1. 서 론
냉간성형강(cold-formed steel)은 두께가 얇은 강판을 이용하여 여러 단면형상으로 제작한 부재를 말하며 무게에 비해 그 강도가 커서 트러스 및 압축을 받는 수직재 등에 폭넓게 사용되고 있다. 그러나 부재 단면에 비하여 두께가 얇은 관계로 (즉, 폭-두께비가 커서) 많은 경우 부재가 항복점에 이르기 전에 국부좌굴이 먼저 발생하게 된다. 냉간성형강에서 일반적으로 발생하는 좌굴은 크게 전체좌굴(global or overall buckling)과 뒤틀림좌굴(distortional buckling), 그리고 국부좌굴(local buckling)의 형태로 크게 대별되며 전체좌굴은 휨좌굴(Euler or flexural buckling), 비틀림좌굴(torsional buckling), 비틀림과 휨이 복합된 휨-비틀림좌굴(flexural-torsional buckling)등의 형태를 포함한다.
냉간성형강을 이용한 조립부재(built-up section)의 거동에 대한 연구는 현재까지도 미진한 편이며 그 거동은 조립한 부재사이의 전단력의 상호작용 등으로 매우 복잡하다. AISI (American Iron and Steel Institute, 2007) 및 국내의 냉간성형강 구조설계기준 및 해설(대한건축학회, 1999) 기준에서는 냉간성형강을 이용한 조립부재의 설계는 일반적인 열간압연재의 경우를 준용하여 왔다. 그러나 실제 열간압연 단면의 경우 휨에 의한 전체좌굴이 일반적인 반면, 냉간성형강 단면의 경우에는 국부비선형에 기인한 뒤틀림좌굴에 의해 파괴가 일어나는 경우가 더 많다.
본 연구에서는 이와같은 냉간성형강의 비선형좌굴에 대한 해석을 위한 모델링 기법을 제시하고자 한다. 연구에서는 유한요소 프로그램 ANSYS(Ansys, 2007)와 ABAQUS (Abaqus, 2007)를 이용하여 수치해석을 수행하고 냉간성형강에 대한 기존 좌굴실험(Brueggen and Ramseyer, 2003; Whitle, 2007; Biggs, 2007) 결과와의 비교를 통해 그 타당성을 확인하였다. 결과 해석은 ANSYS 프로그램을 위주로 수행하였으나 좌굴후거동에 대한 분석에 한계가 있는 경우에 대해 Abaqus/Explicit의 동적모델(dynamic model)을 준용하였다. 릭스(Riks) 방법을 사용한 내연적 모델(implicit model)은 실제 박판의 좌굴후거동 분석에 많이 사용되고 있지만 조립 부재와 같이 특성상 불연속체인 접촉(contact) 요소의 모델링이 필요한 경우에는 외연적 모델(explicit model)이 대안이 될 수 있다. 연구에서는 또한 뉴톤-랩슨(Newton- Raphson), 호장법(arc-length), 릭스법(Riks method) 및 중앙차분적분법(central-difference integration)등 여러 가지의 해석기법과 함께 부재 모델링의 유한요소도 입체요소(solid element)와 쉘요소(shell element)로 달리하면서 이들을 각각 적용한 상태에서 좌굴 및 좌굴후 거동을 해석하고 실험값과 비교, 분석하였다.
