A Macro Model for Simulating Strength Degradation in Shear-Critical RC Columns

Yousok Kim

doi:10.7734/COSEIK.2026.39.1.71

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Research Paper

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 28 February 2026. 71-79
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2026.39.1.71

A Macro Model for Simulating Strength Degradation in Shear-Critical RC Columns

전단파괴형 RC 기둥의 내력저하 거동 재현을 위한 매크로 모델

Yousok Kim¹^*

김 유석¹^*

¹Professor, School of Architectural Engineering, Hongik University, Sejong, 30016, Korea

¹홍익대학교 건축공학부 교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

Shear failure followed by axial collapse in reinforced concrete (RC) columns with insufficient transverse reinforcement represens a critical structural failure mode. Conventional analytical models often fail to accurately capture flexural-shear-axial interaction effects, whereas detailed finite element methods entail substantial computational cost. This study proposes a novel macro-element model that integrates material-level accuracy with the computational efficiency of line elements. The column is discretized into three elements along the longitudinal axis. Plate elements are formulated using a four-node plane-stress model incorporating the modified compression field theory (MCFT) to represent biaxial stress states and concrete compression softening. A double-nested iteration scheme is developed to satisfy equilibrium conditions. Validation against experimental data demonstrates that the proposed model accurately reproduces post-peak strength degradation and shear failure behavior, thereby addressing the key limitations of conventional fiber-based models.

Keywords

RC column

shear failure

macro-model

modified compression field theory (MCFT)

flexural-shear-axial interaction

전단 보강근이 불충분한 철근콘크리트(RC) 기둥에서 발생하는 전단 파괴 및 이에 따른 축 붕괴는 매우 치명적인 파괴 유형이다. 기존의 모델들은 힘 모멘트-전단력-축력 간의 복잡한 상호작용을 모사하는 데 한계가 있는 반면, 정밀 유한요소해석법은 전체 골조 해석에 적용하기에는 연산 비용이 높다는 단점이 있다. 이에 본 연구에서는 재료 수준의 정밀도와 선요소의 해석 효율성을 결합한 새로운 매크로모델을 제안한다. 제안된 모델은 기둥을 3개의 요소로 분할한다. 면요소에는 수정 압축장 이론(MCFT)을 도입한 4절점 평면 응력 정식화를 적용하여, 콘크리트의 2축 응력 상태와 압축 연화(Compression Softening) 효과를 고려하였다. 또한, 해석의 수렴성과 평형 조건을 만족시키기 위해 이중 중첩 반복 계산 알고리즘을 개발하였다. 실험 데이터와의 검증 결과, 제안 모델은 기존 파이버 모델의 한계를 극복하고 최대 강도 이후의 내력 저하 및 전단 파괴 거동을 성공적으로 예측함을 확인하였다.

키워드

철근콘크리트 기둥

전단파괴

매크로모델

수정압축장이론

휨-전단-축력 상호작용

MAIN

1. 서 론
2. 해석모델의 정식화
2.1 모델의 개요 및 가정
2.2 부재 강성행렬의 유도
2.3 선요소와 면요소의 관계
2.4 면요소의 구성방정식
2.5 해석 순서
3. 제안 모델의 검증 및 비교
3.1 선요소-면요소 변환과정의 타당성 검토
3.2 파이버 모델과의 비교
4. 제안모델의 실험결과에 의한 검증
4.1 실험체 및 실험방법 개요
4.2 해석결과 및 고찰
5. 결 론

1. 서 론

현행 내진설계 기준을 만족하지 못하는 비내진 상세의 RC 건물들은 기둥 부재에 전단 보강근이 충분히 배근되지 않아, 지진 발생 시 취성적인 전단 파괴가 발생할 위험이 매우 높다(Choi and Lee, 2022; Sezen and Moehle, 2004). 이러한 전단 파괴는 단순히 부재의 손상에 그치지 않고, 기둥의 축하중 지지 능력을 급격히 감소시켜 건물의 연쇄적인 붕괴나 층 붕괴로 이어질 수 있다는 점에서 치명적이다(Huang et al., 2022; Kim et al., 2012a).

현행 내진 설계 기준은 기둥에 충분한 전단보강근을 배치하여 전단 파괴를 억제하고 휨 항복을 유도함으로써, 소성 변형 구간에서도 축력을 안정적으로 지지할 수 있도록 규정하고 있다. 그러나 전단 보강근이 결핍된 기존 RC 기둥이나, 설령 휨 항복하도록 설계된 기둥이라 할지라도 대변형 영역에서는 콘크리트의 균열 진전과 코어 콘크리트의 파괴, 그리고 전단 보강근의 항복으로 인해 휨-전단-축력의 복잡한 상호작용이 발생하며, 이는 급격한 내력 저하(Strength degradation)의 원인이 된다(Elwood and Moehle, 2005; Kim et al., 2012b).

