Deep Operator Network-Based Prediction Algorithm for Analyzing the Frequency Response of Linear Dynamical Systems

Hochul Shin; Jaehun Lee

doi:10.7734/COSEIK.2026.39.4.265

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 31 August 2026. 265-272
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2026.39.4.265

Deep Operator Network-Based Prediction Algorithm for Analyzing the Frequency Response of Linear Dynamical Systems

선형 동적 시스템의 주파수 응답 해석을 위한 심층 연산자 네트워크 기반 예측 알고리즘 응용

Hochul Shin¹

Jaehun Lee²^*

신 호철¹

이 재훈²^*

¹Graduate Student, Department of Mechanical Engineering, Dongguk University, Seoul, 04620, Korea

²Professor, Department of Mechanical, Robotics and Energy Engineering, Dongguk University, Seoul, 04620, Korea

¹동국대학교 기계공학과 석사과정

²동국대학교 기계로봇에너지공학과 교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

This paper proposes a deep operator network (DeepONet)-based model for predicting the frequency response of linear dynamic systems. The frequency response is a key quantity that directly reflects the dynamic characteristics of a structure, and its computation requires repeated solutions of the linear system equations at individual frequency points. This procedure incurs significant computational cost for large-scale finite element models and limits applications such as real-time vibration prediction and digital twin implementation. To address this problem, this paper proposes a frequency response prediction framework based on a DeepONet, in which the physical-coordinate response of a structure is transformed into the modal domain and the modal coordinates are predicted from the modal force input. Numerical experiments on a 16-degree-of-freedom mass-spring-damper system demonstrated that the proposed model achieves high prediction accuracy and can serve as an efficient surrogate model for repeated frequency response analyses. These results indicate that the proposed model can be effectively applied to real-time frequency response prediction of large-scale structures and digital twin-based vibration analysis.

Keywords

frequency response

deep operator network

structural dynamics

surrogate model

본 논문에서는 심층 연산자 네트워크를 활용하여 선형 동적 시스템의 주파수 응답을 예측하는 모델을 제안한다. 주파수 응답은 구조물의 동적 특성을 직접적으로 반영하는 핵심 지표로, 이를 계산하기 위해서는 선형 시스템의 반복적인 해석이 필요하다. 이는 대규모 유한요소 모델에서 상당한 계산 비용을 요구하며, 실시간 진동 예측, 디지털 트윈과 같은 응용에 제약으로 작용한다. 이를 해결하기 위해 본 연구에서는 구조물의 물리 좌표계를 모달 영역으로 변환하고, 모달 하중을 입력으로 받아 모드 좌표를 추론하는 심층 연산자 네트워크 기반 구조를 제안한다. 16자유도 질량-스프링-댐퍼 시스템에 대한 수치 실험을 통해 제안된 모델이 높은 정확도를 유지하면서도 빠른 추론 속도를 달성함을 확인하였다. 이러한 결과는 제안하는 모델이 대규모 구조물의 실시간 진동 예측 및 디지털 트윈 구현에 효과적으로 활용될 수 있음을 보여준다.

키워드

주파수 응답

심층 연산자 네트워크

구조 동역학

대체 모델

MAIN

1. 서 론
2. 연구 방법
2.1 모드중첩법
2.2 심층 연산자 네트워크
3. 수치 예제
3.1 학습 데이터 생성
3.2 모델 설계 및 학습
3.3 결과 및 고찰
4. 결 론

1. 서 론

주파수 응답(frequency response)은 조화 하중이 작용할 때 구조물이 각 가진 주파수에서 보이는 정상상태 응답을 의미한다. 주파수 응답 해석은 구조물의 공진 주파수, 동적 증폭 특성, 진동 전달 경로 및 취약 주파수 대역을 파악하기 위한 핵심 해석 기법으로 기계, 토목, 자동차 등 다양한 대규모 구조물의 설계 및 안전성 평가에 널리 활용되고 있다.

