한다.

3D 프린터로의 입력 정보는 삼각 요소망의 각 절점 좌표 및 절점 간의 연결 관계이다. Fig. 10(a)와 같이 최적형상의 매개변수 영역을 균등한 간격으로 나누면, Fig. 10(b)의 물리적 공간에서 이에 대응되는 격자점들을 얻을 수 있다. 이러한 격자점들을 이어서 Fig. 10(c)와 같은 삼각 요소망을 생성할 수 있다. 이때 생성된 삼각 요소망은 해석을 위한 조정점과는 무관하며 3D 프린터의 입력 정보로만 활용된다.

최적설계 시편의 제작에 사용된 3D 프린터의 사양은 298 ×185×203mm의 제작공간에 328×328×606DPI의 해상도를 갖고, 25~59μm의 형상 정확도를 갖는다. Fig. 11은 3D 프린터를 이용한 시편 제작과정을 보여준다. 3D 프린터에서 삼각 요소망 정보를 입력받아 만들어진 시편에는 지지(Support) 물질이 남아있으므로, 가열 장치(Oven)을 이용하여 약 60℃의 온도에서 지지 물질을 녹여내게 된다.

Figure 9

Manufacturing process

Figure 10

Generating triangular mesh from CAD model

Figure 11

3D printing procedure

보다 정확한 실험을 위하여 구조물 제작에 사용되는 프린팅 재료의 물성치를 문헌상의 값을 이용하지 않고 시편을 실제로 프린팅하여 선형 범위 내에서 인장실험을 통해 영률을 측정하였다. 다섯 번의 실험결과, 그 평균값으로 프린팅 재료의 영률이 1,356MPa임을 확인하였다.

5.2 단순지지 구조물의 굽힘 실험

단순지지 구조물에 대하여 UTM(Universal Testing Machine)을 활용한 굽힘 실험의 결과는 Table 1과 같다. 총 20회의 실험을 수행하였으며, 상한 3개와 하한 3개를 제외한 결과들의 평균값으로서 실험값을 결정하였다.

일반적으로 구조물의 시제작을 의뢰하였을 때는 가공오차, 재료물성치의 변동성, 가공경화 등 물성치의 변화, 하중 및 경계조건의 엄밀한 구현의 난점으로 인하여 실험과 해석에서 90%이상의 높은 일치율을 얻기는 매우 어렵다. 그러나 본 논문에서는 초기설계와 최적설계 각각에서 수치해석과 실험 결과는 90%이상의 높은 일치율을 보이고 있으므로 실험으로 신뢰할 만한 결과를 얻었음을 알 수 있다. 또한, 동일한 부피를 사용한 초기설계에 비하여 최적설계 결과의 컴플라이언스 값이 더 작기 때문에 본 논문에서 수행한 아이소-지오메트릭 형상 최적설계가 유효함을 알 수 있다.

5.3 유공판의 인장 실험

유공판의 인장 실험에서는 엄밀한 경계조건을 부여하기 위하여 Fig. 12(a)와 같이 CAD에서 경계조건이 가해지는 영역을 추가로 모델링하여 Fig. 12(b)와 같이 제작하였다.

Fig. 13은 본 연구에서 사용된 비접촉식 3차원 변형 측정 장비이다. 본 장비는 2,448×2,050pixel의 고해상도 CCD 카메라 두 개를 장착하고 있으며, Frame rate은 최대 29Hz이다.

Figure 12

Additional parts for boundary conditions

Figure 13

3D non-contact displacement measurement

최적화 전, 후의 응력분포를 실험 장비를 활용하여 도시하였을 때, Fig. 14(a)의 초기설계에 비하여 Fig. 12(b)의 최적설계에서 구멍 주변에서의 응력 집중현상이 많이 완화되었음을 알 수 있다. 이는 응력제한 조건을 직접적으로 만족시키는 최적화 알고리듬 외에도 구조물의 전역 목적함수인 컴플라이언스를 최소화하는 방향으로 최적화가 진행되어 전반적으로 균일한 응력분포를 보임을 알 수 있다.

Figure 14

Experimental results