RC 기둥의 해석에 사용되는 대표적인 모델로는 소성 힌지 모델(Lumped Plasticity Model, LPM)이나 파이버 모델(Fiber Model)과 같은 부재 레벨 모델이 있다. 이들 모델은 부재를 양단 2개의 절점에 의해서 모델링하는 단순성과 함께 해석이 간편하고 연산 속도가 빨라 전체 골조 해석에 널리 사용된다(Giberson, 1969; Spacone et al., 1996). 하지만 이들 모델은 전단 파괴 메커니즘을 직접적으로 고려하지 못하고, 경험적인 이력 법칙이나 간략화된 스프링 모델에 의존해야 하는 한계가 있다(Pincheira et al., 1999). 반면, 유한 요소 해석(FEM)에 기초한 재료 레벨 모델은 콘크리트의 국부적인 응력 상태와 균열 거동을 정밀하게 모사할 수 있으나, 요소망 생성의 복잡함과 막대한 해석 비용으로 인해 실무적인 골조 해석에 적용하기에는 제약이 따른다(Kim et al., 2011; Stevens et al., 1991; Vecchio and Collins, 1986).

결국 RC 부재의 해석 기법에 있어 ‘정확성’과 ‘연산 효율성’은 서로 상충 관계에 있다고 할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 이 두 가지 요소를 동시에 만족시킬 수 있는 새로운 형태의 매크로 모델(Macro-model)을 제안하고자 한다. 제안된 모델은 기둥 부재를 3분할 선요소로 모델링하여 자유도를 최소화하되, 소성 힌지가 발생하는 양단 요소에는 수정 압축장 이론(modified compression field theory, MCFT, Vecchio and Collins, 1986)에 기반한 평면 응력 요소를 적용하여 재료 레벨의 정밀함을 확보하였다. 이를 통해 전단 보강근의 구속 효과와 콘크리트의 2축 응력 상태를 고려한 전단 파괴 및 내력저하 거동을 효율적으로 재현하는 것을 목적으로 한다.

2. 해석모델의 정식화

2.1 모델의 개요 및 가정

본 연구에서 제안하는 모델은 Fig. 1과 같이 기둥을 길이 방향으로 3개의 요소로 분할한 선요소를 면요소로 변환하는 과정을 포함한다.

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Fig. 1.

Schematic diagram of the proposed model

지진 하중 작용 시 기둥의 휨 모멘트는 양단부에서 최대가 되므로, 단부 요소의 길이( $α L_{0}$ )는 소성 힌지 영역의 길이에 해당한다. 분할된 선요소는 양단에 2개의 절점을 가지며, 각 절점은 수평 변위, 수직 변위 및 회전각의 3자유도를 갖는다. 하나의 기둥 부재는 총 4개의 절점으로 구성되나, 내부 절점(③, ④)에는 외부 하중이 작용하지 않는다고 가정할 수 있다. 따라서 정적 축약 기법(static condensation method, SCM)을 적용하여 내부 자유도를 소거하고 외부 절점(①, ②)만의 강성 행렬을 구성할 수 있다.

2.2 부재 강성행렬의 유도

Fig. 1에 각 선요소의 절점에서의 힘과 변형을 나타내고 있으며, 식 (1), (2), (3), (4), (5)는 이들의 관계식을 나타내고 있다. 분할된 선요소의 절점은 3개의 자유도로 표현되며, 여기서 아래 첨자는 절점번호, 위 첨자인 괄호안의 숫자는 분할된 선요소의 번호를 나타낸다.

(1)

\{Δ F^{(1)}\} = \{\begin{array}{l} \{Δ f_{1}^{(1)}\} \\ \{Δ f_{3}^{(1)}\} \end{array}\} = [\begin{array}{l} [k_{11}^{(1)}] [k_{13}^{(1)}] \\ sym. [k_{33}^{(1)}] \end{array}] \cdot \{\begin{array}{l} \{Δ d_{1}^{(1)}\} \\ \{Δ d_{3}^{(1)}\} \end{array}\} = [K^{(1)}] \cdot \{Δ D^{(1)}\}

(2)

\{Δ F^{(2)}\} = \{\begin{array}{l} \{Δ f_{4}^{(2)}\} \\ \{Δ f_{2}^{(2)}\} \end{array}\} = [\begin{array}{l} [k_{44}^{(2)}] [k_{42}^{(2)}] \\ sym. [k_{22}^{(2)}] \end{array}] \cdot \{\begin{array}{l} \{Δ d_{4}^{(2)}\} \\ \{Δ d_{2}^{(2)}\} \end{array}\} = [K^{(2)}] \cdot \{Δ D^{(2)}\}

(3)

\{Δ F^{(3)}\} = \{\begin{array}{l} \{Δ f_{3}^{(3)}\} \\ \{Δ f_{4}^{(3)}\} \end{array}\} = [\begin{array}{l} [k_{33}^{(3)}] [k_{34}^{(3)}] \\ sym. [k_{44}^{(3)}] \end{array}] \cdot \{\begin{array}{l} \{Δ d_{3}^{(3)}\} \\ \{Δ d_{4}^{(3)}\} \end{array}\} = [K^{(3)}] \cdot \{Δ D^{(3)}\}

(4)

여기서, \{Δ f_{n}^{(m)}\} = {\{Δ f_{x n}^{(m)}, Δ f_{z n}^{(m)}, Δ m_{y n}^{(m)}\}}^{T}

(5)

\{Δ d_{n}^{(m)}\} = {\{Δ d_{x n}^{(m)}, Δ d_{z n}^{(m)}, Δ θ_{y n}^{(m)}\}}^{T}

내부 절점에서의 힘의 평형조건 및 적합조건을 고려하여 3개의 선요소에 대한 강성행렬을 합성하면 식 (6), (7), (8)이 구해지며 이를 다시 외부 절점과 내부 절점의 관계로 정리하면 식 (10)으로 표현할 수 있다. 여기서 내부 절점에 작용하는 외력이 0이라고 가정하면(식 (11)), SCM에 근거하여, 식 (11)을 식 (10)에 대입한 후, 내부 절점 변위에 대해서 표현하면 식 (12)가 구해진다. 마지막으로 식 (12)를 식 (10)에 대입하고 외부 절점만의 관계(식 (13))로 축약하면 부재의 강성행렬( $[K_{e l e .}]$ )이 구해진다(식 (15)). 여기서, 아래 첨자 e와 i는 각각 외부 절점과 내부 절점을 의미한다.