그러나 유한요소법을 이용한 주파수 응답 해석에서는 관심 주파수 영역의 각 주파수 스텝마다 질량, 감쇠, 강성 행렬로 구성된 복소 동강성 방정식을 반복적으로 풀어야 한다. 또한 하중의 위치, 방향 또는 크기가 변경될 경우 동일한 주파수 영역에 대해서 해석을 다시 수행해야 하므로, 자유도가 큰 대규모 구조물에서 행렬의 크기, 주파수 스텝 수, 하중 조건의 수가 동시에 증가할 경우 전체 해석 비용이 매우 커진다. 이는 반복 최적화, 불확실성 분석, 실시간 응답 예측과 같은 응용에서 주요한 병목으로 작용한다.

이러한 계산 부담을 완화하기 위해 전체 물리 자유도 공간의 지배방정식을 저차 부분공간으로 투영하는 차수축소모델(Reduced-Order Model, ROM)이 오랫동안 연구되어 왔다(Lee et al., 2021, 2024; So and Lee, 2025). 구조 동역학 분야에서는 고유모드 기반 모드중첩법이 대표적으로 활용되어 왔으며(Craig and Kurdila, 2006), 적합직교분해(Proper Orthogonal Decomposition, POD)와 같은 데이터 기반 부분공간 추출 기법도 다양한 동적 해석 문제에 적용되어 왔다(Hesthaven and Ubbiali, 2018; Kerschen et al., 2005; Lee and Cho, 2018). 이러한 방법들은 선형 시스템의 해석 자유도를 효과적으로 줄일 수 있으나, 하중 조건이나 관심 주파수 범위가 반복적으로 바뀌는 경우에는 축소된 좌표계에서도 각 조건에 대한 계산을 다시 수행해야 한다. 따라서 다양한 입력 조건에 대한 응답을 즉각적으로 예측하는 데에는 여전히 한계가 있다.

한편, 최근에는 인공신경망의 발전과 함께 반복적인 수치해석을 대체하기 위한 데이터 기반 대체 모델 연구가 활발히 수행되고 있으며, 특히 최근에는 함수 공간 사이의 사상을 직접 학습하는 연산자 학습(neural operator) 기법이 주목받고 있다(Kovachki et al., 2023). 대표적인 연산자 학습 모델인 DeepONet(Deep Operator Network, 심층 연산자 네트워크)은 입력 함수를 인코딩하는 branch network와 출력 함수의 평가 좌표를 처리하는 trunk network를 결합하여, 입력 함수로부터 출력 함수로의 연산자 사상을 근사한다(Lu et al., 2021a). 이 구조는 입력 조건과 출력 좌표를 분리하여 학습할 수 있기 때문에 하나의 학습된 모델로 다양한 입력 함수와 연속적인 좌표 위치에서의 응답을 예측할 수 있다는 장점을 가진다.

이러한 특성으로 인해 DeepONet은 편미분방정식 해석, 유동장 예측, 열전달 문제뿐만 아니라 구조해석 분야에서도 반복적인 수치해석을 대체하기 위한 대리모델로 활용되고 있다. Ahmed 등(2025b)은 구조물의 강성행렬을 활용한 에너지 보존 기반 정적 평형 손실 함수를 DeepONet에 도입하여, 2D 보 구조물과 실제 교량의 정적 응답을 높은 정확도로 예측하였다. 또한 이를 동적 영역으로 확장하여 공간 좌표와 시간 좌표를 각각 독립된 trunk network로 인코딩하는 구조를 기반으로 하여, 이동하는 하중 하의 동적 응답을 유한요소 해석 대비 크게 낮은 계산 비용으로 예측하였다 (Ahmed et al., 2025a). 이처럼 정적 하중 및 시간 영역 동적 하중에 대해서는 임의의 하중 조건으로부터 구조물 전역의 응답을 빠르게 예측하기 위한 연산자 학습 기반 접근이 제시된 바 있다.

최근에는 주파수 영역 구조 응답을 DeepONet 및 연산자 학습 모델을 통해 예측하려는 연구도 보고되고 있다. Liu 등(2024)은 구조 건전성 모니터링 관점에서 단자유도 시스템의 진동 응답을 DeepONet으로 예측하는 사례연구를 수행하여, 다양한 하중 조건에 따른 동적 응답을 학습 및 예측할 수 있음을 보였다. Chen 등(2025)은 우주 구조물의 폭발 분리 충격 환경을 대상으로 구조 형상 변수, 측정 위치 및 주파수 정보를 입력으로 하는 DeepONet 기반 spectral response 예측 모델을 제안하였다. 또한 van Delden 등(2024)은 조화 가진을 받는 판 구조물의 진동 패턴 및 주파수 응답을 예측하기 위해 주파수 좌표를 쿼리로 사용하는 Frequency-Query Operator(FQO)를 제안하였다. 이러한 연구들은 공진 피크를 포함하는 주파수 영역 응답을 연속적인 주파수 좌표에서 예측할 수 있음을 보였다는 점에서 의미가 있다.