2. 냉간성형강의 좌굴실험
냉간성형강을 이용한 조립부재에 대한 실험은 Brueggen and Ramseyer(2003), Whittle( 2007), Biggs(2007)등의 기존 연구결과를 참조하였다. 실험에서는 Fig. 1에 나타낸 바와 같이 단일 단면(C형강)과 이를 조립하여 만든 조립단면 부재에 대해 양단 핀 상태에서 순수 압축하중을 가하였다. 실험 부재의 폭은 40mm, 65mm, 90mm의 3그룹(모델명에서는 각각 1, 2, 3으로 구분)으로 구성되었으며, 각 그룹은 1.6mm, 2.0mm, 2.5mm의 두께(모델명에서는 16, 20, 25로 구분)와 1,070mm, 1,410mm, 1,800mm의 길이를 갖는 부재로 구성되었다. Fig. 1에서와 같이 조립 부재의 형태는 C형강 부재의 열린 부분을 등지거나(I-형 단면, 모델명은 I로 명명) 또는 마주보는 형식(사각형 단면, 모델명은 R로 명명)으로 구성되었다. 부재의 조립은 용접을 통해 하였는데 부재를 따라 스티치용접(stitch welding)을 한쪽 (모델명은 SW로 명명) 또는 양쪽(모델명은 DW로 명명)에 하는 것으로 구분되었다. 부재의 길이를 따라 용접위치도 부재의 양단에만 하는 경우와 중간에 용접을 단속적으로 하는 경우로 구분하여 제작되었다. 즉, 양 단부에만 용접하고 길이 중앙에 용접이 없는 경우를 포함하여 중앙부 한 군데만 용접한 경우, 3등분점의 내부 두 곳에 용접한 경우, 6등분점의 내부 다섯 곳에 용접한 경우로서 각각 단속용접의 개수를 따라 모델명에서 1-, 2-, 5-로 구분된다. 따라서 시험체 DW1-16R3은 두께 1.6mm, 부재 폭 90mm의 부재를 이용하여 Fig. 1(c)에서 보이는 바와 같이 열린 부분을 마주보게 하고(R-타입) 부재의 길이 방향으로 중앙부 한 곳에 양쪽을 용접한 조립부재를 의미한다. 단부 및 부재 중간부의 단속용접 길이는 부재의 폭과 길이에 따라 달라진다. Fig. 2는 기존 좌굴실험(Brueggen and Ramseyer, 2003; Whitle, 2007; Biggs, 2007)에 대해 모델별로 실험값을 정리하여 하나의 그래프에 표현한 것으로 각 모델그룹은 1.6mm, 2.0mm, 2.5mm의 두께로 나누어 세 개의 열로 구분하고, 또한 조립단면의 형태 및 크기는 마크의 형태를 달리하여 표시한 것이다. 세로축의 비율은 AISI 기준(2007)의 공칭 설계강도에 대비한 실험값의 비를 나타내고 있다. 실험결과에 따르면 AISI 기준에서 제시하는 설계강도는 전체적으로 충분한 안전율을 갖는 것으로 나타났다.
3. 유한요소 해석
실험내용을 수치해석을 위해 이상화하는 유한요소모델링은 전처리과정에서 해석모델과 이에 따른 강성행렬을 구성하며 해석과정을 거쳐 후처리과정에서는 응력과 변형 등 해석결과를 보여준다.
3.1 해석 모델
범용 유한요소 프로그램인 ANSYS와 ABAQUS에 대한 전반적인 특징은 Table 1에 정리하였으며 조립단면에 대한 모델링의 예를 Fig. 3에 나타냈다. 각 프로그램은 재료비선형, 기하학적비선형 및 경계비선형 요소를 포함하고 있다. 재료비선형은 재료의 특성을 비선형 상관관계(constitutive relationship)모델을 이용하여 모델링한다. 기하학적비선형은 대변형 해석, 즉 구조체의 강성이 변형 형상의 함수로 표현되는 경우에 적용하며 경계비선형은 조립부재사이의 접촉(contact)의 문제에 적용한다.