(6)

{Δ \hat{F}} = [\hat{K}] \cdot {\hat{D}}

(7)

{Δ \hat{F}} = {\{\{Δ F_{1}\}, \{Δ F_{2}\}, \{Δ F_{3}\}, \{Δ F_{4}\}\}}^{T}

(8)

{Δ \hat{D}} = {\{\{Δ D_{1}\}, \{Δ D_{2}\}, \{Δ D_{3}\}, \{Δ D_{4}\}\}}^{T}

(9)

[{\hat{K}}^{†}] = [\begin{matrix} [k_{11}^{(1)}] & [k_{12}^{(1)}] & 0 & 0 \\ [k_{33}^{(1)}] + [k_{33}^{(3)}] & [k_{34}^{(3)}] & 0 \\ [k_{44}^{(3)}] + [k_{44}^{(2)}] & [k_{42}^{(2)}] \\ sym. & [k_{22}^{(2)}] \end{matrix}]

(10)

\{\begin{array}{l} \{Δ F_{e}\} \\ \{Δ F_{i}\} \end{array}\} = [\begin{array}{l} [K_{e e}] [K_{e i}] \\ [K_{i e}] [K_{i i}] \end{array}] \cdot (\binom{\{Δ D_{e}\}}{\{Δ D_{i}\}})

(11)

\{Δ F_{i}\} = 0

(12)

\{Δ D_{i}\} = {[K_{i i}]}^{- 1} \cdot (\{Δ F_{i}\} - [K_{i e}] \{Δ D_{e}\})

(13)

\{Δ F_{ele.}\} = [K_{(ele.)}] \{Δ D_{ele.}\}

(14)

\{Δ F_{e l e .}\} = \{Δ F_{e}\} - [K_{e i}] \cdot {[K_{i i}]}^{- 1} \cdot \{Δ F_{i}\}

(15)

[K_{e l e}] = ([K_{e e}] - [K_{e i}] \cdot {[K_{i i}]}^{- 1} \cdot [K_{i e}])

이상의 과정은 3개 선요소의 강성행렬을 합성하고, SCM을 통해서 2개의 외부 절점으로 표현되는 부재의 강성행렬( $[K_{e l e .}]$ )을 산출하는 과정을 나타내고 있다.

2.3 선요소와 면요소의 관계

제안 모델의 특징은 선요소의 거동을 면요소(plate element)의 구성 방정식을 통해 평가한다는 점이다. 이를 위해 Fig. 2와 같이 선요소의 양단 변위를 4절점 면요소의 변위로 변환하는 기하학적 관계를 유도하였다. 즉, 선요소의 중심축 변위와 회전각으로부터 면 요소 각 절점의 변위를 산정한다. 따라서, 선요소( $\{D^{(1)}\}$ )와 면요소( $\{D'^{(1)}\}$ )의 변위관계식을 식 (16)으로 표현할 수 있으며, 행렬의 형태로 표현하면 식 (17)과 같다.

(16)

d'_{x 1}^{(1)} = d_{x 1}^{(1)}, d'_{z 1}^{(1)} = d_{z 1}^{(1)} + (□ / 2) ∙ θ_{y 1}^{(1)} d'_{x 2}^{(1)} = d_{x 1}^{(1)}, d'_{z 2}^{(1)} = d_{z 1}^{(1)} + (□ / 2) ∙ θ_{y 1}^{(1)} d'_{x 3}^{(1)} = d_{x 3}^{(1)}, d'_{z 3}^{(1)} = d_{z 3}^{(1)} + (□ / 2) ∙ θ_{y 3}^{(1)} d'_{x 4}^{(1)} = d_{x 3}^{(1)}, d'_{z 4}^{(1)} = d_{z 3}^{(1)} + (□ / 2) ∙ θ_{y 3}^{(1)}

(17)

{\{D^{(1)}\}}^{T} = [T_{8 \times 6}^{(1)}] ∙ {\{D^{(1)}\}}^{T}

(18)

[T_{8 \times 6}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & □ / 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - □ / 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & □ / 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - □ / 2 \end{matrix}]

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Fig. 2.

Relationship between line- and plate-element

2.4 면요소의 구성방정식

본 제안모델의 최소해석단위는 면요소이며, 각각의 면요소를 하나의 4절점 Iso-parametric 요소로 모델링하였다. 면요소의 재료 비선형 거동을 재현하기 위해 수정 압축장 이론(modified compression field theory, MCFT)을 적용하였다. MCFT는 균열이 발생한 콘크리트를 직교하는 두 방향의 평균 응력과 평균 변형도 관계로 다루며, 면요소의 Gauss 적분점에서의 응력-변형도관계(식 (19))로부터 면요소의 구성방정식을 산출한다. 본 제안 모델에서는 하나의 면요소에 9개의 Gauss 적분점을 두고 수치적분을 수행한다.

