Development of a Two-Dimensional Numerical Model for Dynamic Analysis of Vertical Breakwaters Subjected to Impulsive Water Wave Loads

Hyeok-Ju Lee; Jong-In Lee; Jae-Min Kim

doi:10.7734/COSEIK.2026.39.1.1

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Research Paper

Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea. 28 February 2026. 1-13
https://doi.org/10.7734/COSEIK.2026.39.1.1

Development of a Two-Dimensional Numerical Model for Dynamic Analysis of Vertical Breakwaters Subjected to Impulsive Water Wave Loads

충격쇄파에 대한 직립식 방파제의 2차원 동적 해석을 위한 해석모델 구축

Hyeok-Ju Lee¹

Jong-In Lee²

Jae-Min Kim²^*

이 혁주¹

이 종인²

김 재민²^*

¹Graduate Student, Department of Architecture and Civil Engineering, Chonnam National University, Gwangju, 61186, Korea

²Professor, Department of Civil Engineering, Chonnam National University, Gwangju, 61186, Korea

¹전남대학교 건축토목공학과 박사과정

²전남대학교 토목공학과 교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

This study develops a two-dimensional finite element model to accurately analyze the dynamic behavior of vertical breakwaters subjected to impulsive water wave loads. To overcome the limitations of simplified analytical approaches, a refined numerical model is constructed by incorporating fluid elements, a nonlinear soil model, contact nonlinearity, and perfectly matched layers (PMLs). Additionally, the time history of impulsive water wave loads is modeled based on theoretical wave pressure equations to evaluate the sliding displacement of the breakwater. The numerical results indicate that the nonlinear soil model induces significantly larger sliding displacements than the elastic soil model. Furthermore, the application of PMLs significantly enhances the numerical stability and accuracy of the analysis when compared with conventional fixed boundary conditions. The proposed modeling approach contributes to the development of accurate dynamic analysis techniques for the design and safety assessment of vertical breakwaters and provides a foundation for predicting their structural performance under extreme wave conditions.

Keywords

finite element

vertical breakwaters

impulsive water wave loads

nonlinear soil model

contact nonlinearity

perfectly matched layers

이 연구는 충격쇄파 하중에 대한 직립식 방파제의 동적 거동을 정밀히 분석하기 위해 유한요소 기반의 2차원 해석 모델을 구축하였다. 기존의 단순화된 해석 방법이 지닌 한계를 극복하고자, 유체 요소, 비선형 지반 모델, 접촉 비선형성, 에너지흡수경계요소를 포함한 정밀한 2차원 수치해석 모델을 구축하였다. 또한, 이론적 파압 공식을 기반으로 충격쇄파 하중의 시간이력을 모델링하여 방파제의 활동량을 평가하였다. 해석 결과, 비선형 지반 모델은 탄성 지반 대비 더 큰 활동량을 유발하는 것으로 나타났으며, PML(Perfectly Matched Layer)은 고정 경계 조건과 비교했을 때 해석 안정성과 정확성을 크게 향상시키는 것으로 나타났다. 이 연구는 직립식 방파제 설계 및 안전성 평가를 위한 정밀 동적 해석 기술 개발에 기여하며, 극한 조건에서도 방파제 성능을 예측할 수 있는 기반을 제공할 것으로 기대된다.

키워드

충격쇄파 하중

직립식 방파제

유한요소

비선형 지반 모델

접촉 비선형성

PML

MAIN

1. 서 론
2. 직립식 방파제의 2차원 동적 해석을 위한 모델링
2.1 유체 요소
2.2 구조 요소 및 지반 요소
2.3 지반의 비선형성
2.4 접촉 비선형성
2.5 원역 지반에서의 에너지흡수경계요소
3. 충격쇄파에 대한 파랑 하중의 모델링
3.1 유의파고-유의주기 관계
3.2 파고 스펙트럼
3.3 개별 파의 파고 및 주기
3.4 파랑 하중 계산
4. 수치해석
4.1 해석 예제
4.2 유체 요소와 부가질량의 비교
4.3 탄성 지반과 비선형성 지반의 비교
4.4 고정 경계와 에너지흡수경계요소의 비교
5. 결 론
5.1 유체 모델링
5.2 지반 모델링
5.3 원역 지반 경계조건 모델링

1. 서 론

2011년 일본 도호쿠 지방 태평양 해역에서 발생한 대규모 지진은 약 15m의 지진해일을 일으켜 후쿠시마 원자력 발전소를 덮쳤다. 이 지진해일은 설계 파고 높이인 5m를 훨씬 초과하여, 원전 5, 6호기 앞에 설치된 방파제를 파괴하였다. 방파제는 해안 구조물로서 원전 부지 내의 호안을 보호할 뿐만 아니라 가동 중인 원전의 냉각수 공급을 위한 취수구를 방어하는 중요한 역할을 수행한다.

최근 국내에서도 지구온난화로 인해 슈퍼태풍과 같은 자연재해의 빈도와 강도가 증가할 것으로 예상된다. 이에 따라 폭풍해일과 같은 극한 자연재해로 인해 방파제가 파괴될 위험이 커지고 있다. 이러한 상황에 대비하기 위해서는 폭풍해일 지속시간 동안 방파제의 안전성을 확보할 수 있는 정밀한 동적 해석 기술이 필수적이다.

폭풍해일 지속시간 동안 방파제에서 발생할 수 있는 주요 파괴 모드는 Fig. 1과 같이 구조물의 활동, 전도, 사석마운드 및 지반의 지지력 파괴 등이 있다. 이 중 직립식 방파제에서 가장 지배적인 파괴 모드는 활동으로 알려져 있다(Oumeraci, 1994; Oumeraci et al., 2001). 방파제의 활동 파괴는 식 (1)과 같이 폭풍해일 지속시간 동안 구조물의 누적활동량( $D_{a c c u m u l a t e d}$ )이 허용활동량( $D_{a l l o w a b l e}$ )을 초과하는 경우로 정의된다.