Table 1
Finite element programs used for cold-formed nonlinear analysis
1Severe convergence problems encountered at the buckling state
Table 2
Material properties from coupon test for the numerical analysis
| Nominal thickness(mm) | Measured thickness(mm) | E(MPa) | v | Stress(MPa) | Strain(mm/mm) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| σy | σu | εy | εu | ||||
| 1.6 | 1.54 | 200,000 | 0.3 | 498 | 569 | 0.00241 | 0.00268 |
| 2.0 | 1.91 | 200,000 | 0.3 | 431 | 567 | 0.00209 | 0.00266 |
| 2.5 | 2.54 | 200,000 | 0.3 | 503 | 568 | 0.00243 | 0.00268 |
냉간성형강은 판을 구부리는 냉간압연과정에서 재료의 항복이 발생하여 단면의 강도가 증진되는 반면 구부러진 모서리의 중심에서 판 두께에 해당하는 거리(Fig. 3 참조)까지는 연성이 약화되는 것으로 알려졌다(Ashraf et al., 2005). 이 때문에 부재의 항복강도 및 종국강도는 각각 22%, 17% 증가하는 반면, 종국변형도는 절반으로 줄어들어 취성이 증가한다(Hancock et al., 2001). 해석에 사용한 부재의 탄성계수(
), 포아송비(
), 항복강도 및 항복변형도(
, 
), 종국강도 및 종국변형도(
, 
)는 Table 2에 정리하였으며 소성 변형을 겪는 모서리 부분의 응력 및 변형도는 Table 2에 정리된 응력 및 변형도의 값을 Hancock et al.(2001)가 제시하는 비율로 조정하여 사용하였다. 압축좌굴에 영향을 주는 인자인 잔류응력 및 초기처짐(initial imperfection)에 대한 영향은 해석에서 별도로 고려하지 않았다. 한편, Table 2에 나타낸 값은 ANSYS에의 입력을 위해 필요한 값이며 ABAQUS에서는 다음의 로그함수로 응력 및 변형도를 변환하여 입력하였다.
(1)
Fig. 3은 ANSYS의 해석모델을 나타낸 것이다. ANSYS의 모델링에서는 주로 박판의 모델에 적용하는 쉘요소인 SHELL181 요소와 함께 입체요소인 SOLID45 요소를 이용하여 좌굴상태와 좌굴후의 연화반응(softening response) 해석에 사용하였다. 일반적으로 입체요소는 쉘요소에 비해 더 가는 요소망을 사용해야 하지만 단면형태를 단순화해서 오차를 줄일 수 있어서 모델링에 더 합리적이다(Bakker and Pekoz, 2003). 단부의 힌지 지점은 접촉(contact)요소로 정의된 절점과 타겟(target)요소로 구성되는 강체(rigid body) 개념으로 모델링하였다. 부재의 강체변형을 지배하는 TARGE 170의 주절점(pilot node)은 부재 단부 단면 중심에 부여하여 부재에 편심이 없는 순수 축하중이 작용하도록 하였다. 슬레이브 면(slave surface)을 구성하는 절점(rigid body node)들은 기둥부재를 쉘요소(SHELL181)나 입체요소(SOL ID45) 중 어느 요소를 이용하는지에 따라 surface-to- surface CONTA173 요소나 또는 line-to-surface CON TA177 요소를 이용하여 정의하였다. 강체(rigid body)의 힌지 지점 모델은 슬레이브 면을 부재 단부면으로 정의하여 변형체(deformable body)인 기둥요소에 연결하였으며 마스터절점의 경계조건에는 변위를 부여하였다. 부재의 한쪽 단부 지점에는 모든 방향에 대해 이동 및 회전자유도를 구속하고 다른 쪽 지점의 경우는 동일한 구속조건을 부여하되 변위제어 해석을 위해 미리 정해진 축변형값을 부여하였다.
I-형 및 R-형 조립부재의 경우에는 부재들이 서로 변형에 간섭을 일으키지 않도록 부재사이에 CONTA173 요소를 배치하였으며 부재사이의 접촉은 마찰이 없는 것으로 가정하여 변수를 단순화하였다. 한편, 조립부재에서 용접은 SHELL 181 요소를 이용하여 모델링하였다. 이 요소들은 기둥부재와 중첩되는 절점을 서로 합침으로써 기둥 요소에 결합하였는데 이 때 용접의 폭은 모서리 중심에서 부재 두께만큼 벗어난 거리까지로 가정하였다. 따라서 양쪽에서 용접하여 조립한 부재 단면에서는 모서리 네 곳에서 절점이 합쳐지게 된다.
