Research Paper

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 30 June 2022. 175-182
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2022.35.3.175

ABSTRACT


MAIN

  • 1. 서 론

  • 2. 본 론

  •   2.1 Craig-Bampton Method

  •   2.2 유전자 알고리즘(Genetic Algorithm)

  • 3. 수치예제

  •   3.1 단순 부구조물의 최적화

  •   3.2 프레임형 부구조물의 최적화

  •   3.3 경계조건에 따른 최적화

  • 4. 결 론

1. 서 론

최근 시스템의 해석 시간 단축, 유한요소 모델의 단순화 등을 위해 부분구조화 기법 또는 축소 기법에 대한 연구가 활발하게 수행되고 있다. 이러한 기법들은 전체 시스템의 성능 등과 같은 목표들을 충분히 만족시키면서 동시에 공학적 문제를 단순화할 수 있도록 수행되어야 한다.

지난 50여 년간 항공우주산업 분야의 요구에 맞추어 다양한 기법들이 개발되어 왔다. Przemieniecki(1963)의 부분구조에 대한 행렬구조해석 기법을 시작으로 Hurty(1965), MacNeal (1971), Rubin(1975) 등에 의해 선형 구조물의 부분구조화 기법들이 개발되었다. 대표적으로 현대 공학에서 가장 널리 사용되고 있는 Craig-Bampton(1968) method는 강체모드(rigid body mode), 구속모드(constraint mode), 그리고 고정 경계 정규모드(fixed-interface normal mode)로 적절히 정의된 3가지 모드 중 강체모드를 제외한 2가지 모드를 이용하여 시스템의 자유도를 축소하는 기법이다. 이 기법은 Hurty(1965)가 제안한 기법을 개선한 것으로 각 부구조들이 인접한 경계 또는 조인트의 자유도를 유지한 채로 부구조의 내부 자유도만 축소가 수행된다. Rubin(1975)은 관성이나 소산 등을 포함하는 잔류영향(residual effect)을 고려하여 강제진동 문제에서 이러한 영향들이 정확도 향상에 주요한 역할을 함을 보였다. Craig와 Chang (1976)은 자유 경계 정규모드(free-interface normal mode)를 사용한 기법을 제안하였다. 시스템의 부분구조화의 기저로 사용되는 모드 형상들은 고정 경계 및 자유 경계 정규모드의 조합으로 계산된다. Hale과 Meirovitch(1980, 1982)은 부구조 가용함수(substructure admissible function)를 도입하여 부구조의 운동을 표현하였고, 이는 각 부구조의 고유함수들로부터 적절하게 선택된다. 이 외에도 선형 구조물의 부분구조화에 대한 다양한 기법들이 개발되었다.

앞서 기술한 부분구조화 기법과 더불어 멀티레벨 최적화 기법들의 적용도 점차 확대되고 있다. 전체 시스템의 목표 성능에 도달하기 위해 각 하위 시스템들의 목적함수를 적절히 할당해야만 한다. 이를 위해 목표 할당 기법(target cascading)이 다양한 분야에 적용되고 있다(Allison et al., 2005; Kim et al., 2000; Tosserams, 2004). 목표 할당 기법은 복잡한 시스템의 설계 단계에서 각 하위 시스템들의 요구사항들을 동시다발적(concurrent)이고 일관적(consistent)인 절차에 의해 할당하게 해준다.

최근에는 기존 CMS 기법에서 모델 축소를 위해 사용되는 내부 모드를 부구조 모멘트 등가를 이용하여 선택함으로써 유한요소모델의 축소율 및 정확도를 향상시키기 위한 연구가 수행되었다(Lee and Cho, 2017). 적절한 모드 선택기법을 이용함으로써 기존의 보간법 기반 파라메트릭 축소모델의 성능을 향상시켰다.

본 논문에서는 시스템의 목표 할당 기법과 유사하게 적용될 수 있는 유전자 알고리즘(GA; genetic algorithm)을 이용하여 여러 하위 시스템으로 구성된 선형 보 구조물의 자유도 축소를 수행하고자 한다. 자유도 축소에는 Craig-Bampton(1968) 기법이 사용되었다. 전체 시스템의 목표 주파수를 만족시키기 위해 유전자 알고리즘을 이용하여 각 부구조에 대해 축소 기저 벡터 개수의 최적화를 수행하였다. 2장에서 자세한 내용을 다루고자 한다.