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Fig. 1.

Major failure modes of breakwater against storm surge

(1)

D_{a c c u m u l a t e d} > D_{a l l o w a b l e}

Shimosako와 Takahashi(2000)는 허용활동량을 0.3m로 제안하였으며, Goda와 Takagi(2000)는 이보다 작은 0.1m를 제안하였다. Takayama 등(2001)은 이를 세분화하여 Table 1에 나타낸 바와 같이 서비스 가능성(serviceability), 수리 가능성(repairable), 극한(ultimate), 붕괴(collapse) 기준으로 구분하였다.

Table 1.

Criteria for the sliding failure of breakwater

Failure Criteria	Allowable Sliding Distance (m)
Serviceability	0.03
Repairable	0.10
Ultimate	0.30
Collapse	1.00

활동 파괴는 집중변수모델(Lumped Parameter Model)과 유한요소 모델(Finite Element Model)을 이용한 동적 해석으로 평가할 수 있다. 집중변수모델은 Fig. 2와 같이 방파제를 집중 질량, 스프링, 댐퍼 등으로 이상화하여 모델링하며(Goda, 1994; Loginov, 1962; Oumeraci and Kortenhaus, 1994; Park and Ahn, 1995; Wang, 2001; Wang et al., 2004), 계산 비용이 적어 몬테카를로 시뮬레이션을 통한 신뢰성 설계에 활용되어 왔다. 하지만, 이 모델은 지반-구조물 상호작용(Soil-Structure Interaction), 유체-구조물 상호작용(Fluid-Structure Interaction), 접촉 비선형성 및 재료 비선형성과 같은 복잡한 요소를 고려하기 어렵다는 한계를 가진다.

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Fig. 2.

Lumped parameter models

반면, Fig. 3에 나타낸 유한요소모델(Takahashi et al., 1994)은 복잡한 요소들을 보다 정밀하게 고려할 수 있으며, 최근 컴퓨팅 기술의 발전으로 활용 빈도가 높아지고 있다. 이 모델은 직립식 방파제의 활동량뿐만 아니라 가속도, 침하, 유체의 동수압, 지반의 유효응력 및 간극수압 등을 평가할 수 있는 장점이 있다(Andersen et al., 2011; Huynh et al., 2019; Kim, 2007; Lee, 2017; Stickle et al., 2013; Takahashi et al., 1994; Ulker et al., 2010; Ye and Yu, 2021).

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Fig. 3.

Finite element model (Takahashi et al., 1994)

Andersen 등(2011), Kim(2007), 그리고 Ye와 Yu(2021)은 ABAQUS 프로그램을 이용하여 직립식 방파제의 활동에 대해 평가하였다. Kim(2007)은 Goda(1974) 파압 공식을 사용하여 파랑 하중을 작용시켰고 평면변형률 요소를 이용하여 유체 요소를 근사적으로 묘사하였지만, 비선형성, 양압력, 간극수압을 고려하지 않았고 원역 지반에 고정 경계 대신 무한요소를 사용하였다. Andersen 등(2011)은 단순화된 파랑 하중과 양압력을 작용시키고 지반 비선형성과 접촉 비선형성을 포함하였으나, 유체 요소와 간극수압은 고려하지 않았고 고정 경계조건을 사용하였다. Ye와 Yu(2021)은 olaFlow라는 CFD 해석 프로그램으로 얻은 파랑 하중을 사용했으나 유체 요소와 지반의 비선형성은 고려하지 않고 고정 경계조건을 사용하였다.

Stickle 등(2013)은 Allsop 등(1996)을 참조하여 파랑 하중과 양압력을 작용시켰고 접촉 비선형성과 간극수압을 고려했으나 유체 요소는 고려하지 않았다. 이들은 해저 지반에만 지반의 비선형성을 고려하고 사석마운드에는 적용하지 않았으며, 방사감쇠조건을 외곽경계에 적용했다. 하지만, 이 연구는 활동을 평가하지 않고 유효응력과 간극수압에 대해 평가하였다.

기존 연구들은 주로 단순화된 해석모델을 적용하거나 제한된 조건에서 평가를 수행하였다. 이로 인해 충격쇄파를 포함한 다수의 파랑 작용하에서 직립식 방파제의 장시간 동적 응답을 정밀하게 분석하는 데에는 한계가 있었다. 이에 이 연구에서는 유체 요소를 활용한 유체-구조물 상호작용, 사석마운드의 비선형성, 케이슨-사석 계면의 접촉 비선형성, 그리고 원역 지반의 에너지흡수경계조건을 하나의 유한요소 기반 시간영역 해석모델로 통합하였다. 이를 통해 충격쇄파를 포함한 파랑 하중 조건에서 각 모델링 요소가 직립식 방파제의 동적 활동 거동에 미치는 영향을 체계적으로 비교 및 분석하고자 한다.

2. 직립식 방파제의 2차원 동적 해석을 위한 모델링

직립식 방파제의 정밀한 동적 응답을 분석하기 위해 유한요소 기반의 해석모델이 필요하다. 이 장에서는 방파제의 동적 거동을 모사하기 위한 유체 요소, 구조 및 지반 요소, 지반 비선형성, 접촉 비선형성, 그리고 원역 지반의 에너지흡수경계요소에 대해 상세히 설명한다.

2.1 유체 요소

방파제의 동적 해석에서는 유체-구조물 상호작용을 정확히 모사하는 것이 중요하다. 이를 위해 유체 요소와 구조 요소를 함께 모델링하며, 유체는 구조물로부터 변위 정보를 받고 구조물은 유체로부터 압력 정보를 전달받는다. 유체의 동수압을 모사하는 방법으로는 Fig. 4의 부가질량(Rashed, 1983; Westergaard, 1933)과 Fig. 3의 유한요소법 기반의 유체 요소가 있다.