면요소의 변위는 선요소로부터 변환될 때 사용된 가정에 의해서 부재축의 직교방향 변위가 같은 값을 갖게 된다(식 (16)). 따라서, 부재축 직교 방향의 변형도 Δε_x를 기하학적으로 정의할 수 없다는 문제가 있다. 이를 해결하기 위해 본 연구에서는 횡방향 응력 평형 조건(식 (21))을 도입하였다. 즉, 외부에서 가해지는 횡방향 구속력이 없는 상태에서 콘크리트의 횡방향 팽창 응력( $σ_{x, c o n}$ )과 전단보강근에 의한 구속력( $σ_{x, h o o p}$ )의 합이 0이 되어야 한다는 조건이다. 이 조건을 만족하는 Δε_x를 찾기 위해 반복 계산을 수행하며, 이를 통해서 Δε_x를 산출하게 된다(식 (22)).

(19)

\{\begin{array}{l} Δ σ_{x} \\ Δ σ_{z} \\ Δ τ_{x z} \end{array}\} = [\begin{array}{l} D_{11} & D_{12} \\ D_{21} & D_{22} \\ D_{31} & D_{23} \\ D_{33} & D_{33} \end{array}] \cdot \{\begin{matrix} Δ ε_{x} \\ Δ ε_{z} \\ Δ γ_{x z} \end{matrix}\}

(20)

{\{0, Δ ε_{z}, Δ γ_{x z}\}}^{T} = [B_{3 \times 8}] \cdot \{Δ D^{'}\}

(21)

Δ σ_{x} = Δ σ_{x, con} + ρ_{x} Δ σ_{x, hoop} = 0

(22)

Δ ε_{x} = - \frac{D_{12}}{D_{11}} \cdot Δ ε_{z} - \frac{D_{13}}{D_{11}} \cdot Δ γ_{x z} + \frac{Δ σ_{x}}{D_{11}}

Fig. 3에 본 연구에서 적용한 콘크리트의 압축모델 및 인장모델을 나타내고 있다. 본 모델에서는 MCFT에서 제안하고 있는 콘크리트의 인장변형에 의한 콘크리트 압축강도의 연화효과(softening effect)를 고려하고 있다. 철근은 bilinear model을 적용하였다.

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Fig. 3.

Constitutive law for concrete

2.5 해석 순서

본 절에서는 제안모델의 해석순서를 각 단계별로 나타내고 있으며, 각 단계에서 사용되는 수식을 함께 표기하였다.

2.5.1 부재 외부 절점의 증분 변위 $\{Δ D_{e}\}$

1) Fig. 1에서의 절점번호 ①, ②에 해당하는 변위

2.5.2 부재 내부 절점의 증분 변위 $\{Δ D_{i}\}$ 산출

1) 식 (9)를 통해서 내부 절점에 작용하는 외력이 0(식 (11))이라는 조건을 이용하여 내부 절점의 증분 변위 산출(식 (23))

(23)

\{Δ D_{i}\} = {[K_{i i}]}^{- 1} \cdot (- [K_{i e}] \{Δ D_{e}\})

2) 수렴계산 중에는 평형방정식을 만족시키기 위한 불평형력(unbalanced force) $\{Δ F_{i}\} = \{F_{i}^{u}\}$ 와 함께 외부 절점의 적합조건 $\{Δ D_{e}\} = 0$ 를 적용하여 내부 절점의 증분 변위 산출

(24)

\{Δ D_{i}\} = {[K_{i i}^{n e w}]}^{- 1} \cdot (\{F_{i}^{u}\})

2.5.3 각각의 선요소에 대한 증분 변위 산출 $\{Δ D^{(m)}\}$

1) $\{Δ D_{e}\}$ 와 $\{Δ D_{i}\}$ 를 이용하여 각 선요소의 증분 변위 산출(이후, $\{Δ D^{(m)}\}$ 을 ${Δ D (m)}$ 로 표기)

2.5.4 면요소의 변위, ${Δ D' (m)}$ 산출

1) 선요소의 증분변위 ${Δ D (m)}$ 와 변환행렬, $[T_{8} \times 6 (m)]$ 을 이용하여 산출(식 (18))

2.5.5 $Δ ε_{z, j} (m), Δ γ_{x z, j} (m)$ 산출

1) 식 (20)을 적용하며, j는 가우스적분점 번호를 나타냄

2.5.6 가우스 적분점에서 $Δ ε_{x, j} (m)$ 산출

1) 식 (22)를 사용하여 x방향 전단보강근에서 발생하는 응력과 콘크리트 응력의 평형조건으로부터(식 (21)) $Δ ε_{x, j} (m)$ 를 산출(식 (25))

(25)

Δ ε_{x, j} (m) = - \frac{D_{12, j} (m)}{D_{11, j} (m)} \cdot Δ ε_{z, j} (m) - \frac{D_{13, j} (m)}{D_{11, j} (m)} \cdot Δ γ_{(x z, j)} (m)