그러나 기존 연구들은 주로 단자유도 시스템, 특정 판 구조물의 진동 또는 스펙트럼 응답 예측에 초점을 두고 있으며, 다자유도 구조물에 대해 다양한 하중 조건과 연속적인 주파수 응답 함수 전체를 예측하는 문제는 아직 충분히 다루어지지 않았다. 주파수 응답 해석에서는 각 가진 주파수마다 모든 물리 자유도에 대한 복소 응답을 계산해야 하므로, 신경망이 대규모 구조물의 전체 응답을 직접 출력하도록 구성할 경우 출력 차원이 매우 커진다. 또한 공진 주파수 부근에서는 응답의 크기와 위상이 급격히 변화하고, 실수부와 허수부가 주파수에 따라 복잡한 양상을 보이기 때문에 고차원 복소 응답을 직접 학습하는 데에는 상당한 계산 부담과 정확도 저하가 수반될 수 있다.

본 연구에서는 이러한 한계를 완화하기 위해 고유모드 기반 모드중첩법(Mode superposition method)과 DeepONet을 결합한 주파수 응답 예측 프레임워크를 제안한다. 제안하는 방법은 전체 물리 자유도의 주파수 응답을 신경망이 직접 예측하는 대신, 하중 조건과 주파수 좌표에 따른 저차 모달 좌표 응답을 DeepONet이 학습하도록 구성한다. 구체적으로 하중 조건은 고유모드에 대한 모달 하중으로 변환되어 네트워크에 입력된다. DeepONet은 이로부터 각 모드의 복소 모달 좌표를 예측하고, 이후 사전 계산된 고유벡터와의 선형 결합을 통해 물리 좌표계의 주파수 응답을 복원한다.

제안한 프레임워크의 기초 검증을 위해 본 연구에서는 16자유도 Mass-Spring-Damper(MCK) 시스템을 대상 구조물로 설정하였다. 해당 시스템은 다자유도 선형 진동계이면서 모드중첩 기반 주파수 응답 해석 결과를 명확하게 비교할 수 있어, 제안 모델의 기본 성능을 검증하기에 적합하다. 다양한 하중 조건에 대해 기준 모드중첩 해석 결과를 생성하고, 이를 바탕으로 DeepONet이 관심 주파수 영역에서의 복소 모달 좌표를 예측하도록 학습하였다. 이후 예측된 모달 좌표를 물리 좌표계의 주파수 응답으로 복원하여 기준 해석 결과와 비교함으로써, 모달 좌표 기반 DeepONet 프레임워크가 다자유도 구조물의 주파수 응답 예측에 적용될 수 있는 가능성을 평가하였다.

2. 연구 방법

2.1 모드중첩법

물리 공간에서 $N$ 자유도 선형 시스템의 운동방정식은 다음 식 (1)과 같은 2차 미분 방정식으로 표현된다.

(1)

M \ddot{u} (t) + C \dot{u} (t) + Ku (t) = f (t)

여기서, $M, C, K \in ℝ^{N \times N}$ 은 각각 질량, 감쇠, 강성 행렬을 나타내며, $f (t) \in ℝ^{N}$ 은 외력 벡터, $u (t), \dot{u} (t), \ddot{u} (t) \in ℝ^{N}$ 는 각각 변위, 속도, 가속도 벡터이다. 정상상태 조화 응답을 주파수 영역에서 해석하기 위해 푸리에 변환을 적용하면 시간 영역의 지배방정식은 다음과 같은 주파수 영역 방정식으로 변환된다.