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Fig. 4.

Added mass with its boundary conditions

일반적으로 부가질량은 내진 해석에서 널리 사용되지만, 파랑 하중에 대한 동적 해석에서도 집중변수모델과 유한요소 모델과 함께 사용되어 왔다(Goda, 1994; Huynh et al., 2019; Lee 2017; Loginov, 1962; Oumeraci and Kortenhaus, 1994; Park and Ahn, 1995; Wang, 2001; Wang et al., 2004). 부가질량은 구조물을 강체로, 유체를 비점성, 비압축성으로 가정한다. 그리고 부가질량은 동수압의 해를 구하기 위해 다음 네 가지 경계조건을 요구한다(Westergaard, 1933).

∙ BC-1: 구조물과 유체의 수평 변위는 동일하다.

( $\frac{\partial}{\partial x} p (0, z, t) = - ρ {\ddot{u}}_{g}$ )

∙ BC-2: 유체의 원역에서 동수압은 0이다.

( $p (- \infty, z, t) = 0$ )

∙ BC-3: 자유수면에서 동수압은 0이다. ( $p (x, H, t) = 0$ )

∙ BC-4: 저면에서 유체의 수직 변위는 0이다.

( $\frac{\partial}{\partial y} p (x, 0, t) = 0$ )

이 조건에 의해 유도된 유체의 파동방정식의 해는 유체의 밀도(𝜌)와 수심( $H$ )에 무한 급수를 곱한 형태로 식 (2)와 같이 나타낸다(Rashed, 1983; Westergaard, 1933).

(2)

p_{x} (x, z, t) = - 2 ρ H \{\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{{(η_{n})}^{2}} \exp (- η_{n} \frac{x}{H}) \cos (η_{n} \frac{z}{H})\} {\ddot{u}}_{g}

여기서, $x$ 와 $z$ 는 유체의 공간적 좌표, ${\ddot{u}}_{g}$ 는 가속도, $η_{n} = (2 n - 1) π / 2$ 이다. 식 (2)에서 벽체( $x$ =0)에 부가된 질량으로 나타내기 위해 양변을 가속도( ${\ddot{u}}_{g}$ )로 나눠주면, 식 (3)의 부가질량을 나타낼 수 있다.

(3)

m_{x} (z) = - 2 ρ H \{\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{{(η_{n})}^{2}} \cos (η_{n} \frac{z}{H})\}

한편, 유한요소법에서는 유한요소 프로그램인 ABAQUS의 AC2D4 요소(ABAQUS, 2024)를 활용하여 유체 요소를 구현한다. 이 과정에서 구속 결합(Tie Constraint) 조건(ABAQUS, 2024)을 적용하여 구조물과 유체 간의 상호작용을 모사하며, 부가질량의 경계조건 BC-1을 만족시킨다. 원역 유체 경계에서는 비반사 경계조건(Impedance, non-reflecting planar)(ABAQUS, 2024)을 적용하여 파의 반사를 최소화하고, 자유수면에서는 압력 자유도를 고정시켜 BC-2와 BC-3을 만족시킨다.

하지만, 파랑 하중과 같은 외력과 지반의 비선형성 등으로 인해 저면에서 수직 변위가 발생할 수 있어 부가질량의 BC-4를 만족하지 못하는 경우가 있다. 따라서 이 연구에서는 부가질량 대신 ABAQUS의 2차원 음향(acoustic) 요소인 AC2D4를 사용하여 이러한 한계를 극복하고자 하였다. AC2D4 요소는 압력(p) 단일 자유도를 갖는 음향 요소이며, 지배 방정식은 파동방정식이다(ABAQUS, 2024). 이를 통해 보다 정밀한 동적 응답 분석이 가능하다고 판단된다.

2.2 구조 요소 및 지반 요소

직립식 방파제의 구조 및 지반 요소는 불투과성 평면변형률 요소로 모델링되며, 이를 위해 ABAQUS의 4절점 평면변형률 요소 CPE4를 사용하였다. 하지만, 실제 사석마운드와 해저 지반은 투과성을 가지므로, 보다 정밀한 해석을 위해서는 변위와 간극수압 자유도를 포함하는 CPE4P 요소를 사용하는 것이 바람직하다. CPE4P 요소는 변위(u)-간극수압(p) 연계 해석이 가능한 다공성 포화지반 요소이다. Andersen 등(2011)은 유한차분법 해석 프로그램인 FLAC 3D를 이용하여 파랑 하중에 대한 방파제의 동적 거동을 분석하였고, 불투과성 요소와 투과성 요소를 비교하였다. 그 결과, 투수계수를 고려한 해석이 더 큰 활동량을 보임을 확인하였으며, 이는 투과성을 반영하는 해석이 필요함을 시사한다.

그러나 ABAQUS의 Dynamic Implicit 해석에서는 접촉 알고리즘이 적용된 경우 간극수압을 고려할 수 없다는 한계가 있다(Andersen et al., 2011; Liang and Liang, 2020; Ye and Yu, 2021). 이에 따라 이 연구에서는 CPE4P 요소 대신 CPE4 요소를 사용하였다.

추가적으로, Liang와 Liang(2020)은 ABAQUS의 동적 해석에서 2상 효과를 고려하기 위해 Simon 등(1986)을 참조하여 지반의 변위와 유체의 변위 자유도를 모두 포함하는 u-w 공식을 기반으로 한 사용자 정의 요소(User-defined Element, UEL)(ABAQUS, 2024)를 개발하였다. 하지만 개발된 요소는 지반의 비선형성을 반영하지 못하는 한계가 있었다. 따라서 추후 연구에서는 2상 효과와 비선형성을 동시에 반영할 수 있는 새로운 요소 개발이 필요하다.