2) 수렴계산 중에는 응력의 평형조건을 만족시키기 위한 불평형응력 $Δ σ_{x, j} (m) = σ_{x, j}^{u} (m)$ 와 함께 x방향 변형도의 적합조건에 의해서 $Δ ε_{z, j} (m), Δ γ_{x z, j} (m) = 0$ 을 적용하여 x방향 증분 변형도 산출(식 (26))

(26)

Δ ε_{x, j} (m) = \frac{σ_{x, j}^{u} (m)}{D_{11, j} (m)}

2.5.7 $ε_{1} (m), ε_{2} (m)$ 의 산출

1) $ε_{x, j} (m), ε_{z, j} (m), γ_{x z, j} (m)$ 으로부터 주축 변형도 산출

2.5.8 $σ_{1} (m), σ_{2} (m)$ 의 산출 및 재료 강성행렬 갱신

1) 콘크리트와 철근의 재료모델 이용

2.5.9 잔류응력, $σ_{x, j}^{u} (m)$ 산출

1) 콘크리트와 전단보강근의 x방향 잔류응력을 산출

(27)

σ_{x, j}^{u} (m) = σ_{c x, j} (m) + ρ_{x} \cdot σ_{s x, j} (m) \leq σ_{x, j}^{tolerance}

2) 수렴조건의 만족여부 확인(식 (27))

(1) Yes: 2.5.10으로 이동

(2) No: $σ_{x, j}^{u} (m)$ 을 갖고, 2.5.6으로 이동

2.5.10 각 면요소의 부재력과 강성행렬을 갱신(식 (28), (29))

(28)

{\{F^{'} (m)\}}^{new} = \iint [B]^{T} {σ} t d x d z

(29)

{[K^{'} (m)]}^{new} = \iint [B]^{T} [D] [B] t d x d z

2.5.11 선요소의 부재력과 강성행렬의 산출(식 (30), (31))

(30)

{F (m)}^{new} = {[T_{8 \times 6} (m)]}^{T} \cdot {\{F^{'} (m)\}}^{new}

(31)

[K (m)]^{new} = {[T_{8 \times 6} (m)]}^{T} {[K^{'} (m)]}^{new} [T_{8 \times 6} (m)]

2.5.12 내부 절점의 불평형력 $\{F_{i}^{u}\}$ 의 산출 및 수렴 확인(식 (32))

(32)

\{F_{i}^{u}\} = \{\begin{array}{l} \{f_{3}^{(1)}\} + \{f_{3}^{(3)}\} \\ \{f_{4}^{(3)}\} + \{f_{4}^{(2)}\} \end{array}\} \leq F_{i}^{tolerance}

(1) Yes: 식 (14), (15)로부터 부재력 ${\{F_{ele.}\}}^{n e w}$ 과 강성행렬 ${\{K_{ele.}\}}^{n e w}$ 산출 후 현재 하중스텝 해석 종료(식 (33), (34))

(33)

{\{F_{ele.}\}}^{new} = \{\begin{array}{l} \{F_{1}\} \\ \{F_{2}\} \end{array}\}

(34)

{[K_{e l e .}]}^{n e w} = [K_{e e}] - [K_{e i}] \cdot {[K_{i i}]}^{- 1} [K_{i e}]

(2) No: 내부 절점에서의 불평형력 ${F_{i}^{u}}$ 를 갖고 2.5.2로 이동 후, 반복 계산

이상의 해석과정을 Fig. 4에 나타내었다. 본 연구에서 제안하고 있는 해석과정의 특징은 내부 절점에서 발생하는 불균형력( ${F_{i}^{u}}$ ) 및 Gauss적분점에서의 x방향 불균형 응력( $σ_{x}^{u}$ )의 해제를 위해서 2개의 수렴계산을 적용하고 있는 것과, 각각의 수렴계산에서 ${F_{i}^{u}}$ 및 $σ_{x}^{u}$ 가 수렴조건을 만족할 때까지 내부 절점의 증분 변위, Gauss적분점의 증분 변형도 그리고 강성을 갱신해 나가는 과정이라고 할 수 있다. 즉, 제안된 모델은 정확한 해를 찾기 위해 두 단계의 중첩된 수렴 계산을 수행한다. 여기서, 불균형력과 불균형응력의 수렴 조건은 전스텝의 힘 및 응력의 1%로 설정하였다.

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Fig. 4.

Computational algorithm of the proposed model

1) 부재 레벨 수렴 계산(loop (1), Fig. 4): 선요소의 내부 절점(③, ④)에서 발생하는 불균형력을 계산하고, 이를 소거하기 위한 반복 계산을 수행한다. 식 (34)를 통해서 매 단계 갱신된 강성 행렬을 사용하여 내부 절점의 변위를 수정한다.

2) 재료 레벨 수렴 계산(loop (2), Fig. 4): 면요소의 각 적분점에서 식 (21)의 횡방향 응력 평형을 만족하는 변형도 상태를 찾는다. 이를 통해 재료의 강성 행렬을 갱신한다.

이상의 수렴계산은 본 제안 모델에서 제안하고 있는 3개의 선요소로의 분할 및 선요소와 면요소의 변환과정에 있어서 평형조건 및 적합조건을 만족시키기 위한 해석수법이라 할 수 있다.

3. 제안 모델의 검증 및 비교

본 절에서는 제안 모델의 타당성을 검증하기 위하여 RC 기둥 부재를 대상으로 기존 모델과 제안 모델의 해석결과를 비교･분석하였다. 해석 대상 기둥은 Kim 등(2012a)의 실험결과를 사용하였으며, 실험체의 상세한 제원 및 실험 조건은 해당 참고문헌을 참조할 수 있다.

