1. 서 론
대부분의 구조물에는 동하중이 작용하지만 해석의 편의상 이상적인 정하중으로 가정하여 구조해석 또는 최적화를 수행한다. 이런 방법은 구조물의 안전성 측면에서 충분한 신뢰를 줄 수 없다. 반면, 동하중을 고려하게 되면 지나치게 많은 하중을 고려해야 하기 때문에 계산시간과 전산자원 등 물리적 제약이 많이 따르게 된다. 이러한 문제점을 개선하고자 가중치를 고려하거나 임계시간의 하중을 이용하는 방법, 모든 동하중을 고려하는 다중하중 기법, 동하중에 상응하는 정하중을 산출하여 해석을 수행하는 등가정하중(Equivalent Static Load, 이하 ESL) 방법 등의 연구가 진행되어 왔다.(Choi et al., 1998; 2000; Kim et al., 2007) 이 중에서 등가정하중 방법은 보수적인 구속조건을 만족하면서 최적화 과정을 통해 하중이 구해지기 때문에 동하중을 사용하는 해석 방법에 상응하는 안전성을 보장하면서 과도한 전산자원 및 시간비용의 제약을 해결할 수 있는 해석기법이라고 할 수 있다. 최근에는 등가정하중 방법의 개선을 위해 축소시스템 구축시 사용되는 주자유도 개념을 도입하여 등가정하중 분포 자유도를 기존보다 공학적인 방법으로 접근하여 최종적으로 산출된 등가정하중의 신뢰성을 검증하는 연구가 진행되었다(Kim et al., 2006; 2007).
본 연구에서는 기존 연구(Kim et al., 2013)를 통해 제안된 바 있는 응력구속 조건과 주자유도 기반으로 계산된 등가정하중을 사용하여 구조 최적화에 적용하는 방법을 제안한다. 또한, 등가정하중을 계산하는 최적화 과정에서 가중치를 고려한 구속조건을 적용하여 지나치게 큰 하중이 구해지지 않도록 기존 연구의 등가정하중 최적화 과정을 보완하였다.
본 논문의 2장과 3장에서는 기존 연구를 통해 제안된 바 있는 등가정하중 분포를 위해 선정되는 자유도 구성방법과 등가응력을 구속조건으로 하여 미지의 등가정하중과 연동시키는 유한요소 정식화 방법을 소개하고, 4장에서는 등가정하중을 적용하여 구조최적화를 수행한 수치예제를 제공한다. 이를 위해 전역 최적화에서 많이 사용되는 모의담금(Simulated Annealing) 방법을 적용하여 중량을 최소화하면서 제한된 구속조건을 만족하도록 최적화를 수행하였다.
2. 등가정하중 위치 선정 및 최적화
2.1 위치 선정
축소모델 구축시 사용되는 자유도는 구조물의 거동을 잘 표현하기 때문에 등가정하중 분포 자유도로 사용하기에 적절하다. 그러나, 단지 주자유도에만 등가정하중을 분포시켜 모든 경우의 거동을 잘 모사하는데는 한계가 있다. 외부하중이 주자유도가 영향을 받지 않는 위치에 가해지는 경우에는 상대적으로 큰 응력이 발생하기 때문에 구속조건으로 사용되는 요소의 거동을 반영해 줄 수 있는 자유도가 추가되어야 한다. 이를 위해 구속조건이 부과되는 요소들의 자유도를 등가정하중을 분포시키는 자유도에 포함시켰다. 또한, 해석초기 하중이 가해지는 주변의 거동을 잘 모사할 필요가 있으므로 하중이 직접적으로 부과되는 위치의 자유도도 등가정하중 자유도로 포함시켰다. Fig. 1은 등가정하중 분포를 위해 선정되는 자유도 조합을 보여주고 있다(Kim et al., 2013).
2.2 등가정하중 최적화
동하중 해석에서 임의의 시간의 하중은 식 (1)과 같다.
여기서, 'n'’은 동하중 해석을 수행하는 총 스텝이다.
변위벡터 {u}는 식 (2)와 같이 변환행렬을 통해 일반화 좌표로 정의될 수 있다.
여기서, 
, 는 ith 고유벡터이다.