2.3 지반의 비선형성

직립식 방파제의 정밀한 동적 응답을 얻기 위해서는 사석마운드와 해저 지반의 비선형성을 반드시 고려해야 한다. 지반의 비선형성은 소성변형을 유발하며, 이는 케이슨의 활동량을 증가시키고 침하 및 지지력 파괴 가능성을 높여 구조물의 안정성을 저하시킬 수 있다. 이 연구에서는 이러한 비선형성을 모사하기 위해 Fig. 5의 Mohr-Coulomb 모델을 적용하였다. Fig. 5에서 $c$ 는 점착력, 𝜙는 내부마찰각, $σ_{1}$ , $σ_{3}$ 은 각각 최대 및 최소 주응력, 𝜏와 𝜎는 각각 전단 및 수직 응력을 나타낸다.

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Fig. 5.

Mohr-coulomb plasticity model

3장 수치해석에 사용되는 사석마운드의 재료 특성은 해양수산부의 항만 및 어항 설계기준 및 해설(Ministry of Oceans and Fisheries, 2017)과 일본 국토교통성(Ministry of Land, Infrastructure, Transport and Tourism, MLIT)의 기준(MLIT, 2020)을 참조하여 점착력( $c$ )은 0 kPa과 마찰각(𝜙)은 40°로 설정되었다.

2.4 접촉 비선형성

파랑 하중을 받는 방파제는 활동 파괴가 발생할 가능성이 높으며, 이를 정밀히 모사하기 위해서는 케이슨 구조물과 사석마운드 사이 경계면에서의 접촉 비선형성을 고려해야 한다. 이 연구에서는 이러한 접촉 거동을 구현하기 위해 ABAQUS의 면-대-면 접촉(Surface-to-Surface Contact) 기법을 활용하였다.

ABAQUS 접촉 모델은 주 표면(Master Surface)와 종속 표면(Slave Surface)을 정의하여 접촉 거동을 설정한다. Fig. 6에서와 같이 방파제 케이슨 구조물은 주 표면으로, 지지층인 사석마운드는 종속 표면으로 정의되었다. 이 설정에 따라 주 표면은 종속 표면을 침투할 수 있지만 종속 표면은 주 표면을 침투하지 못한다.

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Fig. 6.

Breakwater with ABAQUS surface-to-surface contact

접촉 모델링에서는 방파제 케이슨과 사석마운드 사이의 마찰력을 정확히 표현하는 것이 중요하다. 이 연구에서는 마찰계수를 0.6으로 설정하였으며, 이는 해양수산부의 항만 및 어항 설계기준 및 해설(Ministry of Oceans and Fisheries, 2017)과 일본 국토교통성(Ministry of Land, Infrastructure, Transport and Tourism, MLIT)의 기준(MLIT, 2020)을 참조하여 결정되었다.

2.5 원역 지반에서의 에너지흡수경계요소

방파제에 작용하는 파랑 하중으로 인해 발생하는 파는 원역 지반으로 전달되어 방사감쇠 문제가 발생한다. 이로 인해 발생하는 파의 반사가 수치해석의 정확성을 저하시킬 수 있다. 이러한 방사감쇠 문제를 해결하기 위해 원역 지반 외곽 경계에 적절한 에너지흡수경계요소의 모델링이 필요하다. 이 요소는 전달되는 파의 반사를 최소화하고 에너지를 흡수하여 수치 계산에서 발생할 수 있는 오류를 방지한다. 이 연구에서는 가장 효과적인 에너지흡수경계요소로 알려진 Fig. 7의 PML(Perfectly Matched Layer)을 사용하였다(Nguyen and Kim, 2022).

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Fig. 7.

Concept of perfectly matched layer (Nguyen and Kim, 2022)

PML은 Berenger(1994)에 의해 전자기파 문제에서 처음 고안된 인공적인 에너지흡수경계요소로, 입사 각도와 관계없이 원역으로 전달되는 파를 흡수한다. Chew와 Weedon(1994)에 의해 PML 방정식의 주요한 구현 수단인 복소좌표 스트레칭 함수가 도입되었으며, Chew와 Liu(1996)에 의해 동탄성 문제로 확장되었다.

복소좌표 스트레칭 함수( $λ_{s}$ )는 PML 영역에서 좌표축( $s$ )을 복소좌표축( $\tilde{s}$ )으로 변환하며, 이는 다음 식 (4)로 표현된다.

(4)

s \mapsto \tilde{s}, \tilde{s} = s_{0} + \int_{s_{0}}^{s} λ_{s} (x, ω) d x

여기서, 식 (5)의 $λ_{s}$ 는 늘림 함수( $α_{s}$ )와 감쇠 함수( $β_{s}$ )로 구성되며, 각각 PML 영역 내에서 단순 진동파와 전달파를 감쇠시키는 역할을 한다.

(5)

λ_{s} (s, ω) = α_{s} (s) + \frac{β_{s} (s)}{i ω}

늘림함수 $α_{s}$ 와 감쇠함수 $β_{s}$ 는 다음 식 (6), (7)과 같이 정의된다.

(6)

α_{s} (s) = \{\begin{cases} 1, 0 \leq s \leq s_{0} \\ \frac{L_{P M L}}{s_{t} - s}, s_{0} \leq s \leq s_{t} \end{cases}

(7)

β_{s} (s) = \{\begin{cases} 0, 0 \leq s \leq s_{0} \\ \frac{b}{s_{t} - s_{0}}, s_{0} \leq s \leq s_{t} \end{cases}

여기서, $L_{P M L}$ 은 PML 영역의 두께, $C_{P}$ 는 지반의 등가 P파 속도이고, $b$ 는 메쉬 크기다.