한편, Abaqus/Explicit 동적모델을 이용한 I-형 조립부재의 해석 모델에서 기둥부재와 용접의 모델링은 쉘요소 S4R를 사용하였다. 요소간의 연결은 ANSYS에서와 같이 중복절점을 합치는 방법대신 spotweld 요소를 이용하여 모델링하였다. 또한 부재 양단부에 부착된 200mm×200mm× 25mm 크기의 재하용 강판은 강체요소 R3D4를 이용하여 모델링하였는데 이는 관성의 영향을 고려하기 위한 것이다. 동적특성 산정을 위해 기둥의 질량은 강재를 기준으로 75 kN/m3으로 하고 회전질량으로 8.4×10-3kN.s2/m의 값을 부재 중심에 부여하였으며 축방향으로는 별도의 질량을 부여하지 않았다.
기둥의 단부 강판과 기둥부재의 단부 단면 사이의 접촉면은 surface-to-surface 접촉요소를 이용하여 모델링하였다. 마스터 면(master surface)은 메시의 크기가 상대적으로 큰 단부 강판으로 정하였고 슬레이브 면(slave surface)은 강판에 접하는 기둥의 단부 단면으로 하였다. 두 면 사이의 접촉조건은 면에 수직한 하중은 전달하고 면 사이의 미끄러짐은 발생하지 않는 것으로 하였다. 핀 지점(pin support)은 강판의 중심에 위치한 기준점에 정의하고 강판은 축방향 이동 및 회전이 구속된 것으로 가정하였다. 반대편 하중이 가해지는 강판의 중심에도 역시 동일한 핀 지점을 정의하되 축방향으로는 미리 정해진 축변형값을 부여하였다. I-형 또는 R-형 조립부재에서 형강의 각 부분들은 서로 만나는 방향으로 변형되지는 않지만 길이 방향으로는 마찰없이 자유롭게 미끌어질 수 있도록 모델링하였다.
3.2 해석 과정
횡기둥의 좌굴에 대한 해석은 축방향의 변위를 제어하는 방식으로 수행하였다. 해석에는 전술한 바와 같이 ANSYS에 의한 내연적 방법과 ABAQUS에 의한 외연적 방법을 모두 적용하였으며 여러가지 해석 기술이 사용되었다. 일반적으로 일정한 하중 증분에 대해 반복적인 방법으로 변위를 산출해내는 뉴톤-랩슨(Newton-Raphson method) 방법은 비선형 문제에서 매우 보편적으로 사용되는 방법이지만 뜀좌굴(snap-through)이나 취성파괴와 같이 연화(softening)가 발생하는 문제에서는 사용할 수 없다. 즉, 임계점에서 강성행렬이 특이값을 갖게되어 정확한 하중값과 변위를 산출할 수 없게 된다. 따라서 이와 같은 경우 변위 제어(displacement control)를 통해 좌굴후 거동을 추적하는 변위법이 사용된다. 다만 이 경우에도 강성행렬의 상태, 증분과 허용오차의 크기 등에 따라 결과가 달라질 수 있으며 증분의 크기가 작다고 수렴이 항상 보장되는 것은 아니다. 이 방법은 ANSYS의 해석에 적용하였는데 각 증분에서 수렴에 대한 허용오차는 축하중과 모멘트에 대해 5kN과 0.05kN-m을 기준하중으로 하고 이 값의 0.1%에 해당하는 값을 부여하였다. 각 증분에서 반복횟수가 25회를 초과하면 증분의 크기를 나누어 줄이도록 하였다. 증분별로 수렴기록을 파악하여 임계점 근처에 이르러 수렴이 적절히 이루어지지 않는 경우에는 기준하중을 축력과 모멘트에 대해 각각 250kN, 0.5kN-m으로 늘리고 이 값의 0.5%까지 완화하는 것으로 하였다.