(2)

(- ω^{2} M + i ω C + K) u (ω) = f (ω)

식 (2)를 통해 주파수 응답 $u (ω)$ 를 직접 계산할 경우 각 주파수 스텝마다 동적 강성행렬에 대한 선형 시스템 해석이 요구되며, 이는 대형 구조물 또는 다양한 입력 하중 조건에 대한 반복 응답 계산에서 큰 계산 병목으로 작용한다. 본 연구에서는 이를 완화하기 위하여 모드중첩법을 도입하여 물리 좌표계 응답 $u (ω)$ 를 고유벡터 행렬 𝛷와 모달 좌표 $q (ω)$ 의 선형 결합으로 표현한다. 먼저 감쇠를 제외한 자유진동 문제로부터 다음의 일반화 고유치 문제를 구성하여 구조물의 고유진동수와 고유벡터를 산출한다(식 (3)).

(3)

(K - Ω^{2} M) Φ = 0, Ω = d i a g (ω_{1}, ω_{2}, \cdot \cdot \cdot, ω_{n})

다음으로 주파수 응답을 계산된 고유벡터 행렬과 모달 좌표 간의 선형 결합으로 다음 식 (4)와 같이 표현한다.

(4)

u (ω) \approx Φ q (ω) = \sum_{r = 1}^{m} ϕ_{r} q_{r} (ω), Φ = [ϕ_{1}, \dots ϕ_{m}]

이때, m은 고려된 모드의 개수이다. 고유벡터가 $Φ^{T} M Φ = I$ 를 만족하도록 질량 정규화 되어 있고, 감쇠 행렬 C가 질량 및 강성 행렬과 동일한 고유벡터에 의해 대각화 된다는 비례 감쇠 가정을 도입하면, 고유벡터의 직교성에 의해 지배방정식을 다음 식 (5)와 같이 각 모드에 대해 독립적인 스칼라 방정식으로 분리할 수 있다.

(5)

(- ω^{2} + 2 i ζ_{r} ω_{r} ω + ω_{r}^{2}) q_{r} (ω) = p_{r}, r = 1, \dots, m

이때, $ω_{r}$ 은 $r$ 번째 고유 진동수, $ζ_{r}$ 은 모달 감쇠비를 나타낸다. 본 연구에서는 입력 하중의 크기와 위상이 주파수에 따라 변하지 않는 실수 하중 f로 주어진다고 가정하였으며, 따라서 $p_{r} = ϕ_{r}^{T}$ 는 물리 공간의 하중 벡터를 $r$ 번째 모드 형상에 투영하여 얻은 모달 하중이다. 이와 같은 모드 공간으로의 변환을 통해 고자유도 주파수 응답 문제를 각 모드에 대한 저차원 스칼라 방정식의 집합으로 치환할 수 있다. 그 결과, 대규모 행렬 연산이 제거되어 계산 복잡도가 감소하며, 전체 응답에 대한 기여도가 낮은 고차 모드를 생략할 수 있어 시스템 차원을 효과적으로 축소할 수 있다.

본 연구에서 제안하는 모드 공간 기반 주파수 응답 해석 프레임워크는 다음과 같다. 먼저 물리 공간에서 정의된 임의의 하중 조건 f가 입력되면, 이를 사전에 계산된 고유벡터 행렬 𝛷에 투영하여 모달 하중 벡터 $p = Φ^{T} f$ 로 변환한다. 변환된 모달 하중 벡터 p와 해석하고자 하는 주파수 좌표 𝜔를 입력으로 하여, 각 모드별 복소 모달 좌표 $q_{r} (ω)$ 를 인공신경망을 통해 실시간으로 추론한다. 마지막으로 추론된 모달 좌표와 고유벡터 행렬 간의 선형 결합을 통해 물리 공간에서의 실제 응답 벡터를 복원한다.

2.2 심층 연산자 네트워크

본 연구에서는 앞 절에서 정리한 모드중첩 기반 차수축소 관계를 바탕으로, 다양한 하중 조건과 주파수 좌표에 대한 모달 응답을 예측하기 위해 DeepONet을 도입하였다. DeepONet은 연산자 학습 모델의 일종으로, 주어진 입력 조건에 대응되는 출력 함수를 직접 근사하여 해당 출력 함수를 임의의 좌표에서 평가할 수 있도록 구성된다. 이러한 특성은 하중 조건에 따라 달라지는 주파수 응답 함수를 연속적인 주파수 좌표에서 예측해야 하는 본 연구의 문제 설정에 적합하다.