3. 충격쇄파에 대한 파랑 하중의 모델링

파랑 하중의 계산은 방파제의 안정성을 평가하고, 예상되는 파랑 조건에서도 방파제가 안전하게 기능할 수 있도록 설계하는 데 필수적인 요소이다. 폭풍해일 지속시간은 보통 2시간에서 3시간 정도로 가정하는데 이 시간 동안 방파제는 약 1,000개의 파랑에 저항한다. 이 파랑은 중복파(sinusoidal wave)뿐만 아니라 방파제의 직접적인 파괴를 초래할 수 있는 충격쇄파(breaking impulsive wave)도 포함한다. 이 충격쇄파는 방파제의 활동 및 전도와 같은 주요 파괴 모드를 유발할 수 있어, 이에 대한 정밀한 하중 모델링이 요구된다.

파랑 하중을 계산하는 방법으로는 이론적 접근법, CFD(Computational Fluid Dynamics) 기반 해석, 그리고 실험 데이터를 활용한 방법이 있다. 이 연구에서는 Goda(1974)의 파압 공식을 활용한 이론 파랑 하중 모델링을 채택하였다.

이 연구에서는 Goda와 Takagi(2000)의 연구를 기반으로 수정된 Fig. 8의 절차를 통해 충격쇄파를 포함한 이론 파랑 하중 모델링 과정을 상세히 설명한다(Hong et al., 2004; Kim et al., 2006; Kim and Suh, 2009; Shimosako and Takahashi, 2000; Suh et al., 2002; Takayama et al., 2001). 이를 통해 1,000개의 불규칙파 작용 시간 동안 방파제에 작용하는 파랑 하중의 시간이력을 재현하고자 한다.

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Fig. 8.

Procedure for modeling time history of water wave loads with impulsive breaking waves

3.1 유의파고-유의주기 관계

파랑 하중 계산에 있어 유의파고( $H_{1 / 3}$ )와 유의주기( $T_{1 / 3}$ )는 중요한 변수로 작용한다. 유의파고는 장기간에 걸친 관측 데이터나 통계적 분석을 통해 결정할 수 있지만, 이러한 정보가 주어지지 않을 경우 유의파고에 따른 주기를 결정하는 데 어려움이 있다. 이를 해결하기 위해 Goda(2003)가 제안한 식 (8)의 유의파고-유의주기 관계식을 활용하였다. 이 관계식은 유의파고와 유의주기 간의 경험적 상관성을 바탕으로 한다(Suh et al., 2010).

(8)

T_{1 / 3} = 3.3 (H_{1 / 3})^{0.63}

3.2 파고 스펙트럼

실제 해양에서 발생하는 파랑은 매우 불규칙적이며, 이러한 불규칙성을 표현하기 위해 주파수에 따른 에너지 분포를 나타낸 파고 스펙트럼을 사용한다. 기존 연구에서는 파고는 Rayleigh 분포를, 주기는 정규분포를 통해 불규칙파를 모델링하였다. 이 연구에서는 충분히 발달한 풍파에 대한 Modified Bretschneider-Mitsuyasu형 스펙트럼(Goda, 1988)을 사용하였다. 이 스펙트럼은 식 (9)와 같이 유의파고( $H_{1 / 3}$ )와 유의주기( $T_{1 / 3}$ )를 입력값으로 하여 주파수( $f$ )에 따른 에너지 밀도 분포( $S (f)$ )를 계산한다. Fig. 9는 파고 8m와 주기 12.23초에 대한 파고의 주파수 스펙트럼이다. 파고 8m에 대한 주기는 식 (8)을 이용하여 계산되었다.

(9)

S (f) = 0.205 H_{1 / 3}^{2} T_{1 / 3}^{- 4} f^{- 5} \exp [- 0.75 (T_{1 / 3} f)^{- 4}]

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jcoseik/2026-039-01/N0040390101/images/Figure_jcoseik_39_01_01_F9.jpg

Fig. 9.

Wave spectrum ( $H_{1} / 3 = 8 m$ , $T_{1} / 3 = 12.23 s$ )

불규칙파의 시간이력은 식 (10)과 같이 정현파의 급수합으로 표현된다. 정현파 성분의 수가 많을수록 실제 불규칙파와 유사한 파형을 얻을 수 있다(Goda, 2010).

(10)

η (t) = \sum_{m = 1}^{M} a_{m} \cos (2 π f_{m} t - ε_{m})

여기서, $M$ 은 성분 파의 수, $a_{m}$ 은 진폭, $f_{m}$ 은 주파수, $ε_{m}$ 은 무작위 위상각이다. 무작위 위상각은 $0 \leq ε_{m} \leq 2 π$ 범위 내에서 임의로 설정된다. 진폭 $a_{m}$ 은 식 (11)을 통해 계산되며, 이는 파고 스펙트럼 $S (f)$ 와 주파수의 폭 $△ f$ 에 의해 결정된다.

(11)

a_{m} = \sqrt{2} S (f) △ f

주파수 $f_{m}$ 은 Goda(2010)에 따라 식 (12)로 정의된다.

(12)

f_{m} = \frac{1.007}{T_{1 / 3}} {[\ln (\frac{2 M}{2 m - 1})]}^{- 1 / 4}, m = 1, 2, \dots, M

Fig. 10은 이러한 과정을 통해 생성된 불규칙파의 시간이력을 보여준다.

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Fig. 10.

Time history of irregular wave surf elevation

3.3 개별 파의 파고 및 주기

Longuet-Higgins(1953)는 파고의 확률분포를 Rayleigh 분포함수로 설명할 수 있음을 증명하였으며, 이후 개별 파고를 구하는 방법으로 Rayleigh 분포가 널리 사용되었다(Goda and Takagi, 2000; Hong et al., 2004; Kim et al., 2006; Kim and Suh, 2009; Shimosako and Takahashi, 2000; Suh et al., 2002; Takayama et al., 2001). 개별 파의 주기는 일반적으로 정규분포를 사용하지만, PROVERB(Oumeraci et al., 2001)에 의하면 개별 주기에 대해 보편적으로 적용할 수 있는 통계적 분포가 없다고 한다.

