1. 서 론
2. 접이해석
2.1 접이식 종이구조물
2.2 접이해석
2.3 접이과정중 응력의 분포
3. 충돌해석
3.1 이동해석
3.2 반동해석
3.3 검증실험
4. 최적충돌조건의 산정
4.1 충돌해석의 구성
4.2 적합함수
5. 결 론
1. 서 론
본 연구에서는 접혀진 종이구조물로 다른 종이구조물을 타격하여 피격된 구조물에 반전이 발생하면 승리하는 규칙을 가진 한국의 전통게임(딱지치기)과정을 비선형충돌해석을 이용하여 분석하였다.
접이식 종이구조물 혹은 종이접기는 구조분야에서 일반적으로 오리가미(origama)라 불리며, 다양한 접근방법으로 연구되고 있다. 종이접기에서 접는 면이 예리하게 꺽이는 경우(creased fold)와 곡률을 가지고 접는 면을 구성하는 경우(smooth fold)의 역학적인 거동식을 산정하고 적용하는 방법을 제시하는 세부적인 해석기법에 관한 논문(Hernandez et al., 2016)이나 우주 공간상에서 펼쳐지는 접이식 구조물을 설계하기 위한 힌지형태의 접힘부를 해석하는 연구(Fulton, 2020)와 같이 주로 접히는 과정이나 펼쳐지는 과정에서의 구조적 거동을 분석하는 기법에 관한 연구가 수행되고 있다. 또한 접혀진 상태에서의 강도나 구조적 거동을 분석하는 연구(Hidajat et al., 2019) 등이 수행되는 등 접이식 종이구조물에 대해 다양한 공학적 특성이나 적용에 관한 연구가 수행되고 있다. 하지만 접혀진 상태로 추가적인 동적거동에 관한 연구는 찾아보기 힘들다.
본 연구에서는 한국의 전통게임인 딱지치기의 거동해석을 수행하기 위한 종이구조물(이하 딱지, ddakji)의 접이과정을 유한요소법을 이용하여 해석하였다. 또한 이 딱지에 대하여 반전(승리)하는 충돌조건을 기계학습을 이용하여 검색하였다. 이 과정에서 접이과정에서 발생한 응력상태를 가진, 동일한 두 개의 딱지를 이용한 충돌해석을 수행하고 효율성을 증대시키기 위한 해석과정을 설정하였다. 본 연구에서 수행된 모든 구조해석은 ABAQUS/Explicit 6.12를 이용하여 수행되었다(Dassault Systèms Simulia Corp, 2012).
2. 접이해석
2.1 접이식 종이구조물
딱지의 재료는 일반적인 사무용지로 사용되는 A4(297mm × 210mm)지로 설정하였다. 접이방법은 두 장 접기를 이용하여 한 장의 A4지를 길이방향으로 반으로 접고 이 접혀진 종이를 중앙부가 겹치도록 배치한 후 겹치지 않는 부분을 대각선 방향으로 접었다. 본 논문에서는 이와 같이 대각선 방향으로 접은 부분을 날개(wing)라 부르고 겹쳐진 중앙부위를 바닥(base)이라고 부른다(Fig. 1).
이와 같은 상태에서 바닥은 4겹이고 날개부분도 4겹의 종이로 구성된다. 현재 사용되고 있는 사무용지의 두께는 일반적으로 0.1~0.14mm의 사이에서 관리되고 평방미터당 80g(80g/m2)의 질량을 갖는 것이 일반적이다(Hankuk Paper, 2017). 본 연구에서는 사무용지 1겹의 두께를 0.12mm로 가정하였다.
종이재료의 재료적 강성은 종이를 구성하는 섬유질의 방향을 따라 양방향으로 정의되는 이방성재료이다. 본 연구에서는 Fig. 2와 같은 응력-변형률 재료곡선중 종이의 평면방향을 나타내는 machine direction(MD)의 물성치를 사용하였다.