3.1 선요소-면요소 변환과정의 타당성 검토

제안된 선요소-면요소 변환 기법이 역학적으로 타당한지 검증하기 위해 동일한 형상과 물성을 갖는 부재에 대해 4절점 평판 요소(Iso-parametric element) 사용 모델과 제안 모델의 해석 결과를 비교하였다. 두 모델의 차이점은 평판요소 모델에서는 부재를 3개의 면요소로 직접 분할하여 모델링하므로 선요소-면요소의 변환 과정이 없으며, 내부절점을 외부절점으로 표현하기 위한 과정이 생략된다. 따라서, Fig. 1의 loop (1)과 loop (2)의 수렴계산을 수행하지 않는다. 이를 제외한 두 모델에 사용된 콘크리트 및 철근의 재료모델을 포함한 모든 해석 변수는 동일하다.

각 모델의 해석대상이 되는 구조물은 단일 기둥으로서 주요 해석변수는 전단보강근 비( $ρ_{h o o p}$ )로 설정하였다. 제안 모델의 가장 큰 특징 및 장점은 기둥 부재를 2개의 절점만으로 정식화함에도 불구하고 부재축 직교방향의 자유도에 해당하는 전단보강근의 거동을 모사할 수 있는 점이라고 할 수 있다. 따라서, 본 검증 해석에서는 단일 기둥의 전단보강근비의 대소 여부에 따른 전단거동의 재현여부를 검증하기 위하여 전단보강근비를 주요 해석 변수로 설정하여 두 모델의 차이를 분석하였다.

Fig. 5에 두 해석모델에 의한 결과를 비교하여 나타내었다. 검토 결과, 전단보강근 비의 크기에 관계없이 탄성 영역에서는 두 모델이 거의 일치하는 초기 강성과 거동을 보였다. 그러나 소성 구간에 진입하여 전단 균열이 발생하고 보강근이 항복하는 단계에서는 제안 모델이 4절점 FEM에 비해 다소 유연한 거동을 보이거나 내력 저하가 빠르게 발생하는 경향이 관찰되었다. 이는 제안 모델이 적용한 횡방향 응력 평형 조건(식 (21))이 전단 보강근의 변형에 따른 콘크리트의 구속 효과 감소와 압축 강도 저하를 더욱 민감하게 반영하기 때문으로 판단된다. 결과적으로 제안된 변환 기법은 1차원 선요소의 한계를 넘어 2차원 응력 상태를 효과적으로 모사할 수 있음을 확인하였다.

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Fig. 5.

Comparison of analysis results: 4-node FEM vs. Proposed model

3.2 파이버 모델과의 비교

본 절에서는 전단 거동을 직접 고려하지 못하는 파이버 모델과 제안 모델의 해석결과를 비교･분석하였다(Fig. 6). 이를 통해 전단보강근비에 따른 전단보강근 효과의 재현 여부를 검토하였다.

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Fig. 6.

Comparison of analysis results: Fiber model vs. Proposed model

파이버 모델은 콘크리트 및 철근의 1축 응력상태에 기반하여 휨-축력 상호작용을 정밀하게 모사할 수 있는 모델이다. 그러나 파이버 요소는 부재축 방향의 자유도만을 허용하므로, 전단보강근의 변형에 해당하는 부재축 직교방향의 거동을 고려할 수 없다는 한계가 있다. 다만, 전단보강근에 의한 콘크리트 구속효과, 즉 압축강도의 증가 및 최대강도 시 변형도의 증가는 콘크리트의 구속효과 모델 등(Mander et al., 1988; Park et al., 1982)을 통해 콘크리트 재료모델에 간접적으로 반영되고 있다.

파이버 모델과 제안 모델의 공통점은 부재를 양단 2개의 절점만으로 정식화할 수 있다는 점과 콘크리트 및 철근의 재료모델에 기반한다는 점이다. 그러나 콘크리트의 응력상태 고려에 있어서 차이가 있는데, 파이버 모델은 1축 응력상태를 가정하는 반면, 제안 모델은 MCFT에 기반한 2축 응력상태를 고려한다.

전단 보강근이 충분한 경우, 두 모델 모두 안정적인 휨 항복 거동을 보이며, 골격 곡선의 형태도 매우 유사하게 나타났다. 이는 전단 파괴가 발생하지 않는 휨 지배 부재에서는 기존의 파이버 모델도 충분히 유효함을 의미한다.

반면 전단 보강근이 부족한 경우, 파이버 모델은 휨 항복 후에도 내력이 크게 저하되지 않는 비현실적인 거동을 보였다. 반면, 제안 모델은 최대 내력 이후 급격한 내력 저하(Softening) 효과를 명확하게 구현하였다. 이는 MCFT 구성 방정식이 전단 변형과 휨 변형의 상호작용(Interaction)을 고려하고, 전단 보강근의 부족으로 인한 균열 폭 증가와 그에 따른 전단 전달 능력 상실을 물리적으로 모델링하고 있기 때문이다. 따라서 제안 모델은 기존 파이버 모델이 다룰 수 없는 전단 파괴형 부재의 해석에 장점을 가진다.