이 연구에서는 이러한 한계를 극복하기 위해 하강 영점 교차법(zero-down cross method)을 적용하여 개별 파의 파고( $H_{i}$ )와 주기( $T_{i}$ )를 정의하였다. 이 방법은 Fig. 11과 같이 시간에 따른 파형의 수위가 영(zero)선을 하강하면서 교차하는 지점을 기준으로 개별 파고와 주기를 정의한다. 하강 영점 교차법을 통해 얻은 개별 파고는 Rayleigh 분포를 만족하는 것으로 알려져 있다(Goda, 2010; Oumeraci et al., 2001).

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Fig. 11.

Application of zero-down cross method on time history of irregular wave surf elevation

3.4 파랑 하중 계산

파랑 작용 시간 동안 파랑 하중은 Fig. 12의 Goda(1974) 파압 공식을 이용하여 계산되었다. 개별 파의 파고와 주기를 Goda 파압 공식에 대입하여 각 파랑에 대한 파랑 하중 시간이력을 작성하고, 이를 반복 계산함으로써 파랑 작용 시간 동안 약 1,000개의 파랑에 대한 이론 파랑 하중 시간이력을 모델링하였다.

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Fig. 12.

Water wave pressure distribution and water wave force acting on a breakwater

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Fig. 13.

Time history of water wave force

충격쇄파 하중의 시간이력 모델은 짧은 작용 시간에 작용하는 삼각 펄스파와 정현파 형태의 중복파력 성분의 조합으로 표현된다. Fig. 13에서 Shimosako와 Takahashi(2000)가 제안한 방법을 통해 파력의 시간이력을 모델링한다. 수평파력 $P (t)$ 는 식 (13)과 같이 중복파력 성분 $P_{1} (t)$ 과 충격파력 성분 $P_{2} (t)$ 중 최댓값으로 정의된다.

(13)

P (t) = \max [P_{1} (t), P_{2} (t)]

여기서, 중복파력 성분 $P_{1} (t)$ 는 식 (14)로 표현된다. $T$ 는 파의 주기이다.

(14)

P_{1} (t) = γ_{P} P_{1 \max} \sin (\frac{2 π t}{T})

충격파력 성분 $P_{2} (t)$ 는 식 (15)와 같이 삼각 펄스 형태로 정의된다(Shimosako and Takahashi, 2000).

(15)

P_{2} (t) = \{\begin{cases} \frac{2 t}{τ_{0}} P_{2 \max}, 0 \leq t \leq \frac{τ_{0}}{2} \\ 2 (1 - \frac{t}{τ_{0}}) P_{2 \max}, \frac{τ_{0}}{2} \leq t \leq τ_{0} \\ 0, τ_{0} \leq t \end{cases}

여기서, $P_{1 \max}$ 는 Goda 파압 공식에서 파압계수 $α_{1}$ 만 고려한 파력의 최댓값이고, $P_{2, \max}$ 는 Goda 파압 공식에 Takahashi(1994)가 도입한 충격파압계수 $α^{*}$ 를 고려한 파력의 최댓값이다. 저감 계수 $γ_{P}$ 는 식 (16)을 통해 계산된다.

(16)

γ_{P} = 1 - \frac{π}{P_{1 \max} T} \int_{t_{1}}^{t_{2}} (P_{2} (t) - P_{1 \max} \sin (\frac{2 π t}{T})) d t; P_{2} (t) - P_{1 \max} \sin (\frac{2 π t}{T}) \geq 0

충격파력 성분의 작용 시간 $τ_{0}$ 는 파고와 주기에 따라 달라지며, 식 (17)에 의해 정의된다. 이 값은 충격 성분이 클수록 작아지는 경향을 보인다.

(17)

τ_{0} = k τ_{0, F}

여기서, $τ_{0, F}$ 와 $k$ 는 각각 식 (18)과 식 (19)와 같다. 실제 충격파력의 지속시간은 ms 수준으로 매우 짧으나, 식 (17)의 $τ_{0}$ 는 케이슨 활동에 영향을 미치는 유효 지속시간이며, Shimosako와 Takahashi(2000)가 사용한 정의를 따른다.

(18)

τ_{0, F} = \{\begin{cases} (0.5 - \frac{H}{8 h}) T : 0 < \frac{H}{h} \leq 0.8 \\ 0.4 T : 0.8 < \frac{H}{h} \end{cases}

(19)

k = [(α *)^{0} . 3 + 1]^{- 2}

여기서, $α *$ 는 파력의 충격적 성분을 나타내는 파라미터로 $α^{*} = \max [α_{2}, α_{I}]$ 이다. 자세한 계산과정은 Goda(2010)를 참조하면 된다.

이 과정을 반복하여 Fig. 14와 같은 파랑 작용 시간 동안 방파제에 작용하는 전체 파랑 하중의 시간이력을 모델링할 수 있다. 양압력 하중에 대한 시간이력도 동일한 방식으로 계산할 수 있다.

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Fig. 14.

Time history of water wave loads for 1,000 waves

4. 수치해석

이번 장에서는 2장에서 소개한 유한요소 기반의 해석모델과 3장에서 소개한 충격쇄파를 포함한 파랑 하중의 시간이력을 활용하여 직립식 방파제에 대한 수치해석을 수행하였다. 수치해석은 1) 유체 요소와 부가질량, 2) 탄성 지반과 비선형성 지반, 3) 원역 지반에서의 고정 경계와 에너지흡수경계요소에 대한 비교를 포함한다.