호장법(arc-length method)이나 Riks 방법은 이미 ANSYS나 ABAQUS에 내장되어 적용이 가능하다. 이들은 뜀좌굴이나 좌굴후 거동의 분석에 적절한 방법으로 평가된다. 그러나 이 방법은 불연속의 접촉면을 갖는 접촉(contact)의 문제에서는 적합하지 않은 것으로 알려졌다(Crisfield, 1998). 본 연구에서는 단일 형강에 대한 해석에서만 ABAQUS를 이용하여 Riks 방법을 적용하였다.
비선형 준정적(quasi-static)문제의 동적접근법은 접촉문제의 어려움을 해결하는 방법으로 사용될 수 있다. 안정적이고 정확한 해를 얻기 위해서 메시 및 증분의 크기는 아주 작아야 하지만 중앙차분법(central-difference method)을 이용한 외연적 해석법에서는 반복해석이 불필요한 장점이 있다. 단지 가력속도(loading rate)에 대한 불확실성이 문제가 된다. 하중-변위 곡선을 얻기 위해서는 한 해석에서 경우에 따라 수 십만 번의 시간 증분이 필요하므로 해석이 매우 복잡해지게 되며 따라서 고유모드보다 큰 고차 주파수는 필터링을 통해 걸러야 한다. 따라서 외연적 동적해석에 앞서 적절한 가력속도 및 주파수 필터링을 위한 컷오프 주파수(cutoff frequency) 산정을 위한 주파수 해석이 추가로 필요하다.
3.3 수치예제 결과 및 고찰
해석을 통하여 Fig. 4에 나타낸 바와 같이 ANSYS의 SHELL181 요소와 SOLID45 요소를 이용한 하중-변위 해석은 매우 유사한 결과를 보여준다. 그러나 해석과정에서 SOLID45 요소를 사용한 경우, 거의 대부분 허용오차를 증가시키지 않고도 좌굴후 거동을 해석하는 등 보다 안정적인 수렴과정을 보여주었다. 반면 SHELL181 요소는 좌굴하중에 이르기 전에 대부분 수렴에 실패하였으며 특히 한 쪽만 용접된 모델 (SW-R1 시리즈)의 경우에는 하중의 작은 편심에 대해서도 실험결과와는 매우 다른 결과를 보여주었다. 따라서 그림에는 DW-시리즈에 대한 결과만을 나타내었다.
Fig. 5 및 Fig. 6은 단일부재 및 조립부재의 좌굴내력에 대해 실험값(Brueggen and Ramseyer, 2003; Whitle, 2007; Biggs, 2007)과 수치해석 결과와의 비교를 나타낸다. 전체적으로 ANSYS의 내연적 해석모델에 의한 수치해석결과는 실험값에 비해 단일부재의 경우는 15%정도의 오차로 축하중 내력을 예측하고 있으나(Fig. 5) 두께가 얇은 부재의 좌굴후 거동에서는 불안정한 결과를 보여주었다. 뉴톤-랩슨 방법 대신 호장법을 사용하여 결과를 다소 개선하기는 하였지만 근본적인 해결책은 되지 못하였다. 반면 Riks 방법을 적용하여 ABAQUS를 아용한 경우 전 과정에 걸쳐 안정적으로 결과를 구할 수 있었다.