4. 제안모델의 실험결과에 의한 검증

본 제안모델의 검증을 목적으로 전단보강근이 결핍된 전단파괴형 기둥의 정적실험결과(Ousalem et al., 2002)를 대상으로 해석을 수행하였으며, 해석결과와 실험결과와의 비교를 통해서 제안 모델의 한계와 특징에 대해서 검토하였다.

4.1 실험체 및 실험방법 개요

해석대상인 기둥의 배근 상세및 단면크기는 동일하며, 콘크리트 강도와 축력비가 서로 다른 3개의 실험체를 대상으로 해석을 수행하였다. 실험체는 1/3축소모형으로서 300 × 300mm의 정방형 단면과 900mm의 높이를 갖는다. 3개의 기둥실험체 모두 전단보강근 비가 0.28%로서 일본의 1970년대 내진설계기준에 의거하여 설계된 기둥을 상정하였다. 각 실험체의 재원을 Table 1에 나타내었다.

Table 1.

Specimen details

	$F_{c}$ (MPa)	$N_{0} (σ_{0})$ (KN)	$f_{y h}$ (MPa)	$f_{y l}$ (MPa)	$ρ_{h o o p}$ (%)	$ρ_{m a i n}$ (%)
No.4	14.2	364 (0.28)	373	344	0.28	1.69
No.8	18	486 (0.3)	373	344	0.28	1.69
No.12	22	324 (0.16)	373	344	0.28	1.69

$F_{c}$ : Compressive strength of concrete, $N_{0}$ : Axial load, $σ_{0}$ : Axial load ratio, $f_{v h}$ , $f_{v l}$ : Yield strength of hoop and main bar, $ρ_{h o o p}$ : Transverse reinforcement ratio, $ρ_{m a i n}$ : Longitudinal reinforcement ratio

해당 실험체의 선정 이유는 다양한 축력 조건하에서의 해석 정확도를 평가하고, 단부 휨-전단 파괴와 중앙부 전단 파괴 등 서로 다른 파괴 메커니즘에 대한 모델의 거동 예측 성능을 다각도로 검증하기 위함이다. 실험 방법 및 조건에 대한 상세한 정보는 참고문헌을 참조할 수 있다.

4.2 해석결과 및 고찰

실험결과와 해석결과로부터 얻어진 수평하중-수평변위 관계를 Fig. 7에 나타내었다. 3개의 실험체 모두 탄성영역에서의 초기강성은 해석결과와 실험결과가 비교적 잘 일치하였다. 이는 제안 모델의 선요소-면요소 변환 기법 및 MCFT 기반 구성방정식이 탄성거동을 적절히 모사하고 있음을 의미한다.

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Fig. 7.

Comparison of experimental and analytical results

한편, 최대내력에 있어서는 3개의 실험체 모두 해석결과가 실험결과를 과소평가하는 것으로 나타났다. 이러한 최대내력의 과소평가는 폐쇄형 띠철근에 의한 코어 콘크리트의 3차원 구속효과가 본 모델의 2차원 평면응력 가정에서 충분히 반영되지 못한 점, 그리고 철근의 변형경화 효과가 고려되지 않은 점 등에 기인한 것으로 판단된다.

내력저하 경향의 재현성은 실험체에 따라 상이한 결과를 보였다. 실험체 No.12의 경우, 정방향 및 부방향 가력 모두에서 이력곡선의 형태가 실험결과와 유사하게 나타났으며, 최대내력의 약 50% 수준까지 내력저하 경향이 양호하게 재현되었다. 반면, 실험체 No.4에서는 해석결과가 실험결과의 내력저하 경향을 다소 완만하게 평가하는 것으로 나타났다. 특히 실험체 No.8에서는 실험에서 관찰된 급격한 강도저하 거동이 해석에서 충분히 재현되지 못하였다.

이상의 결과를 실험체의 축력비(Table 1)와의 관계로 분석하면, 축력비가 가장 낮은 No.12(축력비 0.16)에서 가장 양호한 대응관계를 보였으며, 축력비가 높은 No.4(축력비 0.28)와 No.8(축력비 0.30)에서는 대응관계가 상대적으로 저하되었다. 이는 고축력 조건에서 발생하는 축력-전단력의 복합적인 상호작용 및 콘크리트의 취성적 파괴거동이 본 모델에서 충분히 고려되지 못한 것에 기인한 것으로 판단된다.

실험체의 파괴모드와 해석결과의 대응관계를 검토하기 위하여 Ousalem 등(2002)에 보고된 각 실험체의 최종 파괴상태를 분석하였다. 해석결과와 가장 양호한 대응을 보인 실험체 No.12의 경우, 사인장 균열의 경사각이 비교적 완만하고 부재 높이방향 중앙부의 손상이 경미한 반면, 단부에 손상이 집중되는 파괴양상을 나타내었다. 이러한 파괴모드는 본 제안 모델에서 가정한 단부 소성힌지 형성 메커니즘과 부합한다.

반면, 해석결과와의 대응이 가장 좋지 않았던 실험체 No.8의 경우, 부재 중앙부에 경사각이 급한 사인장 균열이 현저하게 발생하였으며, 이로 인한 전단파괴가 지배적인 것으로 보고되어 있다. 이를 통해 본 제안 모델에서는 부재 중앙부에서 전단파괴가 발생하는 조건에서는 해석 정확도의 저하가 불가피함을 확인하였으며, 이에 대한 원인을 다음과 같이 분석할 수 있다.