DeepONet은 branch network와 trunk network로 구성된다. Branch network는 이산화된 입력 함수 또는 입력 조건을 잠재 특징 벡터로 인코딩하고, trunk network는 출력 함수를 평가하고자 하는 좌표를 동일한 잠재 공간의 특징 벡터로 인코딩한다. 두 네트워크에서 얻어진 특징 벡터는 내적 연산을 통해 결합되며, 이를 통해 주어진 입력 조건에 대한 출력 함수의 특정 좌표에서의 값을 예측한다. DeepONet의 예측 값은 다음 식 (6)과 같이 표현할 수 있다.

(6)

\hat{G} (p) (ω) = \sum_{j = 1}^{d} b_{j} (p) t_{j} (ω)

여기서, p는 branch network의 입력, 𝜔는 trunk network의 입력 좌표를 나타낸다. $b_{j} (p)$ 와 $t_{j} (ω)$ 는 각각 branch network와 trunk network의 잠재 특징 성분을 나타내며, $d$ 는 잠재 공간의 차원을 나타낸다. $\hat{G}$ 는 입력 조건 p로부터 좌표 𝜔에서의 출력 함수를 예측하도록 학습되는 연산자이다. 기본적인 DeepONet의 구조를 Fig. 1에 나타내었다.

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Fig. 1.

DeepONet

본 연구의 모달 주파수응답 예측 문제에서 branch network의 입력은 모달 하중 벡터로 정의된다. 물리 좌표계의 외력 벡터를 모드 형상에 투영하면 각 모드에 작용하는 모달 하중을 얻을 수 있으며, 이를 다음 식 (7)과 같이 나타낸다.

(7)

p = [p_{1}, p_{2}, \dots, p_{m}]^{T} \in ℝ^{m}

다음으로 trunk network의 입력은 응답을 평가하고자 하는 주파수 좌표 𝜔이다. 주파수 응답은 공진점 인근에서 크기와 위상이 급격하게 변화하므로, 주파수 좌표만을 입력으로 사용하는 경우 이러한 국소적 변화를 충분히 표현하는 데 한계가 있을 수 있다. 본 연구에서는 이를 보완하기 위해 trunk network에 입력되는 주파수 좌표에 Fourier feature mapping 기반의 feature expansion을 적용하였다(Lu et al., 2022; Tancik et al., 2020)(식 (8)).

(8)

γ (ω) = [\begin{matrix} ω \\ \sin (2^{0} π ω) \\ \cos (2^{0} π ω) \\ ⋮ \\ \sin (2^{L - 1} π ω) \\ \cos (2^{L - 1} π ω) \end{matrix}]

여기서, $L$ 은 Fourier feature mapping에 사용되는 주파수 레벨의 수로, trunk network에 입력되는 다중 스케일 주기 함수 성분의 범위와 최대 인코딩 주파수를 결정하는 하이퍼파라미터이다. Tancik 등(2020)은 Fourier feature mapping이 좌표 기반 신경망의 저주파 편향을 완화하여 고주파 성분의 학습을 가능하게 함을 보였다. 한편, Yang 등(2023)은 sine 및 cosine 함수로 구성된 주파수 기반 입력 인코딩에서 최대 인코딩 주파수가 모델의 학습 및 일반화 성능에 큰 영향을 미치며, 과도한 고주파 입력이 과적합 및 성능 저하를 유발할 수 있음을 보였다. 따라서 $L$ 이 너무 작을 경우 공진점 부근의 급격한 응답 변화를 충분히 표현하기 어렵고, 반대로 $L$ 이 지나치게 클 경우 불필요한 고주파 성분에 대한 민감도가 증가하여 일반화 성능이 저하될 수 있다. 본 연구에서는 이러한 특성을 바탕으로 예측 정확도와 학습 안정성을 함께 고려하여 $L$ 을 선정하였다.

최종적으로 DeepONet은 m개의 모드에 대한 복소 모달 좌표를 예측한다. 이때 복소수를 직접 출력하는 대신, 각 모드의 실수부와 허수부를 서로 다른 실수 성분으로 분리하여 출력한다. 따라서 최종 출력 차원의 크기는 2m이 되며, 예측 결과는 다음 식 (9)와 같이 표현된다.