2. 본 론

이 장에서는 Craig-Bampton method를 이용하여 선형 유한요소 보 모델에 대해 부분구조합성(CMS; component mode synthesis)을 수행하고, 유전자 알고리즘을 이용하여 CMS 수행 시 동적 해석의 효율성을 향상시키기 위한 각 하위 시스템의 최소 축소 기저 벡터(또는 고유 모드) 개수를 도출하는 과정에 대해 설명한다.

2.1 Craig-Bampton Method

시스템의 운동방정식을 내부 및 경계 자유도로 나누어 다음과 같이 표현할 수 있다.

(1)
MiiMibMbiMbbu¨iu¨b+KiiKibKbiKbbuiub=fifb

여기서, 하첨자 i는 요소의 내부 자유도이며, b는 경계 자유도를 말한다. M, K는 시스템의 질량 및 강성행렬, u, f는 각각 변위와 외력벡터이다. 시스템의 물리적 변위 u에 대해 일반화된 좌표(generalized coordinates)로 Fig. 1과 같이 Craig-Bampton (CB) 변환을 통해 축소가 가능하다.

(2)
u=uiub=ΦikΨib0Ibbpkub=ΨCBpkub

여기서, pk는 요소의 내부 자유도이며, Φik는 내부 자유도에 대한 고유모드, Ψib는 경계 자유도에 대한 고유모드로 다음과 같이 계산할 수 있다.

(3)
(Kii-ω2Mii)Φik=0
(4)
Ψib=-Kii-1Kib

식 (2)식 (1)에 대입하고 CB 변환행렬(ΨCB)의 전치를 양변에 곱하여 부구조 내부의 자유도를 축소할 수 있다.

(5a)
M~=ΨCBTMΨCB
(5b)
K~=ΨCBTKΨCB
(5c)
F~=ΨCBTFΨCB

결론적으로 다음과 같이 축소된 시스템에 대한 해석을 수행할 수 있다.

(6)
M~p¨ku¨b+K~pkub=F~

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Fig. 1.

The reduced order model by Craig-Bampton transformation

2.2 유전자 알고리즘(Genetic Algorithm)

본 논문에서는 절점 당 3자유도를 가지는 선형 유한요소 보의 전체 시스템의 특정 주파수를 만족하기 위한 각 부구조의 최소 자유도(모드) 개수를 도출하기 위해 유전자 알고리즘을 적용하였다.

3개의 부구조로 구성된 보에 대해 유전체는 각 부구조의 내부 요소가 가질 수 있는 자유도의 개수로 설정하였다.

(7a)
mode1=0,1,2,...,12
(7b)
mode2=0,1,2,...,9
(7c)
mode3=0,1,2,...,6

mode1~mode3의 유전체에서 각각의 부구조에 대해 모드 개수가 무작위로 선택(selection)된다.

(8)
m~=mode1(i),mode2(j),mode3(k)ex)m~1=3,5,2,m~2=9,4,0,...

무작위로 선택된 부구조 모드 개수의 조합들 사이에 교배(crossover) 연산을 수행하게 된다. 식 (8)m~1,m~2를 예로 들면,

(9)
m~1={3,5,2}m~1={3,5,0}m~2={9,4,0}m~2={9,4,2}

위와 같이 두 조합 사이에 3번 째 원소끼리 교환이 이루어진다. 이어서, 변이(mutation)를 통해 각 조합 내 임의의 원소가 바뀌게 된다.

(10)
m~1={3,5,0}m~1={3,7,0}m~2={9,4,2}m~2={1,4,2}

3단계의 연산(선택, 교배, 변이)을 통해 최종적인 부구조 모드 개수의 조합이 결정되고, 이를 이용하여 목적함수(f)를 반복 계산하게 된다.

(11a)
f(m~1)=|T-T~1|
(11b)
f(m~2)=|T-T~2|

여기서, T는 시스템의 목표값, T~는 유전자 알고리즘을 통해 결정된 부구조 모드 개수의 조합으로 계산된 값이다. 임의의 조합들 중 목적함수 값이 작은 조합들이 생존하게 되며, 세대가 진행됨에 따라 각 부구조의 최소 모드 개수가 도출된다.