본 모델은 선요소의 변위를 평면 요소의 변위로 변환하기 위해 식 (17)의 관계를 도입하고 있다. 그러나 기둥이 역대칭 변형을 일으킬 때, 변곡점이 포함된 중앙 요소의 양단 절점에서는 기하학적으로 상대 회전각이 매우 작게 발생한다. 이로 인해 선재의 회전각으로부터 유도되는 평면 요소 4-절점에서의 수직 변위가 과소평가되는 결과가 초래된다. 즉, 중앙부에서 사인장 균열을 유발할 수 있는 충분한 수직 변형률이 발생하지 못함에 따라, 구성 방정식상 소성 거동이 가능함에도 불구하고 중앙 요소의 응답이 탄성 범위에 머무르게 되는 한계가 존재한다고 볼 수 있다.

본 연구의 해석 결과를 종합해 볼 때, 제안된 모델은 저축력(축력비 0.2 이하) 조건에서 양단부 소성 힌지 거동이 지배적인 전단 파괴형 RC 기둥의 거동을 예측하는 데 매우 효과적인 것으로 판단된다. 다만, 축력비 0.3 이상의 고축력 조건이나 부재 중앙부의 급격한 사인장 균열에 의한 파괴가 지배적인 경우에는 모델의 적용에 있어 구조적 한계가 존재할 수 있음을 유의해야 한다.

5. 결 론

본 연구에서 제안한 모델의 정식화, 검증 및 실험결과와의 비교를 통해 얻어진 주요 결론은 다음과 같다.

1) 제안 모델은 기둥 부재를 3개의 선요소로 분할하고, 양단부 요소에 수정압축장이론에 기반한 4절점 평면응력 요소를 적용함으로써, 기존 집중 소성힌지모델의 단순성을 유지하면서도 콘크리트의 2축 응력상태와 전단보강근의 구속효과를 재료 레벨에서 직접 고려할 수 있다. 이는 부재 양단 2개의 절점만으로 정식화되는 기존 모델에서는 구현할 수 없었던 것으로, 본 연구의 핵심적인 기여점이라 할 수 있다.

2) 선요소의 분할과정에서 발생하는 내부 절점의 평형조건과 선요소-면요소 변환과정에서 발생하는 횡방향 응력 평형조건을 만족시키기 위한 이중 중첩 수렴계산 기법을 개발하였다. 이를 통해 부재 레벨과 재료 레벨에서의 평형 및 적합조건을 동시에 만족시킬 수 있다.

3) 일반적인 4절점 평면응력 요소를 사용한 해석결과와의 비교를 통해, 제안된 선요소-면요소 변환 기법의 역학적 타당성을 확인하였다. 제안 모델은 탄성 영역에서 4절점 요소 모델과 거의 일치하는 거동을 보였으며, 소성 영역에서는 전단보강근의 항복에 따른 내력저하를 민감하게 반영하는 것으로 나타났다.

4) 제안 모델이 기존 파이버 모델로는 재현할 수 없는 최대내력 이후의 강도저하 현상을 성공적으로 모사함을 확인하였다. 특히 전단보강근비에 따른 내력저하 경향의 차이가 명확히 구현되어, 전단보강근의 효과를 정량적으로 평가할 수 있음을 검증하였다.

5) 전단파괴형 RC 기둥 실험결과와의 비교를 통해 제안 모델의 적용범위를 검토한 결과, 축력비가 비교적 낮고(약 0.2 이하) 단부에 소성변형이 집중되는 파괴모드의 전단파괴형 RC 기둥에 효과적으로 적용될 수 있음을 확인하였다. 반면, 고축력 조건(축력비 0.3 이상)이거나 부재 중앙부에서 급경사의 사인장 균열에 의한 전단파괴가 발생하는 경우에는 해석 정확도가 저하되므로 적용 시 주의가 필요하다. 이러한 문제는 향후 중앙부 요소를 다분할하여 요소 간의 상대 회전과 변형을 보다 자유롭게 허용함으로써 개선될 수 있을 것으로 판단된다.

6) 본 연구에서 제안한 모델은 재료 레벨의 정밀한 구성 방정식을 반영하면서도 매크로 모델 특유의 빠른 연산 속도를 확보하였다. 이러한 장점은 막대한 계산 비용이 소요되는 유한요소해석을 대체하여, 전단 파괴 위험이 높은 다수의 기존 노후화된 RC 건축물에 대한 대규모 내진 성능 평가를 수행함에 있어 매우 효율적이고 신뢰성 높은 해석 도구를 제공할 것으로 기대된다.

Acknowledgements

이 논문은 홍익대학교 학술연구진흥비에 의하여 지원되었음.

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

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A Macro Model for Simulating Strength Degradation in Shear-Critical RC Columns

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

Schematic diagram of the proposed model

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Fig. 2.

Relationship between line- and plate-element

(19)

(20)

(21)

(22)

Fig. 3.

Constitutive law for concrete

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Fig. 4.

Computational algorithm of the proposed model

Fig. 5.

Comparison of analysis results: 4-node FEM vs. Proposed model

Fig. 6.

Comparison of analysis results: Fiber model vs. Proposed model

Table 1.

Specimen details

Fig. 7.

Comparison of experimental and analytical results

Acknowledgements

References