2.2 접이해석
딱지의 접기 과정을 해석하기 위한 모델에서 접이과정에서 나타나는 여러 겹의 종이 겹침은 각각 고려하지 않고 한 겹으로 가정하였다. 겹침에 의한 구조효과는 휨에 대한 강성과 질량에 의한 관성력으로 나타날 것이다. 이 중 관성력은 바닥부분과 날개부분의 겹침을 감안하여 두께를 고려하였다. 휨에 대한 효과는 바닥과 날개가 만나는 부분에서 지배적일 것으로 판단되지만 이 부분은 다른 부분에 비해 작은 곡률반경을 가지고 접히는 부분으로 여러 겹의 종이가 가장 큰 마찰력과 압력을 받는 구간이므로 미끄럼 등이 발생하지 않는 일체화 거동을 할 것으로 판단하였다.
접이과정을 해석할 초기 구조물은 이러한 가정을 바탕으로 하여 Fig. 3의 형상을 가진 쉘요소로 모델링되었다(Fig. 3). 사용된 쉘요소는 ABAQUS의 S4R요소로 감차적분을 통해 해석의 효율성을 높힌 범용쉘요소이다(Dassault Systèms Simulia Corp, 2012).
딱지의 최종적인 형상은 날개부분이 서로 꼬인 위치에서 날개간의 마찰력이 바닥과 날개부분의 복원력을 지지하는 과정에서 결정된다. 따라서 날개가 꼬인 위치로 변형한 후에 마찰력을 도입해야 한다. 이러한 상태를 만들기 위해 다음과 같은 해석단계를 구성하였다.
1) 변위경계조건을 이용하여 날개의 끝 부분을 평면에서 꼬인 위치까지 이동시키는 변형해석을 수행한다(Fig. 4).
2) 날개가 꼬인 위치에 있는 상태에서 날개의 상부를 강체평판을 이용하여 압착한다(Fig. 5).
이 두 과정은 실제 딱지를 접을 때 수행하는 과정으로 이를 구조해석을 통해 구현한 것이다.
다만 1)의 과정에서 직선으로 날개의 끝 부분을 목적한 위치까지 이동시키는 경우 인접한 날개부분과의 간섭이 발생시키는 과도한 변위가 전체적인 해석결과의 안정성이 떨어지는 현상이 일어난다. 이는 실제 접이과정에서 모서리부분에서 옆 날개의 종이와 간섭을 일으켜 종이가 찢어지는 경우에 해당한다. 본 연구에서는 이러한 현상을 방지하기 위하여 우선 날개를 평면에서 80°의 각도까지 평면을 유지한 상태에서 날개부분을 변형시키고(step 1) 이후 날개의 끝 부분을 최종적인 꼬임 위치까지 변형을 이동시켰다(step 2). 이 단계에서 아래쪽 날개 끝의 목표변위를 Table 1에 제시하였다. 다른 날개들도 동일한 변위를 대칭적으로 고려하여 적용하였다. 날개를 세우는 각도가 90°가 넘는 경우에는 최종꼬임위치로 날개를 변형시킬 때 앞서 언급한 간섭현상이 발생하여 해석의 안정성이 매우 떨어진다.
Table 1
Coordinate of the end of downside wing
| coordinate | ||||
| x | y | z | ||
| Initial | 0.0105 | -0.0960 | 0.0000 | Fig. 3 |
| step 1 | 0.0105 | -0.0167 | 0.0945 | Fig. 4(a) |
| step 2 | -0.0096 | 0.0933 | 0.0085 | Fig. 4(b) |
꼬인 위치로 날개의 끝 부분이 위치한 후 구조물의 상부에 마찰이 없는 강체평판을 위치시키고 강제변위의 경계조건을 주어 종이구조물을 압착시킨다(Fig. 5). 본 연구의 대상인 딱지에서 기본적으로 바닥 4겹, 날개 4겹에 꼬인 위치에서의 겹침을 생각하면 일반적으로 12겹의 종이가 겹쳐있게 된다. 따라서 완전 밀착시켰을 경우 종이구조물의 두께는 1.5mm 정도이다.
압착두께가 작은 경우는 납작한 형태를 가지므로 실제 게임에서 타격시 반동이 작아 넘기기 힘든 딱지가 된다. 본 연구에서는 압착두께는 4, 5, 6mm로 하여 두께에 대한 영향을 고찰하고자 하였다. 본 논문에서 도시된 그림은 5mm의 압착두께를 가진 경우에 대한 것이다.