3. 수치예제

이 장에서는 앞서 기술한 Craig-Bampton method와 유전자 알고리즘을 이용하여 선형 유한요소 보의 최소 부구조 모드 개수를 도출하였다. 최소 모드 개수로 CMS를 수행하여 축소된 모델에 대한 결과를 전체 시스템과 비교하여 정확도를 검증하고자 한다.

3.1 단순 부구조물의 최적화

Fig. 2와 같이 3개의 부구조로 구성된 간단한 보 모델을 고려하였다. 보의 재료 물성 및 각 부구조의 제원은 Table 1에 기술하였다. 본 예제의 경우 1번 부구조가 보의 전체 거동에 지배적인 영향을 미칠 것으로 직관적인 판단이 가능하다.

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Fig. 2.

Geometry of a finite element beam model assembled with three substructures

Table 1.

Configuration of a beam model shown in Fig. 2

Material property
(common)
Young’s modulus(GPa) 200
Density(kg/m3) 7850
Poisson’s ratio 0.3
The number of elements Substructure 1 5
Substructure 2 4
Substructure 3 3
The number of internal modes available Substructure 1 12
Substructure 2 9
Substructure 3 6
Element length(m) Substructure 1 3
Substructure 2 2
Substructure 3 1

유전자 알고리즘을 이용하여 최적 모드 개수를 도출하기에 앞서 각 부구조의 시스템 목표값에 대한 기여도를 분석하였다. 시스템의 목표값은 6차 고유주파수로 설정하였다. 결과는 Fig. 3에 도시하였다. 그래프의 가로축은 각 부구조의 내부 모드 개수, 세로축은 시스템 목표값과의 오차이다. Sub1(실선)의 경우 2, 3번 부구조의 내부 모드는 0개로 고정한 채로 1번 부구조의 내부 모드 개수를 증가시킨 것이다. Sub2(실선+세모)와 Sub3(실선+동그라미)도 마찬가지 방법으로 기여도를 분석하였다. 직관적인 판단과 동일하게 1번 부구조가 약 4.56%의 오차로 시스템의 목표값에 대해 가장 지배적인 영향을 미친다. 반면, 나머지 2개의 부구조의 경우 모든 내부 자유도를 사용하여도 50% 이상의 오차가 존재함을 알 수 있다.

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Fig. 3.

The effect of each substructure on the system target value (6th natural frequency)

위와 동일한 방법으로 1차부터 6차 고유주파수까지의 기여도를 각 부구조별로 살펴보았다. 결과는 Fig. 4부터 Fig. 6까지 도시하였다. 1차 및 2차 고유주파수의 경우 각 부구조별로 내부 모드를 사용하지 않아도 오차가 없는 것을 확인할 수 있으며, 이는 축소에 고려되지 않는 경계 자유도의 영향이다. 전반적으로 대부분의 고유주파수에 대해 1번 부구조의 영향이 가장 크게 나타남을 확인할 수 있다. Figs. 3, 4, 5, 6의 결과들을 바탕으로 각 부구조별로 2개, 1개, 0개의 내부 자유도를 사용하면 시스템의 목표값(6차 고유주파수)을 달성할 수 있을 것으로 판단된다.

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Fig. 4.

The frequency error of the reduced order model due to the number of internal modes(substructure 1)

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Fig. 5.

The frequency error of the reduced order model due to the number of internal modes(substructure 2)

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Fig. 6.

The frequency error of the reduced order model due to the number of internal modes(substructure 3)

유전자 알고리즘을 이용하여 부구조 모드 개수 최적화 수행 시 목적함수는 목표 주파수 오차와 부구조 모드 개수의 합으로 다음과 같이 설정하였다.

fobj=ω6FOM-ω6ROMω6FOM×100+j=1Nnmodej

위 목적함수의 상첨자 FOM은 축소되지 않은 전체 모델, ROM은 CMS를 적용하여 축소된 모델을 의미한다. N은 부구조의 개수, nmodejj번째 부구조의 내부 모드 개수이다. 위와 같이 목적함수를 설정한 이유는 목표 주파수 오차와 내부 모드 개수를 동시에 최소화하기 위함이다. 목표 주파수 오차만을 최소화하는 경우 유전자 알고리즘 특성상 전역 최소값을 찾기 때문에 가능한 많은 내부 모드를 사용하게 되므로 적절한 제한이 필요하다. 따라서, 부구조 모드 개수의 합을 목적함수에 포함시킴으로써 제한을 가능하게 하였다. 유전자 알고리즘을 통해 최적해를 찾아가는 과정은 Fig. 7과 같다.