Figure 7
Comparison of ANSYS/Implicit and ABAQUS/ Explicit to experimental results(built-up section case)
조립부재에 대한 결과값은 부재 사이즈가 작아질수록 정확도가 떨어지는 것으로 나타났다. 수치해석 결과는 대부분의 경우에서 실험값에 비해 축하중 내력이 실험값에 비해 40%정도 과대평가되는 것으로 나타났으며 R 시리즈 단면에 대해서는 상대적으로 실험값 대비 수치해석 값의 오차가 줄어들어 단지 12%정도 과대평가하는 것으로 나타났다. 이와 같은 오차는 실제 실험에서 부재에 축하중이 가해질 때 발생하는 편심에서 기인한 것으로 판단된다.
Fig. 7은 Ansys/Implicit과 Abaqus/Explicit 해석모델에 의한 축하중 강도를 실험값(Brueggen and Ramseyer, 2003; Whitle, 2007; Biggs, 2007)과 비교하여 나타낸 것이다. ANSYS의 경우 시험체 SW 시리즈에서는 큰 단면 부재의 경우에는 축하중 내력을 보수적으로 예측한 반면 단면이 작은 SW-R1의 경우에는 부재의 좌굴모드는 정확하게 예측하였지만 축하중 내력은 실험값에 비해 매우 낮게 산출되는 결과를 나타내었다. Abaqus/Explicit 동적해석 모델을 적용하여 해석한 결과는 SW-R1을 제외하고는 전체적으로 ANSYS의 해석 결과와 유사한 결과를 나타내었다. ABAQUS의 동적모델 적용을 위해서 초기에 일련의 parameter study가 이루어졌다. 적절한 가력속도(loading rate)는 단면의 종류에 따라 다른데 먼저 여러 가력속도에 대한 parameter study를 통하여 초당 약 100mm의 속도로 변형이 되게 가력할 때 대부분의 단면에서 적절한 것으로 파악되었다. 필터링은 고유주파수보다 약간 큰 주파수를 컷오프 주파수(cutoff frequency)로 정하고 저역필터(Butterworth low-pass filter)를 사용하여 고주파부분을 차단함으로써 실제 좌굴거동을 잘 나타낼 수 있었다. Fig. 7의 하단에는 내부에너지에 대한 운동에너지의 비율(KE/IE)을 나타냈는데 적절한 가력속도는 10%이내의 값을 가지며 비틀림좌굴과 전체좌굴이 일어나기 쉬운 조립부재의 경우는 10~30%의 값을 갖는 것으로 나타났다.
Fig. 8은 DW 시리즈에 대해 시간에 따른 반력과 에너지의 변화를 나타낸 것으로 가력속도 v(정해진 시간당 규정된 축변형량으로 정의), 필터링을 위한 컷오프주파수 
(1차 고유진동수로 정의) 및 내부에너지에 대한 좌굴운동에너지 비(운동에너지가 최대에 도달할 때의 비율로 정의)에 따른 동적 특성도 동시에 나타냈다. 실험값과의 검증은 부재의 두께가 최고 두꺼운 단면에 대해 수행하였다.
4. 결 론
본 연구에서는 냉간성형강으로 조립한 조립재의 비선형좌굴에 대한 모델링 기법을 제시하였다. 수치해석은 Ansys/ Implicit 정적해석과 Abaqus/Explicit 동적해석을 이용하였으며 기존의 실험결과와의 비교를 통해 검증하였다. ANSYS 해석은 전체적으로 좌굴내력은 잘 예측하였지만 좌굴이후의 거동에 대해서는 정확한 정보를 제공하지 못하였다. 반면 ABAQUS의 경우에는 적절한 가력속도를 가정하면 좌굴후 거동에 대해서도 적절한 결과를 제공하는 것을 확인하였다. 전체적으로 수치해석 결과는 실험에 의해 산출된 좌굴내력에 비해 평균적으로 12%의 과대좌굴내력을 제공하는 것으로 나타났으며, 이에 따라 순수 축하중을 받는 냉간성형강 조립부재의 좌굴내력은 수치해석에 의한 좌굴내력에 대해 0.88의 보정치를 적용하는 것이 적절한 것으로 판단된다.