4.1 해석 예제

이 연구에서는 유한요소 모델의 검증과 직립식 방파제의 동적 거동을 분석하기 위해 Fig. 15와 같은 방파제 모델과 Table 2에 제시된 물성값을 사용하였다. 방파제는 유한요소 해석 프로그램인 ABAQUS를 활용하여 모델링되었으며, 케이슨은 강체로, 유체는 비압축성으로 가정하였다. 감쇠비는 모든 물성값에 대해 2%로 설정되었고 마찰계수는 0.6으로 설정하였다.

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Fig. 15.

Numerical analysis example for vertical breakwater

Table 2.

Properties for vertical breakwater

Item	Density ( $t o n / m^{3}$ )	Shear Velocity ( $m / s$ )	Poisson’s Ratio
Caisson	2.40	-	0.20
Rubble Mound	2.00	400	0.25
DCM	1.80	-	0.25
Clay	1.85	250	0.45
Rock	2.20	760	0.25

DCM(Deep Cement Mixing) 영역의 탄성계수는 압축강도의 500배로 설정되었으며, 이는 일본 CDIT(2008)을 참조하였다. DCM의 압축강도는 Park 등(2019)의 실험 결과를 바탕으로 한 가중평균값인 3.21×10³kPa를 사용하였다.

동적 해석에 앞서 정수 상태에서 중력 하중, 정수압, 부력을 고려하였다. 이후 파고 8m에 해당하는 이론 파랑 하중을 적용하여 모델의 검증을 수행하였다.

4.2 유체 요소와 부가질량의 비교

이 절에서는 유체 요소와 부가질량을 비교하여 방파제의 동적 거동에 미치는 영향을 분석하였다. 유체 요소는 ABAQUS의 AC2D4 요소를 사용하였으며, 부가질량은 식 (3)에 의해 계산되었다. 부가질량은 저면에서 유체의 수직 변위가 없어야 한다는 가정을 포함하지만, 실제 해석 결과, Fig. 16에서 확인할 수 있듯이 저면에서 최대 약 3mm의 수직 변위가 발생하였다. 이는 외력 작용과 Fig. 17에서 나타난 사석마운드의 재료 비선형성에 따른 소성변형 때문으로 판단된다.

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Fig. 16.

Time history of vertical displacement for fluid on rubble mound

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Fig. 17.

Plastic strain contour in rubble mound due to material non-linearity

또한, Fig. 18은 방파제의 수평 변위(활동) 시간이력을 보여준다. 유체 요소를 사용한 해석에서는 부가질량을 사용한 해석보다 약 4% 작은 활동량을 나타냈다. 구체적으로 부가질량을 적용한 경우 방파제의 활동량은 0.446m였으나, 유체 요소를 적용한 경우에는 0.428m로 계산되었다. 이러한 차이는 사석마운드와 해저 지반의 강도와 사석마운드의 높이, 그리고 해저 지반의 종류에 따라 달라질 가능성이 있다.

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Fig. 18.

Time history of sliding distance of breakwater according to acoustic element and added mass

4.3 탄성 지반과 비선형성 지반의 비교

탄성 지반과 비선형성 지반을 비교하여 방파제 활동량에 미치는 영향을 평가하였다. 비선형성 모델은 Mohr-Coulomb 모델을 적용하여 구현되었으며, 주요 매개변수로는 점착력( $c$ )은 0kPa, 마찰각(𝜙)은 40°, 그리고 팽창각(𝜓)은 10°이 설정되었다. 실제로 사석마운드의 점착력은 0kPa이 적용되어야 하지만, 수치해석의 안정성과 계산 속도를 높이기 위해 해석 응답에 큰 영향이 미치지 않도록 1kPa의 점착력이 사용되었다(Andersen et al., 2011).

해석 결과, Fig. 19에서 확인할 수 있듯이 탄성 지반을 적용한 경우 케이슨의 활동량은 0.368m였으나, 비선형성 지반을 적용한 경우에는 0.428m로 더 큰 활동량이 발생하였다. 이는 Fig. 20에서 나타난 것처럼 사석마운드가 항복 강도를 초과하여 미끄러짐이 발생했기 때문이며, 이러한 거동이 케이슨 활동량에 직접적인 영향을 미쳐 더 큰 활동량을 유발하였다.

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Fig. 19.

Time history of sliding distance of breakwater according to elasticity and non-linearity

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Fig. 20.

Horizontal displacement contour of breakwater depending on whether non-linearity of soil is applied

4.4 고정 경계와 에너지흡수경계요소의 비교

이 절에서는 방파제의 원역 지반 외곽경계에 고정 경계조건과 에너지흡수경계요소를 각각 적용하여 해석한 결과를 비교하였다. 해석은 탄성 지반과 비선형성 지반 두 가지 경우로 나누어 수행되었으며, 각 경계조건이 방파제의 동적 거동 및 수렴성에 미치는 영향을 분석하였다.

4.4.1 탄성 지반에서 경계조건의 비교

먼저, 탄성 지반에서 고정 경계를 적용했을 때, 해석의 수렴성이 크게 저하되었으며, Fig. 21(a)의 수평 변위 시간이력에서 확인할 수 있듯이 매우 큰 활동량이 발생하여 방파제가 파괴되는 결과를 보였다. Fig. 21(b)는 Fig. 21(a)의 해석 초기 몇 개의 파랑에 대한 그림으로 고정 경계와 에너지흡수경계요소인 PML을 적용한 경우 모두 유사한 활동량을 나타냈다. 이는 기존의 연구에서 고정 경계를 사용했던 이유를 일부 설명할 수 있다. 하지만 시간이 지남에 따라 두 조건 간의 차이가 점차 벌어졌으며, 특히 파랑 작용 시간 동안 다수의 파랑이 작용할 때, PML을 적용한 경우가 훨씬 더 안정적이고 신뢰할 수 있는 해석 결과를 제공하였다.

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Fig. 21.