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Fig. 7.

Convergence of the penalty value in the generation

Fig. 7은 세대 진행에 따른 목적함수 값의 수렴정도를 나타낸다. 실선과 점선은 각각 한 세대 내에서의 반복계산에 따른 목적함수 값의 평균과 최소를 의미한다. 약 10번째 세대에서 수렴이 이루어졌다. 최적화를 통해 도출된 부구조별 최적 모드 개수는 각각 2개, 1개, 0개로 Figs. 3, 4, 5, 6을 통해 예상한 결과와 동일하며, 시스템의 목표 주파수와의 오차는 약 2.81%이다(Table 2).

Table 2.

The frequency error of the reduced order model by genetic algorithm

FOM ROM Error(%)
1st frequency 1.6476 1.6476 0.0007
2nd frequency 5.0738 5.0740 0.0034
3rd frequency 20.215 20.218 0.0150
4th frequency 36.647 36.707 0.1641
5th frequency 61.155 61.311 0.2551
6th frequency 70.239 72.213 2.8095

3.2 프레임형 부구조물의 최적화

Fig. 8과 같이 4개의 부구조로 구성된 보를 고려하였다. 1번, 3번 부구조의 아래쪽 노드는 완전 구속조건을 적용하였다. 부구조의 제원은 Table 3에 기술하였다. 3.1절의 예제와 마찬가지로 시스템의 목표값은 6차 고유주파수로 설정하였다. Fig. 9에 6차 고유주파수에 대한 각 부구조의 기여도를 도시하였다. 보의 전역 거동에 대해 Sub4 > Sub1 = Sub3 > Sub2번 부구조의 순서로 목표값에 대한 기여도를 가지는 것을 확인할 수 있다. 또한, 1차부터 6차 고유주파수에 대한 각 부구조의 영향도는 Figs. 10, 11, 12, 13에 도시하였으며, 이를 통해 각 부구조별로 몇 개의 내부 모드를 사용하여야 시스템 목표를 달성할 수 있는지 예측이 가능하다.

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Fig. 8.

Geometry of a finite element beam model assembled with four substructures

Table 3.

Configuration of a beam model shown in Fig. 8

Material property
(common)
Young’s modulus(GPa) 200
Density(kg/m3) 7850
Poisson’s ratio 0.3
The number of elements Sub 1(=Sub 3) 6
Sub 2 5
Sub 4 13
The number of internal modes available Sub 1(=Sub 3) 15
Sub 2 12
Sub 4 36
Element length(m) 1

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Fig. 9.

The effect of each substructure on the system target value(6th natural frequency)

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Fig. 10.

The frequency error of the reduced order model due to the number of internal modes(substructure 1)

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Fig. 11.

The frequency error of the reduced order model due to the number of internal modes(substructure 2)

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Fig. 12.

The frequency error of the reduced order model due to the number of internal modes(substructure 3)

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Fig. 13.

The frequency error of the reduced order model due to the number of internal modes(substructure 4)

Figs. 9, 10, 11, 12, 13의 결과들을 바탕으로 시스템의 6차 고유주파수에 대한 오차를 최소화하기 위해 효율적인 내부 모드의 개수는 각각 1개, 1개, 1개, 6개로 예상되었다.

유전자 알고리즘을 이용하여 부구조 최적화를 수행했을 경우 1번부터 3번 부구조의 경우 각각 내부 모드 1개씩, 4번 부구조의 경우 내부 모드 3개를 사용하도록 해가 도출되었다. 도출된 해를 이용한 축소 모델의 1차~6차 고유주파수 오차를 Table 4에 기술하였다. 전체 모델(FOM)과 비교하였을 때, 5차 고유주파수를 제외하면 99% 이상의 정확도를 가지는 것을 확인할 수 있다. 5차 고유주파수에서 약 7%의 오차가 발생한다. 이는 내부 모드를 저차부터 고차모드까지 순차적으로 사용하여 축소를 수행함에 따라 5차 모드의 거동을 근사하는 데 기여도가 높은 내부 모드가 적절히 고려되지 않은 것으로 판단된다.