식 (2)를 식 (1)에 대입하면, 식 (3)으로 표현된다.
동하중 해석에서 p개의 모드를 사용할 경우, 일반화 좌표계 {z}는 식 (3)으로부터 다음과 같이 계산된다.
여기서, 'm'’은 총 자유도 개수이다.
식 (4)를 식 (2)에 대입하면 각 자유도의 변위는 식 (5)의 행렬 연산을 통해 구해진다.
각 요소의 응력은 식 (5)에서 계산된 요소별 자유도에 
행렬을 곱하여 계산된다.
여기서, 
는 해당요소 자유도, 
, Ni는 형상함수, 
이다.
동하중 해석의 매 스텝마다 최대 등가응력이 발생하는 요소를 식별하고, 선정된 요소의 등가응력을 구속조건 설정하여 등가정하중을 최적화하는 계산을 수행하였다.
Table 1은 등가정하중이 설계변수가 되는 최적화 수행 조건이다. 등가정하중이 최대 등가응력 
보다 큰 응력을 산출하도록 하면서도 지나치게 큰 하중이 구해지지 않도록 가중치 ω를 1.2∼1.5로 설정하여 
로 제한하였다. 전체적인 등가정하중 최적화 과정은 참고문헌(Kim et al., 2013)에 잘 나와 있다.
3. 수치예제
3.1 트러스 구조물
3.1.1 등가정하중 최적화
Fig. 2는 동하중이 작용하고 있는 트러스 구조물과 해석조건을 나타내고 있다. 트러스 구조물 상부 끝단 두 지점에 동하중이 작용하고 있으며, 하단부 지점은 고정 경계조건이 부과되었다. 동하중 해석을 위해 10개의 저차모드가 사용되었고, 해석방법은 Newmark 시간적분 방법, 시간스텝은 1×10-4sec.이며 0.2sec.(총 2,000 스텝)까지 해석을 수행하였다.
등가정하중을 구하기 위해서는 등가정하중이 만족해야 하는 구속조건을 결정해야 하는데, 본 예제에서는 동하중 해석에서 각 스텝마다 최대응력이 발생하는 요소들의 응력값을 구속조건으로 설정하였다. Fig. 3은 최대응력이 발생하는 요소와 최대응력을 보여주고 있다. 적색으로 구별되어 있는 요소가 각 스텝에서 최대응력이 발생하고 있는 요소로써 총 15개의 요소가 선정되었다. Fig. 3에서 영역 A와 영역 B의 응력이 상대적으로 높게 계산되는 것을 알 수 있다. 이 결과를 고려하여 최대응력 발생 요소 중에서 상대적으로 높은 응력을 나타내는 11개 요소의 응력조건을 등가정하중 최적화를 수행할 때 구속조건으로 부과하였다. 이에 해당되는 요소들은 Fig. 3에서 
으로 구분하여 나타내었다.
결정된 구속조건을 만족시키는 등가정하중을 구하기 위해서는 등가정하중을 분포시킬 위치와 자유도를 결정해야 한다. 등가정하중 분포 위치는 Fig. 1에서 설명한 세 종류의 위치 그룹으로 구성되며, 그 결과는 Fig. 4에 주어져 있다. 해당 위치들은 주자유도, 구속조건 요소들의 자유도, 외부하중 자유도로 구성되는데, 주자유도 선정기법을 통해 50개 주자유도, 구속조건 요소들의 자유도 60개, 외부하중 자유도 2개가 선정되었다. 상호 중복되는 자유도가 있기 때문에 최종적으로 109개의 자유도가 등가정하중 분포 위치로 선정되었다. 구속조건과 등가정하중 분포 위치가 결정되면, Table 2의 최적화를 통해 각 자유도에서의 등가정하중이 계산된다.