Time history of sliding distance for breakwater according to fixed boundary and PML in far-field soil using elastic material

4.4.2 비선형성 지반에서 경계조건의 비교

비선형 지반에서는 고정 경계를 적용했을 때 활동 파괴는 발생하지 않았지만, 탄성 지반과 마찬가지로 여전히 해석 수렴성에 대한 문제가 발생하였다. 그리고 Fig. 22의 소성 변형률 크기의 시간이력을 통해 비정상적인 소성변형이 발생하였음을 확인할 수 있다. 이는 고정 경계가 원역 지반에서 발생하는 에너지 반사를 효과적으로 흡수하지 못해 비선형적 거동을 과도하게 유발했기 때문으로 보인다. 이때, Fig. 22의 소성 변형률의 크기는 사석마운드 발끝 부분에서의 소성 변형률이다. 한편, PML을 적용한 경우에는 소성변형이 최소화되었으며, 수렴성이 크게 향상되었다. 이는 PML이 원역 지반 외곽에서 전달되는 파동 에너지를 효과적으로 흡수하여 반사를 방지하기 때문이다.

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Fig. 22.

Time history of plastic strain magnitude of breakwater according to fixed boundary and PML in far-field soil using nonlinear material

5. 결 론

이 연구는 충격쇄파 하중에 대한 직립식 방파제의 동적 거동을 정밀히 평가하기 위해 유한요소 기반의 해석모델을 구축하고 이를 검증하였다.

5.1 유체 모델링

유한요소 기반 유체 요소를 적용한 해석 결과, 부가질량법을 적용한 경우보다 약 4% 작은 활동량을 나타냈다. 이는 저면에서 발생하는 유체의 수직 변위로 인해 부가질량법이 실제 거동을 충분히 반영하지 못했기 때문이다. 따라서 유한요소 기반 유체 요소를 사용하는 것이 방파제의 동적 응답을 보다 정확하게 해석할 수 있는 방법으로 판단된다.

5.2 지반 모델링

비선형 지반 모델을 적용한 결과, 탄성 지반 대비 약 16% 큰 활동량이 발생하였다. 이는 사석마운드에서 발생한 소성변형이 케이슨의 활동량 증가에 직접적인 영향을 미친 것으로, 방파제 해석 시 지반의 비선형 거동을 고려하는 것이 필수적임을 확인하였다.

5.3 원역 지반 경계조건 모델링

에너지흡수경계요소 PML을 적용한 결과, 고정 경계조건 대비 해석의 안정성과 수렴성이 크게 향상되었다. 특히 다수의 파랑이 작용하는 폭풍해일 조건에서 반사파가 효과적으로 억제되어, 비선형 지반 조건에서도 보다 안정적인 해석 결과를 제공하였다.

이와 같은 결과를 통해 유한요소 기반 유체 요소 모델링과 지반 비선형성, 그리고 PML 경계 조건의 적용이 직립식 방파제의 동적 안정성 평가 정확도를 향상시키는 핵심 요소임을 확인하였다. 이 연구는 이러한 요소들을 통합적으로 고려함으로써 직립식 방파제의 동적 안정성 평가를 위한 정교한 수치해석 접근을 제시한다는 점에서 의미가 있다. 다만, 이 연구에서는 해석모델의 비교 및 검증에 초점을 두기 위해 유의파고 8m를 기준으로 파랑 하중 시간이력을 구성하였다. 향후 연구에서는 다양한 파고 및 주기 조건에 대한 비교 분석과 지반의 동수압을 고려한 정밀한 해석을 수행할 예정이다.

Acknowledgements

이 연구는 한국에너지기술평가원의 연구비 지원(No. RS-2022-KP002850)의 지원을 받아 수행되었습니다.

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Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea ISSN:1229-3059(Print) 2287-2302(Online) 한국전산구조공학회 논문집

Preview

Development of a Two-Dimensional Numerical Model for Dynamic Analysis of Vertical Breakwaters Subjected to Impulsive Water Wave Loads

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

Major failure modes of breakwater against storm surge

(1)

Table 1.

Criteria for the sliding failure of breakwater

Fig. 2.

Lumped parameter models

Fig. 3.

Finite element model (Takahashi et al., 1994)

Fig. 4.

Added mass with its boundary conditions

(2)

(3)

Fig. 5.

Mohr-coulomb plasticity model

Fig. 6.

Breakwater with ABAQUS surface-to-surface contact

Fig. 7.

Concept of perfectly matched layer (Nguyen and Kim, 2022)

(4)

(5)

(6)

(7)

Fig. 8.

Procedure for modeling time history of water wave loads with impulsive breaking waves

(8)

(9)

Fig. 9.

Wave spectrum (H1/3=8m, T1/3=12.23s)

(10)

(11)

(12)

Fig. 10.

Time history of irregular wave surf elevation

Fig. 11.

Application of zero-down cross method on time history of irregular wave surf elevation

Fig. 12.

Water wave pressure distribution and water wave force acting on a breakwater

Fig. 13.

Time history of water wave force

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Fig. 14.

Time history of water wave loads for 1,000 waves

Fig. 15.

Numerical analysis example for vertical breakwater

Table 2.

Properties for vertical breakwater

Fig. 16.

Time history of vertical displacement for fluid on rubble mound

Fig. 17.

Plastic strain contour in rubble mound due to material non-linearity

Fig. 18.

Time history of sliding distance of breakwater according to acoustic element and added mass

Fig. 19.

Time history of sliding distance of breakwater according to elasticity and non-linearity

Fig. 20.

Horizontal displacement contour of breakwater depending on whether non-linearity of soil is applied

Fig. 21.

Time history of sliding distance for breakwater according to fixed boundary and PML in far-field soil using elastic material

Fig. 22.

Time history of plastic strain magnitude of breakwater according to fixed boundary and PML in far-field soil using nonlinear material

Acknowledgements

References

Wave spectrum ( $H_{1} / 3 = 8 m$ , $T_{1} / 3 = 12.23 s$ )