Table 4.

The frequency error of the reduced order model by genetic algorithm

FOM ROM Error(%)
1st frequency 12.441 12.441 0.0024
2nd frequency 50.084 50.188 0.2074
3rd frequency 85.405 85.823 0.4895
4th frequency 103.26 103.34 0.0803
5th frequency 115.10 123.24 7.0731
6th frequency 136.39 136.97 0.4274

3.3 경계조건에 따른 최적화

경계조건에 따른 축소 모델의 효율 및 내부 모드 사용 변화를 확인해보기 위해 3.2절에 소개된 프레임형 구조물의 경계조건을 바꾸어 최적화를 수행하였다. 경계조건을 바꾼 구조물을 Fig. 14에 도시하였다.

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Fig. 14.

Geometry of a finite element beam model assembled with four substructures

3.2절의 완전구속 경계조건을 가지는 구조물의 경우 Sub4 > Sub3 = Sub1 > Sub2의 순서로 시스템 목표값에 대한 기여도를 가짐을 확인하였다. 한편 Fig. 14와 같이 단순지지 경계조건으로 바뀐 경우 그 기여도는 달라지게 된다. 기여도 분석 결과를 Fig. 15에 도시하였다. Sub4의 경우 아래에 위치한 부구조들의 경계조건이 변화하였음에도 가장 높은 기여도를 가지지만 나머지 부구조에 대해서는 Sub3 > Sub2 ≅ Sub1의 순서로 기여도가 달라지게 된다. 3번 부구조에 적용된 롤러 지지 때문에 밀려나는 영향이 다른 부구조의 거동에 비해 지배적이기 때문이다.

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Fig. 15.

The effect of each substructure on the system target value(6th natural frequency)

또한, Fig. 15로부터 1, 2번 부구조를 제외한 나머지에 대해 대략 1~3개(3번 부구조), 4개(4번 부구조)의 내부 모드를 사용하면 시스템 목표값을 달성할 수 있을 것으로 예상할 수 있다. 유전자 알고리즘 수행 시 4번 부구조만 4개의 모드를 사용하도록 최적해가 도출되었다. 결과는 Table 5에 기술하였다. 유전자 알고리즘을 통해 계산된 결과에 1번~3번 부구조의 내부 모드를 추가시키더라도 목표 주파수 대비 축소 모델의 주파수에는 변화가 없다. 이를 통해 유전자 알고리즘을 이용한 부구조 내부 모드 개수의 최적화가 효과적으로 수행된 것을 알 수 있다.

Table 5.

The frequency error due to the use of internal modes

Internal mode Target ROM Error(%)
Sub1 Sub2 Sub3 Sub4
0 0 0 4 115.09 116.31 1.0587
0 0 1 4 116.31 1.0587
0 1 1 4 116.31 1.0587
1 1 1 4 116.31 1.0587

4. 결 론

본 논문에서는 선형 보 구조물의 효율적인 축소를 위해 유전자 알고리즘을 이용하여 부구조의 내부 모드 개수를 최적화하였다. 시스템의 목표값에 대한 각 부구조별 기여도 분석을 통해 예측된 결과가 유전자 알고리즘 최적화를 통해 도출된 결과가 유사하였다. 유전자 알고리즘으로부터 도출된 결과들을 이용하여 CMS를 수행하였을 때 전체 모델 대비 90% 이상의 정확도를 가지는 축소 모델을 얻을 수 있었다. 한편, 특정 주파수에 대해 큰 오차가 발생함을 확인하였는데 이는 부구조의 내부 모드를 저차부터 고차까지 순차적으로 적용하면서 발생된 것으로 판단된다.

또한, 경계조건이 변화함에 따라 전역 거동에 대한 부구조들의 기여도가 달라지게 되며, 이는 유전자 알고리즘을 이용한 최적화 결과에도 충분히 반영되었다. 추후 연구에서는 내부 모드를 기여도 순으로 판별하여 모델 축소를 수행하고자 하며, 비선형 문제 및 유한요소 평판 모델로 확장 적용하고자 한다.

Acknowledgements

이 연구는 금오공과대학교 학술연구비로 지원되었음(2019104056).

References

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