Table 2
Condition of optimization for ESL in the truss structure
Objective Fn. : min. Constraints(MPa) : .. . |
Fig. 4에서는 각 절점에서 계산된 등가정하중을 성분별로 보여주고 있으며, 각 등가정하중 크기에 비례하여 화살표 길이를 표기하였다. 등가정하중 계산 결과, 해석 초기 동하중이 부과되는 위치에서 가장 큰 하중값이 계산되었다. 반면, Fig. 3에서 상단과 하단의 연결부인 A영역과, 고정경계가 부과되는 하단부 B영역에서는 등가정하중이 상대적으로 작게 계산됨을 알 수 있다. 이것은 상부 영역 끝단에서 작용하는 하중에 의해 구조물 전체에서 굽힘거동이 발생하게 된다. 이 영향으로 상하부 연결부(영역 A)와 하단 경계조건 근처(영역 B)에서 상대적으로 큰 응력이 발생하게 되어, 인위적인 하중을 크게 부과하지 않더라도 충분한 응력이 발생하기 때문이다.
3.1.2 전역 최적화
Fig. 4의 등가정하중을 적용하여 응력 구속조건을 만족시키면서 구조물 전체 중량을 최소화하는 전역최적화를 수행하였다. 전역최적화에 많이 사용되는 모의담금 방법(simulated annealing method)을 적용하였고, 설계변수는 상부영역 트러스 요소들의 면적으로 설정하였다. 또한, 구속조건은 Fig. 3에 나타낸 요소들의 응력이 제한 값을 초과하지 않도록 설정하였다. Table 3은 최적화 수행 조건이며, n은 총 요소수를 의미한다.
Table 3
Condition of structural optimization
Objective Fn. : min. Design variable(m2) : Design range(m2) : Constraint(MPa) |
Fig. 5는 목적함수인 중량 최소화 결과이다. 최적화를 위해 약 10,000회의 iteration을 수행하였고, 이 과정에서 목적함수와 구속조건을 80회 만족하였다. 그 결과로 초기 중량 4,729kg에서 4,505kg로 4.7% 수준의 경량화가 되었다. 또한, Table 4에 나타낸 바와 같이 11개 요소에서의 구속조건도 잘 만족하고 있음을 알 수 있다.
Table 4
Stress condition at the constraint elements
| Element No. | (MPa) | |
|---|---|---|
| Optimization Result | Constraint | |
| 103 | 13.00 | < 15.00 |
| 104 | 13.64 | |
| 105 | 12.75 | |
| 106 | 14.84 | |
| 109 | 14.66 | |
| 128 | 10.50 | |
| 186 | 14.63 | |
| 225 | 10.35 | |
| 289 | 10.60 | |
| 291 | 7.89 | |
| 302 | 12.30 | |
Fig. 6은 총 174개 요소들의 설계변수에 대한 결과 중 상부영역에서 가장 큰 응력을 보인 ‘A’ 영역의 최적화 결과를 보여주고 있다. 상대적으로 낮은 수준의 등가정하중이 작용하기 때문에 대부분의 부재에서 설계변수 값이 감소하게 되는데, Fig. 6에서 최대응력이 발생했거나 등가정하중이 직접적으로 작용하는 요소 ①, ②, ③, ④에서 초기값 대비 4%∼12% 증가하고, 나머지 요소에서는 12%∼52% 감소하는 결과를 보이고 있다.
3.2 평판 구조물
3.2.1 등가정하중 최적화
Fig. 7은 동하중이 작용하는 평판 모델과 해석조건을 보여주고 있다. 해석에 사용된 요소는 256개이며, 평판 중앙에서 동하중이 작용하고 있다. 대칭 형상임을 고려하여 두 변에 대칭경계 조건을 부과하여 1/4 모델에 대한 해석을 수행하였다. 동하중 해석을 위해 20개의 저차모드를 사용하였고, 앞의 수치예제와 동일하게 Newmark 시간적분 방법으로 시간스텝 1×10-3sec.을 적용하여 1,500 스텝까지 해석을 수행하였다.
매 스텝마다 등가응력을 계산한 결과, 최종적으로 10개의 요소에서 최대 등가응력이 발생하는 것으로 계산되었으며, 해당요소와 각 요소의 최대 등가응력은 Fig. 8에 나타내었다.
등가정하중 분포를 위해 주자유도 80개, 구속조건 요소의 자유도 117개, 동하중이 부과되는 자유도 1개가 선정되었다. 이 중에서 회전자유도와 상호 중복되는 자유도를 제거한 결과 총 155개 자유도가 선정되었다. 해당 자유도들을 포함하는 절점을 Fig. 9에 나타내었다.