압착이 끝난 딱지에 대해서 중력하중을 작용시키고 동적완화 해석을 수행한다. 이 단계에서 딱지는 압착상태에서 복원변형을 일으키게 된다. 최종적인 변형형상은 꼭짓점 부분이 없는 납작한 피라미드와 같은 형상을 가진다(Fig. 6).
2.3 접이과정중 응력의 분포
앞에서 살펴본 접이과정 중 두 번째 단계인 압착과정에서 바닥과 날개의 연결부는 다른 부분에 비하여 큰 소성변형을 겪게 된다. 접이과정이 완료된 후 최종적인 응력분포를 Fig. 7에 나타내었다.
응력분포는 예상대로 곡률반경이 가장 작은 모서리부분에서 가장 크게 나타나고 다른 부분들은 상대적은 낮은 응력분포를 나타내었다. 이때 발생한 최대 응력은 날개부분에서 발생하며, 그 크기는 35Mpa 정도로 Fig. 2의 응력변형률 곡선에서 소성변형이 발생한 크기이다. 하지만 이 부분을 제외한 다른 부분은 모두 항복점 이하의 낮은 응력을 보여 선형거동영역에 있는 것으로 나타났다.
3. 충돌해석
충돌해석 과정은 타격딱지를 주어진 충돌조건에 부합되도록 이동시키는 과정과 충돌에 따른 딱지의 거동을 산정하는 과정으로 구성되었다. 해석에서 고려된 충돌조건은 다음과 같다.
1) x 방향 겹침(0.1~0.9)
2) y 방향 겹침(0.5~0.9)
3) 충돌각도(0~1.0rad)
4) 충돌속력(5m/s~15m/s)
여기에서 겹침비율은 타격딱지가 피격딱지를 덮는 비율을 나타낸다. 즉 x방향 겹침비율이 1.0이면 두 개의 딱지가 정확하게 겹쳐지는 것을 의미한다. 그러나 실제 게임에서는 타격딱지가 피격딱지에 정확하게 겹치는 경우는 일어나기 어렵고 또한 게임의 목적상 의도적으로 편심이 발생하도록 타격하는 것이 일반적이기 때문에 이러한 겹침의 정도를 충돌조건으로 가정하였다. 충돌각도도 마찬가지로 실제 타격시 정확하게 수평을 유지하면서 타격하는 것은 기대하기 어려우므로 이를 충돌조건에 포함시켰다. 충돌속력은 타격딱지가 피격딱지에 근접했을 때의 속력를 의미하며, 이는 타격딱지의 운동에너지를 나타낸다. 이 속력의 수평방향 성분과 수직방향 성분은 충돌각도를 이용해 산정한다.
3.1 이동해석
이동해석은 실제 충돌이 일어나는 위치와 각도로 타격딱지를 위치시키는 과정이다. 이는 경계조건에서 강제변위를 부여해 수행하였다. 충돌위치와 각도의 두 조건을 충족시키기 위해서 회전변위를 타격딱지 바닥의 모서리를 기준으로 발생시킨 후 수평변위가 발생하도록 해석을 수행하였다(Fig. 8).
3.2 반동해석
반동해석은 실제 타격딱지가 피격딱지와 충돌하여 반동거동을 일으키는 해석단계이다. 타격딱지는 짧은 시간동안 피격딱지와 접촉한 후 피격딱지와 바닥에 대해 반동을 일으킨다. 피격딱지는 타격딱지로부터 전달받은 운동에너지를 변형에너지로 흡수하고 이 변형에너지로 반동을 발생시킨다. 두 딱지가 지표면에서 떨어진 후에는 국부적으로 진동하지만 전체적으로는 지표면에서 던져진 질점과 같이 중력에 따른 낙하운동을 한다고 볼 수 있다. 따라서 간단한 운동방정식에 의해서 이후의 거동을 추정할 수도 있다. 하지만 두 딱지 간에 2차 충돌을 고려해야 하기 때문에 구조해석을 통해서 변위를 산정하였다. Fig. 9에서는 시간에 따른 변위를 나타내었다.