(9)

\hat{G} (p) (ω) = [\begin{matrix} {\hat{q}}_{1, real} (p, ω) \\ {\hat{q}}_{1, imag} (p, ω) \\ ⋮ \\ {\hat{q}}_{1, real} (p, ω) \\ {\hat{q}}_{1, imag} (p, ω) \end{matrix}]

이로부터 각 모드의 복소 모달 좌표는 다음 식 (10)과 같이 구성된다.

(10)

{\hat{q}}_{r} (ω) = {\hat{q}}_{r, r e a l} (p, ω) + i {\hat{q}}_{r, imag} (p, ω), r = 1, \dots, m

예측된 모달 좌표 벡터 $\hat{q} (ω)$ 는 사전에 계산된 고유벡터 행렬 𝛷와 선형 결합되어 물리 좌표계에서의 복소 주파수 응답으로 복원된다(식 (11)).

(11)

\hat{u} (ω) = Φ \hat{q} (ω)

따라서 제안된 모델은 전체 물리 자유도에 대한 주파수 응답을 직접 학습하지 않고, 저차원 모달 공간에서의 주파수 의존 응답 계수만을 예측한다. 이후 물리 응답은 모드 중첩 관계를 통해 복원되므로, 출력 차원을 전체 자유도 수 N에서 사용 모드 수 m에 비례하는 수준으로 축소할 수 있다. 이를 통해 대형 구조물의 복소 주파수응답을 직접 학습할 때 발생하는 높은 계산 비용과 학습 난이도를 완화할 수 있다. 제안하는 모드 공간 기반 주파수 응답 해석 프레임워크 구조를 Fig. 2에 나타내었다.

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Fig. 2.

Overall framework

3. 수치 예제

3.1 학습 데이터 생성

제안한 모달 좌표 기반 DeepONet의 예측 성능을 검증하기 위해 16자유도 mass-spring-damper(MCK) 시스템을 대상으로 주파수 응답 데이터를 생성하였다. 대상 시스템은 한쪽 끝이 고정된 1차원 직렬 질량-스프링 구조로 구성되며, 고정단을 제외한 16개의 자유도를 갖는다. 각 질량은 1kg, 스프링 강성은 300N/m로 설정하였다. 감쇠는 모든 모드에 대해 동일한 모달 감쇠비 𝜁 = 0.02를 갖는 것으로 가정하였다. 모델의 구체적인 형상을 Fig. 3에 나타내었다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2026-039-04/N0040390407/images/Figure_jcoseik_39_04_07_F3.jpg

Fig. 3.

16 DOF MCK system

데이터셋 생성을 위해 먼저 질량 행렬 M과 강성 행렬 K를 구성한 뒤, 비감쇠 자유진동 고유치 문제로부터 16개의 고유진동수와 고유벡터를 계산하였으며, 본 예제에서는 모든 모드를 사용하였다. 계산된 고유진동수는 0.26Hz에서 5.49Hz 범위에 분포하였다.

주파수 응답 데이터는 모드중첩법을 이용하여 생성하였다. 해석 주파수 범위는 0Hz부터 5Hz까지로 설정하였으며, 주파수 간격은 0.02Hz로 하였다. 따라서 각 하중 케이스에 대해 총 251개의 주파수 지점에서 응답을 계산하였다. 각 주파수점 ω에서 r번째 모달 좌표는 다음 식 (12)를 통해 계산하였다.

(12)

q_{r} (ω) = \frac{p_{r}}{ω_{r}^{2} - ω^{2} + 2 i ζ ω_{r} ω}

여기서, $ω_{r}$ 은 $r$ 번째 고유진동수, $p_{r}$ 은 해당 모드에 대한 모달 하중이다. 본 연구에서는 하중의 크기와 위상이 주파수에 따라 변하지 않는 실수 하중을 가정하였다.