Table 5
Condition of optimization for ESL of the plate structure
Objective Fn. : min. Constraint(MPa) : .. . |
등가정하중 최적화는 Table 5의 조건으로 수행되었다. 등가정하중 구속조건은 Fig. 9에서 나타낸 요소들의 최대 등가응력으로 설정하였다. 최적화 수행 결과, Fig.10과 같이 155개의 자유도에 등가정하중이 분포되었으며, 하중 범위는 -5.76N-8.70N으로 계산되었다.
3.2.2 전역최적화
Fig.10에서 구한 등가정하중을 사용하여 구속조건을 만족시키면서 평판 중량을 최소화하는 전역최적화를 수행하였다. 앞의 예제와 동일하게 모의담금 방법을 사용하여 전역최적화를 수행하였고, 설계변수는 각 요소들의 두께로 설정하였다. 구속조건은 Fig. 8에 나타낸 요소들의 등가응력이 제한값을 초과하지 않도록 하였다. Table 6은 목적함수, 설계변수, 구속조건 등의 최적화 조건들을 나타내고 있다.
Table 6
Condition of Structural Optimization
Objective Fn. : min. Design variable(mm) : Design range(mm) : Constraints(MPa) : .. . |
Fig. 11은 목적함수 수렴 결과이고, Fig. 12는 최적화에 따른 평판 영역에서의 설계변수들의 분포이다. 총 5,000회의 iteration을 수행하는 과정에서 62번의 수렴값을 얻을 수 있었다. 그 결과, 초기 중량 251.20kg이 235.94kg으로 6.07%가 감소되었으며, Table 7에서 나타낸 바와 같이 구속조건도 잘 만족하고 있음을 알 수 있다.
4. 결 론
대부분의 구조물은 동하중을 받고 있기 때문에 구조안전성 측면에서 동하중의 영향을 잘 고려하여 구조 최적화를 수행하는 것이 적절하다. 하지만, 동하중을 고려하기 위해서는 동적 해석과정에서 많은 하중이 산출되는데 이 하중들을 모두 고려하는 것은 상당한 전산비용과 계산시간이 소요된다. 이런 문제를 개선하기 위해 본 연구에서는 등가정하중을 적용하여 동하중이 작용하는 구조물에 대한 최적화를 수행하는 방법을 제안하였다.
등가정하중은 동하중의 영향이 반영된 보수적인 정하중을 의미한다. 등가정하중의 적절한 적용을 위해서는 동하중에 의한 구조물의 거동을 충분히 고려하여 등가정하중 분포 위치를 잘 선정해야 한다. 본 연구에서는 등가정하중 분포 자유도로써 기존 연구에서 제안한 바 있는 주자유도, 구속조건 요소 자유도 그리고 외부하중 자유도로 구성된 자유도 그룹을 사용하였고, 선정된 자유도 상에서 계산된 등가정하중을 적용하여 구조 최적화를 수행하였다.
수치예제에서는 모의담금 기법을 적용하여 중량을 최소화하는 전역 최적화를 수행하였다. 그 결과로 중량을 최소화 하면서 구속조건을 잘 만족하는 것을 확인함으로써 제안방법의 신뢰성을 검증하였다. 이것은 제안방법을 통해 구조물상에 동하중이 작용하는 상황에서 다양한 하중들을 하나의 정하중으로 치환하여 효율적인 구조 최적화가 가능함을 의미한다.
그러나 제안방법은 주자유도를 기반으로 하기 때문에 등가정하중 부과 위치가 비대칭적으로 선정될 가능성이 많고, 그에 따라 최적화된 등가정하중도 구조물상에 비대칭하게 작용하게 된다. 그 결과로 수치예제와 같이 설계변수 결과도 비대칭적으로 나타나게 되는데, 이러한 경향은 제작성 관점에서 적절하지 않고, 구조 건전성 측면에서도 불리할 가능성이 있다. 따라서, 향후 비대칭적인 등가정하중 분포에 대한 개선 연구가 필요할 것으로 사료된다. 더불어 동하중 조건하에서 다양한 최적화 기법과의 결과 비교를 통하여 제안방법의 효율성을 확인해 나가고, 구조 신뢰성과 연계한 최적화 연구로 확장해 나갈 계획이다.