Fig. 10에서는 충돌중 발생하는 운동에너지와 변형에너지의 변화를 나타내었다. 타격딱지의 운동에너지중 최대 1/8정도가 피격딱지의 운동에너지로 전환되고 유사한 크기의 운동에너지가 변형에너지로 전환된다. 타격딱지는 피격딱지뿐만아니라 지면도 동시에 타격하므로 이 과정에서 마찰이나 반동에 의한 위치에너지 등으로 운동에너지가 소산되는 것으로 파악된다. 충돌에 에너지의 변화는 0.02초경에 종료되고 이후로는 두 딱지의 운동에너지와 변형에너지는 지면에 낙하시까지 유사한 상태가 지속된다.
3.3 검증실험
해석에서 고려한 충돌조건의 타당성을 파악하기 위하여 검증실험을 실시하였다. 검증실험은 2장에서 제시한 방법에 의해서 딱지를 제작하고, 피격딱지를 정해진 실험대의 중앙에 위치시키고 타격딱지로 피격딱지를 가격하는 과정을 녹화하여 분석하였다.
실험시 양방향 겹침비가 1.0이 되도록 가격하고자 하였으나 각 시행마다 모두 다른 위치로 충돌이 발생하여 충돌위치를 일관되게 통제할 수 없었다.
충돌과정은 초당 240프레임의 비율로 동영상을 촬영하고 이를 분석하여 충돌속력을 산정하였다. 타격딱지가 손을 떠나 피격딱지에 닿기까지는 평균적으로 3프레임이 걸리고 이는 1/80초의 시간에 해당한다. 충돌 전 프레임에 타격딱지의 꼭지점과 실험대의 모서리의 평면좌표를 획득하고(Fig. 11) 이를 기지의 모서리길이와 비교하여 수직이동거리를 산정하여 충돌속력을 계산하였다. 5회의 타격에 대한 충돌속력의 예를 Table 2에 제시하였다. 평균충돌속력은 약 12~15m/s 정도로 나타났고 이는 앞에서 가정한 충돌속력의 범위가 타당하다는 것을 보여준다.
4. 최적충돌조건의 산정
이 게임에서의 승리조건은 피격된 딱지가 충돌 후 반동에 의한 거동을 마치고 착지했을 때 최종적으로 반전된 상태에서 운동이 종료되어야 한다. 이러한 최종 반전조건을 얻기 위하여 충돌위치와 각도, 충돌속력을 결정하는 것이 최적화의 목표이다. 하지만 최종적인 피격딱지의 상태가 반전이라는 조건을 만족시키는 충돌조건은 여러 경우가 있을 수 있으므로 본 연구에서는 여러 가지 충돌조건중 가장 낮은 운동에너지를 갖는 경우, 즉 가장 낮은 충돌속력을 갖는 경우를 최적충돌조건이라 정의하였다. 이러한 최적충돌조건을 찾기 위하여 유전알고리즘을 이용한 최적화를 수행하였다.
4.1 충돌해석의 구성
유전알고리즘을 이용한 최적화는 기본적으로 다양한 충돌조건에 대한 반복해석이 필요하다. 따라서 전 장에서 설명한 이동해석과 충돌해석을 반복하게 된다. 하지만 이 중 반동해석은 타격딱지에 의해서 전해진 운동에너지에 의해 유발된 피격딱지가 착지할 때까지 비선형동적해석을 수행하는 것으로 해석과정중 계산비용이 가장 크다. 따라서 이 과정을 효율적으로 구성하기 위하여 다음과 같은 2단계로 반동해석을 수행하였다.
4.1.1 상승단계
이 단계는 타격딱지의 충격에 의해서 피격딱지가 상승하는 단계이다. 타격딱지와의 2차충돌이 있는 경우 대부분 이 단계에서 발생한다. 해석의 경험을 바탕으로 충돌 후 0.1초의 시간을 이 단계로 설정하였다. 이 단계의 최종 피격딱지의 거동이 기준 조건을 만족시키지 못하는 경우에는 1단계에서 해석을 종료한다. 해석을 종료하는 조건은 다음과 같다.