각 하중 케이스는 하중의 작용 위치와 크기를 무작위로 변화시켜 생성하였다. 구체적으로 16개의 자유도 중 하나를 무작위로 선택하고, 해당 자유도에 0에서 1 사이의 임의의 하중을 부여하였다. 생성된 물리 좌표계 상의 하중 벡터는 고유벡터 행렬을 이용하여 모달 하중 벡터로 변환하였고, 이를 DeepONet의 branch network 입력으로 사용하였다. 총 480개의 임의의 하중 케이스를 생성하였으며, 이를 8:2의 비율로 train 및 test data로 분할하여 총 384개 데이터로 학습 후, 96개 데이터로 학습 완료된 모델을 평가하였다.

3.2 모델 설계 및 학습

앞 절에서 생성한 16자유도 MCK 시스템의 모달 주파수 응답 데이터를 이용하여 DeepONet을 학습하였다. DeepONet은 DeepXDE 라이브러리를 활용하여 Python 3.12 환경에서 구현되었으며(Lu et al., 2021b), 학습 및 예측은 Nvidia RTX A5500 GPU가 장착된 워크스테이션 환경에서 수행되었다.

본 예제에서는 16개의 고유모드를 모두 사용하였으므로 branch network의 입력은 각 하중 케이스에 대응되는 16차원 모달 하중 벡터로 구성하였다. Trunk network의 입력은 주파수 좌표이며, $L$ = 8의 feature expansion을 적용하였다. 따라서 trunk network의 입력 차원은 주파수 좌표 1개와 sine 및 cosine 성분 2L개를 포함하여 총 17차원이 된다.

Branch network와 trunk network는 각각 4개의 은닉층으로 이루어져 있으며, 각 은닉층의 노드 수는 모두 160으로 설정하였다. 활성화 함수로는 SiLU 함수를 사용하였다.

본 예제에서 DeepONet의 출력은 16개 모드에 대한 복소 모달 좌표이다. 복소수 응답을 실수부와 허수부로 분리하여 예측하도록 하였으므로, 총 출력 차원은 2m = 32이다. 다중 출력 생성을 위해 DeepONet의 split-both strategy를 적용하였다(Lu et al., 2022). 이 방법은 branch network와 trunk network의 최종 특징 성분을 출력 성분별로 분할한 뒤, 각 그룹 간 내적을 통해 독립적인 출력값을 계산하는 방식이다.

본 연구에서는 각 출력 성분에 대응되는 특징 성분의 길이를 20으로 설정하였으며, 이에 따라 branch 및 trunk network의 최종 특징 성분 크기는 20 × 2m = 20 × 32 = 640으로 구성하였다. 이 특징 성분은 32개의 그룹으로 분할되며, 각 그룹은 하나의 출력 성분에 대응된다. 즉, 모델은 각 주파수 좌표에서 16개 모달 좌표의 실수부와 허수부를 동시에 예측하도록 구성하였다.

모델의 학습 손실함수로는 예측된 모달 좌표와 참값 사이의 평균 제곱 오차(Mean Squared Error, MSE)를 사용하였다. 최적화 알고리즘은 Adam optimizer를 사용하였고, 학습률은 1.0 × 10-3으로 하였다. Batch size는 32, epoch는 4000으로 설정하여 총 384개의 학습 데이터에 대해 48000회의 iteration을 수행하였다. 이상의 네트워크 구조 및 주요 학습 파라미터를 Table 1에 정리하였다.

Table 1.

Network parameters

Branch network size	[16, 160, 160, 160, 160, 640]
Trunk network size	[17, 160, 160, 160, 160, 640]
Activation function	SiLU
Loss function	MSE
Optimizer	Adam
Learning rate	1.0 × 10^-3
Batch size	32
Iterations	48000

3.3 결과 및 고찰

학습 결과를 살펴보면 다음과 같다. 학습에는 306.89초가 소요되었으며, 최종 train loss와 test loss는 각각 3.8123e-8, 5.9010e-8으로 모델이 과적합 없이 잘 수렴되었음을 확인할 수 있다. Train 및 test loss의 loss history를 Fig. 4에 나타내었다.

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Fig. 4.