1) 피격딱지 하면의 법선이 이루는 방향코사인이 기준값이하이고
2) 피격딱지 하면의 법선이 이루는 방향코사인이 감소하고 있는 경우
피격딱지 하면이 지면에 수직으로 위치하고 있는 경우 하면의 법선의 방향코사인은 0이고 반전된 경우에는 1.0이다. 즉 위의 조건은 1단계해석 종료시점에서 피격딱지가 넘어가지 않은 상태에서 바닥을 밑으로 하여 낙하하고 있는 상태를 나타낸다. 일반적으로 약 3/4 정도의 충돌조건이 이 조건을 통과하지 못하여 상승해석에서 해석이 종료되었다.
4.1.2 낙하단계
이 단계는 상승단계에서 해석종료조건에 해당하지 않는 경우에 낙하단계에서의 해석으로 피격딱지가 지면과의 상호작용이 발생하는 구간이다. 부상단계와 마찬가지로 해석에 바탕한 경험칙으로 0.3초를 낙하단계의 해석시간으로 결정하였다.
4.2 적합함수
상승단계와 낙하단계는 각각 유전알고리즘을 적용하기 위한 적합함수를 가져야 한다. 전체적인 최적화의 목표는 낙하단계의 해석결과에서 평가되어야 앞에서도 언급했듯이 3/4 정도의 해석은 상승단계까지만 해석이 수행되기 때문에 전체적인 적합함수와 다른 적합함수가 적용되어야 하고 피격딱지의 반전 가능성이 증가하는 방향으로 설정해야 한다. 본 연구에서는 사용된 상승단계와 낙하단계의 최적화 목표를 다음과 같이 다르게 규정하여 해석을 수행하였다.
4.2.1 상승단계
여기서 은 피격딱지 하면의 법선벡터이다.
4.2.2 낙하단계
여기서 는 충돌속력이다. 단 이 적합함수는 반전이 발생한 경우에만 사용하고 그렇지 않은 경우에는 상승단계의 적합함수결과를 사용하였다.
위와 같은 조건에서 유전알고리즘의 적용조건은 Table 3와 같다. 이와 같은 해석을 수행하는데 있어서 해석 경우당 Intel i7-10700 CPU의 4개의 코어를 사용하여 약 37시간이 소요되었다.
Table 3
Conditions for generic algorithm
| number of generation | 200 |
| population | 5 |
| mutation | adaptive |
| number of parents | 2 |
위와 같은 조건에서 최적화를 수행한 결과 얻어진 세대별 fitness의 변화를 Fig. 12에 나타내었다. 이 그래프에서는 접이단계중 평판에 의한 압착두께를 4, 5, 6mm인 딱지에 대해서 앞에서 충돌조건과 유전알고리즘의 설정을 이용하여 최적화 해석을 수행하였다. 최적화 수행결과 압착두께를 5mm, 6mm로 설정한 경우에는 최종적인 접합도가 1 이상의 값을 보여 주어진 충돌조건에서 승리하는 경우를 찾아낼 수 있었다(Table 4). 유전알고리즘에서 얻어진 최적충돌조건은 실험에서 얻어진 속력보다 절반이하로 나타나 강하게 타격하는 것(= 큰 충돌속력)이 반드시 유리하지 않다는 경험적 결과와 부합하는 거동을 보이고 있다.
Table 4
The conditions for the best fitness in 200 generations
|
Squeez thickness |
x overrap ratio |
y overrap ratio |
angle (rad) |
speed (m/s) |
| 5mm | 0.7139 | 0.7071 | 0.7656 | 7.59 |
| 6mm | 0.8499 | 0.5415 | 0.1850 | 5.54 |
특히 압착두께가 6mm인 경우가 5mm인 경우에 비해서 더 작은 에너지로 가격하여도 피격딱지의 반전을 얻어낼 수 있었다. 이와는 반대로 압착두께를 4mm인 경우에는 본 연구에서 설정한 조건에서는 피격딱지가 반전을 일으키는 충돌조건을 찾아낼 수 없었다. 이는 우리가 일반적으로 아는 납작하게 접힌 딱지는 넘기기 힘들다는 상식에 부합하는 결과이다.