Loss history plot

학습이 완료된 모델은 두 가지 오차 지표를 기준으로 평가하였다. 첫째, 신경망 출력인 모달 좌표의 예측 정확도를 확인하기 위해 실수부 및 허수부의 예측값과 정답값 간의 평균 상대 L2 오차(Mean relative L2 error)를 계산하였다. 둘째, 예측된 모달 좌표를 물리 좌표계의 주파수 응답으로 복원한 뒤, 복원 응답과 정답 응답 간의 평균 상대 L2 오차를 계산하였다. 이때, 복원된 주파수 응답은 복소 응답이므로, 실수부와 허수부를 함께 포함한 복소 L2 norm을 계산하였다. 평가 결과를 Table 2에 나타내었다.

Table 2.

Mean relative L2 error

Real part error [%]	0.3020
Imaginary part error [%]	0.2330
Response error [%]	0.2597

제안된 모델이 모달 좌표의 실수부 및 허수부를 0.3% 내외의 매우 낮은 오차로 예측하고 있음을 확인할 수 있으며, 이를 물리 좌표계의 주파수 응답으로 복원할 경우에도 높은 정확도를 유지하고 있음을 확인할 수 있다. 첫 번째 test case에 대한 신경망의 모달 좌표 출력 및 복원된 주파수 응답을 각각 Fig. 5, Fig. 6에 나타내었다. 해당 케이스는 13번 자유도에 0.86N의 하중이 가해지는 상황으로, 하중에 의한 모달 좌표 및 주파수 응답을 정확하게 예측하는 것을 확인할 수 있다.

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Fig. 5.

Modal coordinate plot

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Fig. 6.

Frequency response plot

Fig. 7과 Fig. 8은 총 96개의 test case에 대해 계산한 모달 좌표 및 주파수 응답의 평균 상대 L2 오차의 분포를 나타낸 것이다. 모달 좌표의 실수부, 허수부 및 물리 좌표계 응답 모두에서 대부분의 test case가 1% 이내의 낮은 오차 범위에 분포하였으며, 일부 큰 오차를 보이는 경우에도 최대 오차는 약 2.5% 수준으로 제한되었다. 이를 통해 학습된 모델이 전반적으로 안정적인 예측 성능을 유지하고 있음을 확인할 수 있다.

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Fig. 7.

Modal response error histogram

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Fig. 8.

Frequency response error histogram

4. 결 론

본 연구에서는 선형 동적 시스템의 효율적인 주파수 응답 예측을 위한 DeepONet 기반 예측 알고리즘을 제안하였다. 제안한 방법은 물리 좌표계의 구조 응답을 모달 좌표계로 변환한 뒤, 모달 하중을 입력으로 사용하여 주파수별 모달 좌표를 예측하는 구조를 갖는다. 또한 복소수 응답을 실수부와 허수부로 분리하여 학습함으로써, 주파수 응답의 크기와 위상 정보를 모두 고려할 수 있도록 하였다.

16자유도 MCK 시스템을 대상으로 한 수치 예제에서, 제안한 모델은 임의의 하중 조건에 대한 모달 좌표 및 복원된 물리 좌표계 주파수 응답을 높은 정확도로 예측하였다. 특히 복원된 주파수 응답의 평균 상대 L2 오차가 0.5% 이내로 나타나, 제안한 방법이 반복적인 주파수 응답 해석을 대체할 수 있는 효율적인 대리모델로 활용될 수 있음을 확인하였다.

추가적으로는 제안하는 알고리즘을 대형 유한요소 구조물에 적용하고 모드중첩법 기반 차수 축소와 결합하여 대규모 구조물의 효율적 주파수 응답 예측 가능성에 대한 검토가 필요한 것으로 판단한다. 또한, 보다 일반적인 구조 진동 해석 문제 해결을 위하여 비선형 동역학 시스템으로의 확장 가능성에 대한 검토가 유의미한 것으로 판단한다.

Acknowledgements

이 성과는 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(RS-2025-23525570).

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

Preview

Deep Operator Network-Based Prediction Algorithm for Analyzing the Frequency Response of Linear Dynamical Systems

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Fig. 1.

DeepONet

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Fig. 2.

Overall framework

Fig. 3.

16 DOF MCK system

(12)

Table 1.

Network parameters

Fig. 4.

Loss history plot

Table 2.

Mean relative L2 error

Fig. 5.

Modal coordinate plot

Fig. 6.

Frequency response plot

Fig. 7.

Modal response error histogram

Fig. 8.

Frequency response error histogram

Acknowledgements

References